山東省青島第三十九中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期5月階段性檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省青島第三十九中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期5月階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)在處有極值，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．為解決“卡脖子”問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)7nm芯片國(guó)產(chǎn)化，讓中國(guó)制造走向世界，某公司兩個(gè)研發(fā)小組同時(shí)設(shè)計(jì)生產(chǎn)出了相同規(guī)格、相同數(shù)量的芯片，經(jīng)初步鑒定：組生產(chǎn)的芯片合格率為，B組生產(chǎn)的芯片合格率為，現(xiàn)公司決定再將這些產(chǎn)品送專(zhuān)家鑒定后量產(chǎn)，專(zhuān)家從這些芯片中隨機(jī)取一個(gè)，則該芯片合格的概率為（

）A． B． C． D．3．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，圖象如圖所示，且在處取得極大值，則的解集為（

）

A． B． C． D．4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．5．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，且對(duì)任意的滿足，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．7．盒中有2個(gè)黑球，2個(gè)白球和1個(gè)紅球，每次隨機(jī)抽取一球后放回，同時(shí)再放入1個(gè)同色球，抽取3次，3次顏色均不相同的概率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)則的值為（

）A．81 B．36 C．12 D．1二、多選題9．已知（常數(shù)）的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．B．展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256C．展開(kāi)式中的系數(shù)為D．若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1024，則第6項(xiàng)的系數(shù)最大10．現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的不同的球和5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．共有種不同的放法B．恰有兩個(gè)盒子不放球，共有360種放法C．每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有18種D．將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有120種11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．D．若，，，則三、填空題12．已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為2，則的極大值點(diǎn)為．13．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．14．一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到紅球的次數(shù)，，則的數(shù)學(xué)期望為（用表示）．四、解答題15．某社區(qū)為了推動(dòng)全民健身，增加人們對(duì)體育運(yùn)動(dòng)的興趣，隨機(jī)抽取了男、女各200人做統(tǒng)計(jì)調(diào)查.統(tǒng)計(jì)顯示，被調(diào)查的人中，喜歡運(yùn)動(dòng)的男性有100人，不喜歡運(yùn)動(dòng)的女性有50人.(1)完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.005的情況下認(rèn)為人們喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān);喜歡不喜歡合計(jì)男性女性合計(jì)(2)為了鼓勵(lì)全民運(yùn)動(dòng)，社區(qū)開(kāi)展一次趣味體育比賽，并設(shè)置3個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)有且僅有一人獲取，每人最多只能獲得1個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng);現(xiàn)從這400人中選出男性4人，女性4人參加比賽，記為獲獎(jiǎng)的男性人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．在中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)的比賽中，選手需要回答兩組題展示自己的詩(shī)詞儲(chǔ)備.（1）第一組題是情境共答題，參與比賽者需根據(jù)情境填寫(xiě)詩(shī)句.小王知道該詩(shī)句的概率是，且小王在不知道該詩(shī)句的情況下，答對(duì)的概率是.記事件A為“小王答對(duì)第一組題”，事件B為“小王知道該詩(shī)句”.（ⅰ）求小王答對(duì)第一組題的概率；（ⅱ）在小王答對(duì)第一組題的情況下，求他知道該詩(shī)句的概率.（2）小王答對(duì)第一組題后開(kāi)始答第二組題.第二組題為畫(huà)中有詩(shī)，該環(huán)節(jié)共有三道題，每一題答題相互獨(dú)立，但難度逐級(jí)上升，小王知道第n題的詩(shī)句的概率仍為，但是在不知道該詩(shī)句的情況下，答對(duì)的概率為，已知每一題答對(duì)的得分表如下（答錯(cuò)得分為0）：題號(hào)第1題第2題第3題得分2分4分6分若獲得8分及以上則挑戰(zhàn)成功，求小王挑戰(zhàn)成功的概率.17．已知函數(shù).(1)求證：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．某校高三年級(jí)有750人，某次考試不同成績(jī)段的人數(shù)，且所有得分都是整數(shù)．（1）求該校高三年級(jí)本次考試的平均成績(jī)及標(biāo)準(zhǔn)差；（2）計(jì)算本次考試得分超過(guò)141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）（3）本次考試中有一類(lèi)多項(xiàng)選擇題，每道題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)正確，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分（正確答案有三個(gè)選項(xiàng)的，則每個(gè)選項(xiàng)2分；正確答案是2個(gè)選項(xiàng)的，則每個(gè)選項(xiàng)為3分），有選擇錯(cuò)誤的得0分．小明同學(xué)在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為．已知某個(gè)多項(xiàng)選擇題有三個(gè)選項(xiàng)是正確的，小明在完全不知道四個(gè)選項(xiàng)正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇，記小明做這道多項(xiàng)選擇題所得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若，則；；．19．已知函數(shù)（）.（1）若在處取到極值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，由題有，解得，所以，令，得到或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極大值點(diǎn)，即滿足題意，故選C.2．【答案】C【詳解】設(shè)事件“從組中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，則，，，則.故選C.3．【答案】A【詳解】由圖可得：時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞減，則，所以，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，所以，時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以，綜上：的解集為；故選A4．【答案】D【詳解】，項(xiàng)對(duì)應(yīng)，，項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)為，故展開(kāi)后系數(shù)為.故選D.5．【答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)分布的性質(zhì)，擬合效果的衡量以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強(qiáng)，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯(cuò)誤.故選C.6．【答案】B【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，不等式可變形為，即，可得，故選B.7．【答案】A【詳解】第一次抽取總共有個(gè)球，抽取任意一種顏色球的概率都不為0，不妨先抽取黑球，其概率為，第二次抽取時(shí)，因?yàn)榈谝淮纬槿『谇蚝蠓呕夭⒎湃?個(gè)黑球，此時(shí)球的總數(shù)變?yōu)閭€(gè)，黑球有個(gè)，白球還是2個(gè)，紅球?yàn)?個(gè)，若第二次抽取白球，其概率為，第三次抽取時(shí)，由于第二次抽取白球后放回并放入1個(gè)白球，此時(shí)球的總數(shù)變?yōu)閭€(gè)，黑球有個(gè)，白球有個(gè)，紅球?yàn)?個(gè)，若第三次抽取紅球，其概率為，而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取紅球只是其中一種順序，三次抽取不同顏色球的順序還有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取紅球；第一次抽取黑球、第二次抽取紅球、第三次抽取白球；第一次抽取紅球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球；第一次抽取白球、第二次抽取紅球、第三次抽取黑球；第一次抽取紅球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球這5種情況.每種情況的概率都是，所以3次顏色均不相同的概率為.故選A8．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由題意可知有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即由4個(gè)不同的實(shí)根，記，故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)則，故選A9．【答案】ACD【詳解】由，則其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，對(duì)于A，根據(jù)題意可得，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；對(duì)于B，由，則展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，解得，則展開(kāi)式中的系數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和，解得，可得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，即每項(xiàng)系數(shù)均為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，易知展開(kāi)式中第項(xiàng)為二項(xiàng)式的中間項(xiàng)，則其系數(shù)最大，故D正確.故選ACD.10．【答案】BC【詳解】A：由題意，每個(gè)球都有5種放法，故共有種不同的放法，錯(cuò)；B：恰有兩個(gè)盒子不放球，則任選3個(gè)盒子放球有種，將4個(gè)球分成3組有種，最后把3組球放進(jìn)所選的3個(gè)盒子中有種，故共有種，對(duì)；C：從四個(gè)編號(hào)中選2個(gè)放同編號(hào)的球有種，若另2個(gè)盒子放余下2個(gè)球有1種放法，若余下2球一個(gè)放在5號(hào)盒子有2種放法，所以，共有種，對(duì)；D：4個(gè)相同的球放到5個(gè)不同的盒子，恰有一個(gè)空盒有種放法，錯(cuò).故選BC11．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)椋?，故在上單調(diào)遞減，不妨取，此時(shí)滿足，但，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，在上單調(diào)遞減，其中，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在，使得，故有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，，而，故，C正確；D選項(xiàng)，，又，，且，，，結(jié)合C選項(xiàng)知，，則，D正確.故選BCD12．【答案】3【詳解】由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)的極小值點(diǎn)為2，所以，即，解得，則，令，則或，因?yàn)椋瘮?shù)的極小值點(diǎn)為2，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以，由，故，所以的極大值點(diǎn)為.13．【答案】【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，所以，所以，所以，所以切線方程為，可得的最小值為.14．【答案】【詳解】由題知，，，，.15．【答案】(1)表格見(jiàn)解析，能；(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）喜歡不喜歡合計(jì)男性100100200女性15050200合計(jì)250150400零假設(shè)為：人們喜歡運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計(jì)算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為人們喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005,即能在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.005的情況下認(rèn)為人們喜歡運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）記為獲獎(jiǎng)男性的人數(shù)可能為0，1，2，3，；；；，隨機(jī)變量的分布列如下.0123所以.16．【答案】（1）（?。唬á、。?）【詳解】（1）（i）已知，則.在知道詩(shī)句的情況下一定答對(duì)，即；在不知道詩(shī)句的情況下答對(duì)的概率.根據(jù)全概率公式，將上述概率值代入可得：.（ii）計(jì)算在小王答對(duì)第一組題的情況下，他知道該詩(shī)句的概率根據(jù)貝葉斯公式.由前面計(jì)算可知，，，代入可得：.（2）設(shè)事件為“小王答對(duì)第二組題中的第題”（）.已知小王知道第題詩(shī)句的概率為，不知道該詩(shī)句的情況下答對(duì)的概率為.則；；.因?yàn)楂@得分及以上則挑戰(zhàn)成功，所以有以下幾種情況：答對(duì)第、題，答錯(cuò)第題，其概率為.答對(duì)第、題，答錯(cuò)第題，其概率為.答對(duì)第、、題，其概率為.因?yàn)檫@幾種情況互斥，所以小王挑戰(zhàn)成功的概率為：.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)當(dāng)時(shí)，，則無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，通過(guò)二次求導(dǎo)可判斷出存在唯一，使得，則在上遞減，在上遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證得結(jié)論；(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，連續(xù)三次求導(dǎo)可得在上遞增，然后分和兩種情況討論即可.【詳解】(1)證明：當(dāng)時(shí)，，所以，所以無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，令，則，所以在上遞增，即在上遞增，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ?，使得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，因?yàn)椋谏线f增，所以，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ?，使得，所以有兩個(gè)零點(diǎn)和0；(2)若在上恒成立，則恒成立，設(shè)，即證在上恒成立，，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，即在上遞增，所以，所以在上遞增，即在上遞增，①當(dāng)時(shí)，，則，所以在上遞增，因?yàn)?，所以在上恒成立，所以，②?dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以存在，使得，所以在上遞減，因?yàn)?，所以時(shí)，不合題意，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．【答案】（1）平均成績(jī)，標(biāo)準(zhǔn)差為（2）17（3）分布列見(jiàn)解析；期望為【詳解】（1）由題意得：平均成績(jī)，標(biāo)準(zhǔn)差為（2）因?yàn)?，，所以所以超過(guò)141的人數(shù)為：人（3）設(shè)事件A，表示“小明選擇了i個(gè)選項(xiàng)”（，2，3），事件B表示“選擇的選項(xiàng)是正確的”．由題知，可取6，4，2，0．因?yàn)椋?，，所以隨機(jī)變量的分布列為：6420P于是，19．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)極值的概念得到，可得到參數(shù)值；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性，分時(shí)，時(shí)，，三種情況討論單調(diào)性，使得最小值大于等于0即可；（3）由（1）知令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，給x賦值：2，3，4，5等，最終證得結(jié)果.試題解析：（1），∵在處取到極值，∴，即，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，在處取到極小值.（2），令（），1°當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，∴時(shí)，，不滿足在上恒成立.2°當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，過(guò).①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，∴，從而在