2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之全等三角形中輔助線

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之全等三角形中輔助線1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸和軸上，點(diǎn)為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，且，，滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)在軸的正半軸上，且滿足，軸于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，①求的度數(shù)；②求證：．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．(1)將向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，畫(huà)出（其中點(diǎn)，分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；(2)將沿著軸翻折，得到，畫(huà)出（其中點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；(3)在軸上找一點(diǎn)，使得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________．3．已知是等邊三角形，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足，連接、交于點(diǎn)．(1)①如圖1，直接寫(xiě)出的度數(shù)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖3，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．4．如圖1，在等邊中，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，，與交于點(diǎn).

(1)求證：；(2)如圖2，以為邊作等邊，與相等嗎？并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，判斷與有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.5．老師在某節(jié)數(shù)學(xué)課上提出了如下問(wèn)題：在中，，，求邊上的中線的取值范圍．某小組經(jīng)過(guò)組內(nèi)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長(zhǎng)中線至點(diǎn)Q，使得；②連接，把集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系，可得．請(qǐng)根據(jù)該小組的方法思考，回答下列問(wèn)題：(1)直接寫(xiě)出的取值范圍是___________；(2)解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等字樣，可以考慮“倍長(zhǎng)中線”，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．如圖2，是的中線，，，，用等式表示和的數(shù)量關(guān)系并證明．6．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，，，中線的取值范圍是多少？【探究方法】第一小組經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：①延長(zhǎng)到，使得；②連接，通過(guò)三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是_____；方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形【問(wèn)題拓展】（2）如圖2，，，與互補(bǔ)，連接、，是的中點(diǎn)，求證：：（3）如圖3，在（2）的條件下，若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，．求的面積．7．已知與中，，，，連接與相交于點(diǎn)，與相交點(diǎn)．(1)猜想：如圖1所示，當(dāng)時(shí)，則______；(2)探究：如圖2所示，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)拓展延伸：如圖3所示，當(dāng)，，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度．8．定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點(diǎn)互相重合，那么稱此圖形為“手拉手全等模型”．例如，如圖①，與都是等腰三角形，其中，則．(1)如圖②，與都是等腰三角形，，，且，求證：．(2)如圖③若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，為中上的高，連接，求的度數(shù)以及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖④，在四邊形中，，，，求的長(zhǎng)．9．已知在中，，在中．，，點(diǎn)、、在同一條直線上，與相交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，完成下列問(wèn)題：①判斷與的關(guān)系；②若，，求線段的長(zhǎng)．10．如圖1，為等腰三角形，，點(diǎn)在線段上（不與，重合），以為腰長(zhǎng)作等腰直角，于．(1)求證：；(2)連接交于，若，求的值；(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與，重合），式子的值會(huì)變化嗎？若不變，求出該值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．問(wèn)題提出：（1）如圖1，在等腰直角中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：．問(wèn)題探究：（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為腰在第二象限作等腰直角，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．問(wèn)題解決：（3）如圖3，地鐵某線路原計(jì)劃按的方向施工，由于在方向發(fā)現(xiàn)一處地下古建筑，地鐵修建須繞開(kāi)此區(qū)域．經(jīng)實(shí)地勘測(cè)，若將方向改為或方向，則可以繞開(kāi)此區(qū)域．已知，平分，，的長(zhǎng)為1千米，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，且射線與直線平行，請(qǐng)幫助施工隊(duì)計(jì)算出和所在直線的函數(shù)表達(dá)式．［溫馨提示：若點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為］12．是等腰三角形，，M是的中點(diǎn)，D為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）、連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連接．過(guò)點(diǎn)B作的垂線交直線于點(diǎn)F．(1)如圖①，點(diǎn)D在線段上，線段，，之間的有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并證明：(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．13．如圖所示，等腰直角中，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，試猜想、、之間的關(guān)系并推理說(shuō)明；(3)如圖3，在（2）的條件下，若為射線上一動(dòng)點(diǎn)，為等腰直角三角形，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．14．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】(1)如圖，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到___________，___________．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】(2)①如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)．若是以為斜邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．15．已知，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．(1)為探究上述問(wèn)題，小王同學(xué)先畫(huà)出了其中一種特殊情況，即如圖1，當(dāng)時(shí)．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你在圖1中添加上述輔助線，并補(bǔ)全下面的思路．小明的解題思路：先證明_____；再證明了_____，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)____．(2)請(qǐng)你借鑒小王的方法探究圖2，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立，如果成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，若、分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他已知條件不變，此時(shí)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)____．（不用證明）答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之全等三角形中輔助線》參考答案1．(1)，(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、因式分解等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解的方法將變形為，求出的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①結(jié)合圖形和可得，得出平分，即可求出的度數(shù)；②連接，先證明得到，，進(jìn)而得到，再證明，得出，利用線段和差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，．（2）①解：，，，平分，又，；②證明：如圖，連接，由①中的結(jié)論得，，又，，，，，軸，，軸，，，，，，，，，，，又，，，．2．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)圖見(jiàn)解析，【分析】此題考查了平移、軸對(duì)稱的作圖、全等三角形等知識(shí)．（1）找到點(diǎn)A，B，C向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，順次連接即可；（2）找到點(diǎn)A，B，C沿著軸翻折的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（3）根據(jù)全等的判定找到點(diǎn)D，畫(huà)出，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求，（2）如圖，即為所求，（3）如圖，點(diǎn)即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為．3．(1)①②見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）①通過(guò)證明，得，即可知道；②把繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與重合，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接，先證明，然后得到是等邊三角形，進(jìn)行等邊代換，即可得證；（2）先得到，過(guò)點(diǎn)G作交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)M，通過(guò)“”證明，得，，然后連接，再通“”證明，進(jìn)行角的等量代換以及角和和差關(guān)系，即可作答．【詳解】（1）解：因?yàn)槭堑冗吶切危?，，因?yàn)?，所以，則，那么；②把繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與重合，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接，如圖所示：易得，，，因?yàn)?，所以故即因?yàn)?，，所以則，所以，因?yàn)樗约词堑冗吶切?，所以因?yàn)?，則；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作，因?yàn)?，所以即因?yàn)樗裕瑒t過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，設(shè)，則，∴，，在中，，∴，在和中，，∴，∴，，連接，如圖，∵∴又∵，∴，在和中，∴∴，∴，∴，∴．即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，作輔助線（作垂線）以及一系列的輔助線，難度大，綜合強(qiáng)，對(duì)學(xué)生具備較強(qiáng)的作輔助線能力有較高要求，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．(1)見(jiàn)解析(2)相等，理由見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，由即可證明；（2）結(jié)論：，證明，可得結(jié)論．（3）證明，推出，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1中，

∵是等邊三角形，∴，在和中，，∴；（2）解：相等．理由：如圖2中，

∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：如圖3中，結(jié)論：．理由：延長(zhǎng)到R，使得，連接．

∵等邊，∴，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．5．(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰直角三角形，關(guān)鍵是“倍長(zhǎng)中線”，構(gòu)造全等三角形．（1）延長(zhǎng)中線至點(diǎn)Q，使；連接，得到，判定，推出，由三角形三邊關(guān)系定理得，即可得到，（2）延長(zhǎng)到K，使，連接，得到，判定，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)中線至點(diǎn)Q，使；連接，∴，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，由三角形三邊關(guān)系定理得：，∴，∴，故答案為：．（2）如圖2，，理由如下：延長(zhǎng)到K，使，連接，∴，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．6．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）18【分析】本題考查了倍長(zhǎng)中線型全等問(wèn)題，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)提示證即可求解；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，證得，，進(jìn)而可得，再證即可；（3）由（2）可得：，，進(jìn)一步得；根據(jù)題意可證，據(jù)此即可求解．【詳解】解：（1）∵是的中線．∴，∵，，∴，∴，可得，即：，∴，故答案為：；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，如圖2：由題意得：，，，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，由（2）可得：，，，．．，，．，，，．7．(1)(2)(3)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定；（1）先證明得到，再在和中利用三角形內(nèi)角和得到，根據(jù)，得到；（2）先證明得到，再在和中利用三角形內(nèi)角和得到，根據(jù)，得到；（3）由（1）得，，則，再由，可得，得到，，推出，最后根據(jù)代入求值即可．【詳解】（1）解：，，，在和中，，，．在和中，，，，∵，∴，故答案為：．（2）解：在和中．在和中，．（3）解：由（1）得，，，∵，，，，，，，，．，，．8．(1)見(jiàn)解析(2)，，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明，即得；（2）設(shè)交于，證明，可得，，即可得，即；而，故；（3）作，且，連接，，證明，可得，而，故．【詳解】（1）證明：，，即，，，，；（2）解：，；理由如下：設(shè)交于，如圖：，，即，，，，，，，，，即；為等腰直角中邊上的高，，，；（3）解：作，且，連接，，如圖，，，，，即，，，，，，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及勾股定理及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用“手拉手全等模型”作輔助線，構(gòu)造全等三角形．9．(1)(2)①，；②【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．（1）證明得到，利用三角形內(nèi)角和可得；（2）①證明得到，，再由，得到，即可得到，；②由可得，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求，即可求解．【詳解】（1）解：，，，在和中，，，又，，，；（2）證明：①，，，在和中，，，，，，，，，，，∴，；②，，，，，，，，，，，，．10．(1)見(jiàn)解析(2)2(3)式子的值不會(huì)變化，值為1【分析】（1）根據(jù)題目中的信息可以得到，與之間的關(guān)系，與之間的關(guān)系，從而可以解答本題；（2）由第一問(wèn)中的兩個(gè)三角形全等，可以得到各邊之間的關(guān)系，然后根據(jù)題目中的信息找到與的關(guān)系，從而可以解答本題；（3）作合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)三角形的全等可以找到所求問(wèn)題需要的邊之間的關(guān)系，從而可以解答本題．【詳解】（1）證明：∵為等腰三角形，，點(diǎn)P在線段上（不與B，C重合），以為腰長(zhǎng)作等腰直角，于E，∴，，，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴；（3）解：式子的值不會(huì)變化．如圖2所示：作交于點(diǎn)H，∵，，，∴，，∴，∵為等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問(wèn)題需要的關(guān)系，通過(guò)三角形的全等可以得到相關(guān)的角和邊之間的關(guān)系．11．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）所在直線的解析式為：；所在直線的解析式為：【分析】（1）根據(jù)題意可得，，推出，結(jié)合，利用即可證明結(jié)論；（2）先求出的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，證明，即可得解；（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)和直線的解析式，延長(zhǎng)交軸與點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，設(shè)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，得到，表示出的坐標(biāo)，利用的中點(diǎn)在直線上，求出的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式即可．【詳解】問(wèn)題提出：（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴；問(wèn)題探究：（2）解：，當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：；∴，，∴，過(guò)點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，同上法可證：，∴，∴，∴；問(wèn)題解決：（3）解：由題意得：，∵射線與直線平行，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：；∴；延長(zhǎng)交軸與點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，設(shè)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，由問(wèn)題提出可知：，∴，∴，∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，由題意可知在直線上，∴，解得：，∴，，設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴所在直線的解析式為：；設(shè)的解析式為：，則：，解得：，∴所在直線的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．根據(jù)問(wèn)題提出，理解并掌握一線三直角的全等模型，然后通過(guò)構(gòu)建全等模型探究和解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．12．(1)圖①的猜想：，證明見(jiàn)解析(2)圖②：，圖③：【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）作交的延長(zhǎng)線于，證明得到，，從而得到，證明得到，即可得證；（2）如圖，作交于，證明得到，，從而得到，證明得到，即可得證；如圖，作交的延長(zhǎng)線于，證明得到，，從而得到，證明得到，即可得證；【詳解】（1），證明：如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）如圖，作交于，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，即；如圖，作交的延長(zhǎng)線于，則，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；13．(1)(2)(3)的最小值為【分析】（1）作交于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可推出，即知，通過(guò)三角函數(shù)求出、，從而求出，繼而求出，則的值即可解出．（2）作交于，根據(jù)已知條件先證明，得出，，，根據(jù)角度關(guān)系推出，從而證明四邊形是矩形，根據(jù)，可知，可證明，即有，則矩形是正方形，所以，則．（3）連接并延長(zhǎng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交延長(zhǎng)線于，作交于，連接、、、、、、，交于，根據(jù)是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，可知，同時(shí)，可知當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終成立，即點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱，可知，且當(dāng)點(diǎn)位于的連線上時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)求出，結(jié)合三角函數(shù)可逐步推出，再根據(jù)三角函數(shù)求出與的關(guān)系，從而求出和，，和，根據(jù)值，依次求出和，根據(jù)勾股定理求出，即可得到的最小值．【詳解】（1）解：作交于，如圖1：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．（2）解：，理由如下：作交于，如圖2，在和中，，∴∴，，，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．（3）解：連接并延長(zhǎng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交延長(zhǎng)線于，作交于，連接、、、、，交于，如圖所示：∵是等腰直角三角形，，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵是等腰直角三角形，，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終成立，即點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，且當(dāng)點(diǎn)位于的連線上即與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立．∵，，∴，∴，∴，∵，∴，由（2）知，,，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∴，，∴，，，∵∴，，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，“將軍飲馬”的模型，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，“將軍飲馬”模型的應(yīng)用是