云南省臨滄地區(qū)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

云南省臨滄地區(qū)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．在等比數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和=，則的值為A．－1 B．1 C．－5 D．54．已知向量，，，若，則的最小值為（

）A． B．C． D．5．《九章算術(shù)》中有一分鹿問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿．欲以爵次分之，問各得幾何．”在這個(gè)問題中，大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個(gè)不同爵次的官員，現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成3組派去三地執(zhí)行公務(wù)（每地至少去1人），則不同的方案有（

）種．A．150 B．180 C．240 D．3006．設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)線段的中點(diǎn)在上的射影為，則的最大值是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若存在兩條不同的直線與函數(shù)和圖象均相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下說法錯(cuò)誤的是（）A．兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)越大，它們的線性相關(guān)程度越強(qiáng)B．設(shè)、為隨機(jī)事件，且、，若，則與相等C．根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“與沒有關(guān)聯(lián)”D．若隨機(jī)變量，，則10．如圖，點(diǎn)P是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，則（

）

A．三棱錐體積的最大值為B．若點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為C．當(dāng)直線與所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長度為D．當(dāng)P在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，線段長度最大值為11．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．弦長的最大值為B．實(shí)數(shù)的取值范圍為C．若，則D．存在定點(diǎn)，使得為定值三、填空題（本大題共3小題）12．在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于．13．已知，，則.14．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，令，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則.四、解答題（本大題共5小題）15．△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△的面積為.（1）證明：；（2）若，求.16．某項(xiàng)編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級(jí)編程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對(duì)得5分，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，初賽至少得60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級(jí)編程題和2道高級(jí)編程題組成，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，高級(jí)編程題每題答對(duì)得20分．所有的題答錯(cuò)都不扣分．已知甲同學(xué)能答對(duì)每道基礎(chǔ)編程題，中級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，高級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為，且各題答對(duì)與否互不影響．（1）求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；（2）已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期望．17．如圖，在四面體中，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）已知二面角的大小為，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值的最大值為時(shí)，求此時(shí)四面體的體積．18．設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．對(duì)于給定集合，若存在非負(fù)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的滿足：成立，則稱集合具有性質(zhì).（1）證明：集合具有性質(zhì)；（2）若集合具有性質(zhì)，求的最小值；（3）若集合具有性質(zhì)，求的最大值.

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意，陰影部分表示的集合為，故選B．2．【答案】A【詳解】化簡復(fù)數(shù)，對(duì)于復(fù)數(shù)，實(shí)部，虛部.因?yàn)閷?shí)部，虛部，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選A.3．【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，等比數(shù)列中，已知前項(xiàng)和=，則，，又因?yàn)?，即，解得，故選C．考點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題，其中解答中涉及到等比數(shù)列的前項(xiàng)和、數(shù)列的通項(xiàng)和之間的關(guān)系、以及等比數(shù)列的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題，本題的解答中熟記數(shù)列的通項(xiàng)和之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．4．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，則，所以，，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選C.5．【答案】A【詳解】解：將5人分3組，每組至少1人，共有兩種情況：（1）每組人數(shù)別為1，2，2，方法有；（2）每組的人數(shù)分別為1，1，3，方法有，所以不同的方案有90+60=150種.故選A6．【答案】B【詳解】根據(jù)空間中的線面關(guān)系的性質(zhì)定理或判斷定理或反例逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①，若，，則或異面，故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，因?yàn)?，，故，而，故，故②正確.對(duì)于③，如圖，，，，但，故③錯(cuò)誤.對(duì)于④，如圖，在正方體中，平面平面，平面平面，但平面平面，故④錯(cuò)誤.故選B.7．【答案】C【詳解】設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為、，連接、,由拋物線定義，得且，在梯形中根據(jù)中位線定理，得．由余弦定理得，配方得，又因?yàn)?，所以，得到．所以，即的最大值為．故選C.8．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，，不存在公切線，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與切于，與切于，又，，則直線的斜率，所以，所以直線為，即，直線也可以寫成，即，所以，將代入可得，，又，所以，因?yàn)榇嬖趦蓷l不同的直線與函數(shù)和圖象均相切，所以方程有兩個(gè)不同的解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得，所以，又因?yàn)榍覠o窮接近時(shí)，趨近正無窮；當(dāng)時(shí)，趨近正無窮；函數(shù)的大致圖象如下：所以，所以，所以或，所以的取值范圍為.故選A.9．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，當(dāng)越接近時(shí)，相關(guān)程度越大；當(dāng)越接近時(shí)，相關(guān)程度越小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)、為隨機(jī)事件，且、，則若，所以與不相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，獨(dú)立性檢驗(yàn)的判斷標(biāo)準(zhǔn)是，若計(jì)算得出的值大于臨界值，則拒絕獨(dú)立性假設(shè)，說明變量與存在關(guān)聯(lián).因此，，拒絕“與沒有關(guān)聯(lián)”的零假設(shè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)于，則，，則，對(duì)于，則，，則，又，所以，，故D正確.故選ABC.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，而等邊的面積為定值，要使三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大，易知點(diǎn)是正方體到平面距離最大的點(diǎn)，所以，此時(shí)三棱錐即為棱長是的正四面體，其高為，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，易證，因?yàn)?，所以，即，又，，所以平面，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為矩形，，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為，故B正確；

對(duì)于C：連接，，以為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)在線段和弧上時(shí)，直線與所成的角為，又，弧長度，故點(diǎn)的軌跡長度為，故正確；對(duì)于D，取的中點(diǎn)分別為，連接，如圖2所示，

易知平面，F(xiàn)T不含于平面，故平面，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面與平面是同一個(gè)平面.則點(diǎn)的軌跡為線段：在三角形中，則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的最大值為，故正確.故選BCD11．【答案】ABD【詳解】由題意知圓的圓心為，半徑為；當(dāng)時(shí)，過圓心，則弦長最大為，故A正確；

圓心到的距離，解得，故B正確；因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外.因?yàn)?所有點(diǎn)在直線上.所以向量同向，取當(dāng)時(shí)，過圓心，所以，不一定是1，故C錯(cuò)；因?yàn)?，則的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（在已知圓內(nèi)的一部分），則存在，使得，故D正確.故選ABD.12．【答案】252【解析】根據(jù)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求得．在展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】∵在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，∴，解得，∴中，，∴當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．13．【答案】【詳解】…①，…②，①②得：，解得：；①②得：，解得：.14．【答案】【詳解】因?yàn)榛颍?，設(shè)2025個(gè)差中有個(gè)2和個(gè)，故，所以，即數(shù)列前2026項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為.令，即，則，所以為奇函數(shù)，結(jié)合題設(shè)易知，故.15．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）由題設(shè)，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.（2）由（1）及題設(shè)，，且，所以，則，故，又，可得，若，則，而，故不合題設(shè)；所以，所以.16．【答案】（1）（2）分布列見解析，【詳解】（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對(duì)中級(jí)編程題的數(shù)量至少為，則甲同學(xué)初賽不被淘汰的概率為，所以甲同學(xué)初賽被淘汰的概率為；（2）由題意可取，則，，，，，，，所以的分布列為：故.17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）由，得，又平面，則平面，而平面，于是，由為中點(diǎn)，，得，又平面，因此面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，二面角的平面角為，則，由平面，得為與平面所成的角，在中，，則，，而，則，此時(shí)，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，于是，在中，，則，所以四面體的體積.18．【答案】（1）（2）①9；②【詳解】（1）若不等式的解集，則，所以.解得.（2）若，即，.①，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為9，②在R上恒成立，即在R上恒成立，故，解得：故a的取值范圍為19．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【詳解】（1）要證明集合具有性質(zhì)，即證明，都有，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，都有，即集合具有性質(zhì).（2）因?yàn)?，，令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所