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文檔簡(jiǎn)介
高考數(shù)學(xué)分類討論與試題及答案姓名:____________________
一、多項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)
1.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\),下列選項(xiàng)中正確的是:
A.\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極大值
B.\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極小值
C.\(f(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)為0
D.\(f(x)\)在\(x=0\)處的二階導(dǎo)數(shù)為0
2.下列關(guān)于復(fù)數(shù)\(z=1+i\)的說(shuō)法正確的是:
A.\(z\)的模為1
B.\(z\)的輻角為\(\frac{\pi}{4}\)
C.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)為\(1-i\)
D.\(z\)的平方為\(2i\)
3.在直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)\(A(1,2)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(y=x\)上,且\(\triangleAOB\)為等腰直角三角形,則點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)是:
A.(1,1)
B.(2,2)
C.(1,3)
D.(3,2)
4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=2n-1\),則數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的表達(dá)式為:
A.\(S_n=n^2\)
B.\(S_n=n^2-n\)
C.\(S_n=n^2+n\)
D.\(S_n=n^2+2n\)
5.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\),若\(f(x)\)的圖像開口向上,且\(f(1)=2\),\(f(2)=4\),\(f(3)=6\),則\(a\)、\(b\)、\(c\)的取值分別為:
A.\(a=1\),\(b=2\),\(c=1\)
B.\(a=1\),\(b=0\),\(c=1\)
C.\(a=2\),\(b=1\),\(c=0\)
D.\(a=0\),\(b=1\),\(c=1\)
6.在三角形\(ABC\)中,\(AB=AC\),\(BC=4\),若\(\angleA=60^\circ\),則\(BC\)邊上的高\(yùn)(h\)為:
A.\(2\sqrt{3}\)
B.\(4\sqrt{3}\)
C.\(2\)
D.\(4\)
7.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=3n^2-n\),則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為:
A.\(a_n=6n-3\)
B.\(a_n=3n-3\)
C.\(a_n=6n-1\)
D.\(a_n=3n+1\)
8.在直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)\(A(1,1)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(y=2x\)上,且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\),則點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)是:
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(2,2)
D.(1,3)
9.已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\),則\(f(2)\)的值是:
A.\(2\)
B.\(\sqrt{2}\)
C.\(4\)
D.\(\frac{1}{2}\)
10.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)\(A(1,2)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(x=2\)上,且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(45^\circ\),則點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)是:
A.(1,4)
B.(2,4)
C.(2,2)
D.(1,1)
二、判斷題(每題2分,共10題)
1.若\(a>b>0\),則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)。()
2.任意實(shí)數(shù)\(x\)都滿足\(x^2\geq0\)。()
3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(x\),都有\(zhòng)(\sinx=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)。()
4.函數(shù)\(f(x)=x^3\)在\(R\)上是增函數(shù)。()
5.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù),且\(a^2+b^2=0\),則\(a=0\)且\(b=0\)。()
6.在等差數(shù)列中,若\(a_1\)和\(a_3\)是方程\(x^2-4x+3=0\)的兩個(gè)根,則該數(shù)列的公差為2。()
7.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)\(A(1,1)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(y=x\)上,且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\),則\(B\)的坐標(biāo)為\((2,2)\)。()
8.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\),則\(\alpha\)的取值范圍為\(\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\)。()
9.在直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)\(A(1,2)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(x=3\)上,且\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(30^\circ\),則\(B\)的坐標(biāo)為\((3,1)\)。()
10.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是單調(diào)遞減的。()
三、簡(jiǎn)答題(每題5分,共4題)
1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=3n-2\),求該數(shù)列的前5項(xiàng)。
2.已知函數(shù)\(f(x)=2x^3-6x^2+9x\),求\(f(x)\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)。
3.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)\(A(1,3)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(y=-x+4\)上,求\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角\(\theta\)(用弧度表示)。
4.解下列不等式組:
\[
\begin{cases}
2x-3y>6\\
x+4y\leq8
\end{cases}
\]
四、論述題(每題10分,共2題)
1.論述函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)在\(a\neq0\)時(shí)的性質(zhì),包括其圖像特征、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及函數(shù)的單調(diào)性等。
2.論述數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)的推導(dǎo)過(guò)程,并說(shuō)明等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)的來(lái)源。
五、單項(xiàng)選擇題(每題2分,共10題)
1.若\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\),則\(\cos\alpha\)的值為:
A.\(\frac{1}{2}\)
B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C.\(-\frac{1}{2}\)
D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2.下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的是:
A.\(f(x)=x^2+1\)
B.\(f(x)=|x|\)
C.\(f(x)=\sqrt{x}\)
D.\(f(x)=x^3\)
3.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中,若\(a_1=2\),\(a_4=10\),則該數(shù)列的公差\(d\)為:
A.2
B.4
C.6
D.8
4.若\(\tan\alpha=1\),則\(\alpha\)的取值范圍是:
A.\(\left(0,\frac{\pi}{4}\right)\)
B.\(\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\)
C.\(\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)\)
D.\(\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)\)
5.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\),則\(f'(1)\)的值為:
A.-2
B.0
C.2
D.3
6.下列不等式中,正確的是:
A.\(\sqrt{4}<\sqrt{9}\)
B.\(2^3<3^2\)
C.\(\frac{1}{2}<\frac{1}{3}\)
D.\(-5<-3\)
7.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)\(A(1,2)\),點(diǎn)\(B\)在直線\(x=3\)上,則\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角\(\theta\)的余弦值為:
A.\(\frac{1}{2}\)
B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
8.下列關(guān)于復(fù)數(shù)\(z=1+i\)的說(shuō)法正確的是:
A.\(z\)的模為1
B.\(z\)的輻角為\(\frac{\pi}{4}\)
C.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)為\(1-i\)
D.\(z\)的平方為\(2i\)
9.若\(a\)和\(b\)是實(shí)數(shù),且\(a^2+b^2=0\),則\(a\)和\(b\)的取值分別為:
A.\(a=0\),\(b=0\)
B.\(a=1\),\(b=0\)
C.\(a=0\),\(b=1\)
D.\(a=1\),\(b=1\)
10.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=3n^2-n\),則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為:
A.\(a_n=6n-3\)
B.\(a_n=3n-3\)
C.\(a_n=6n-1\)
D.\(a_n=3n+1\)
試卷答案如下:
一、多項(xiàng)選擇題
1.C
解析思路:求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-3\),令\(f'(x)=0\)得\(x=0\),代入原函數(shù)得\(f(0)=0\),故\(x=0\)是極值點(diǎn),且\(f''(0)=6\neq0\),故\(x=0\)是極小值點(diǎn)。
2.A,C
解析思路:復(fù)數(shù)的模\(|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\),輻角\(\theta=\arctan\left(\frac{1}{1}\right)=\frac{\pi}{4}\),共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=1-i\),平方\(z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i\)。
3.A
解析思路:由于\(\triangleAOB\)為等腰直角三角形,且\(\angleA=90^\circ\),所以\(\triangleAOB\)的邊長(zhǎng)比為\(1:1:\sqrt{2}\),因此\(B\)的坐標(biāo)為\((1,1)\)。
4.A
解析思路:數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+(2n-1))}{2}=n^2\)。
5.B
解析思路:由\(f(1)=2\)和\(f(2)=4\)可得\(a+b+c=2\)和\(4a+2b+c=4\),解得\(a=1\),\(b=0\),\(c=1\)。
6.A
解析思路:由\(\angleA=60^\circ\)和\(AB=AC\)可得\(\triangleABC\)為等邊三角形,故\(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\timesBC=2\sqrt{3}\)。
7.A
解析思路:由\(S_n=3n^2-n\)可得\(a_1=2\),\(a_n=6n-3\),故公差\(d=a_n-a_{n-1}=3\)。
8.B
解析思路:由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\),得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\),即\(1\times(2-x)+1\times(y-2)=0\),解得\(B\)的坐標(biāo)為\((2,2)\)。
9.B
解析思路:由\(f(x)=\sqrt{x}\)可得\(f(2)=\sqrt{2}\)。
10.B
解析思路:由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(45^\circ\),得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}|\times|\overrightarrow{AB}|\times\cos45^\circ\),解得\(B\)的坐標(biāo)為\((3,1)\)。
二、判斷題
1.×
解析思路:若\(a>b>0\),則\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)是正確的,因?yàn)榉帜冈酱螅謹(jǐn)?shù)越小。
2.√
解析思路:任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)的,因此\(x^2\geq0\)對(duì)所有實(shí)數(shù)\(x\)都成立。
3.√
解析思路:根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,\(\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\)對(duì)所有實(shí)數(shù)\(\alpha\)都成立。
4.√
解析思路:函數(shù)\(f(x)=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2\),對(duì)于\(x>0\),\(f'(x)>0\),對(duì)于\(x<0\),\(f'(x)<0\),因此\(f(x)\)在\(R\)上是增函數(shù)。
5.√
解析思路:若\(a^2+b^2=0\),則\(a\)和\(b\)必須同時(shí)為0,因?yàn)槠椒胶蜑?意味著每個(gè)平方項(xiàng)都必須為0。
6.√
解析思路:由\(a_1+a_3=4\)可得\(2a_1+2d=4\),解得\(a_1=1\),\(d=1\),因此公差為2。
7.×
解析思路:由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(90^\circ\),得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=0\),解得\(B\)的坐標(biāo)為\((2,2)\),而不是\((1,1)\)。
8.√
解析思路:由\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)可得\(\alpha=\frac{\pi}{6}\)或\(\alpha=\frac{5\pi}{6}\),因此\(\alpha\)的取值范圍為\(\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\)。
9.√
解析思路:由\(\overrightarrow{OA}\)與\(\overrightarrow{AB}\)的夾角為\(30^\circ\),得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}|\times|\overrightarrow{AB}|\times\cos30^\circ\),解得\(B\)的坐標(biāo)為\((3,1)\)。
10.√
解析思路:函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}
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