山東省名校聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期4月高考模擬考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省名校聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期4月高考數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．2．已知集合，，有且只有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．1 D．e3．已知函數(shù)在處取得最大值，則（）A． B．1 C． D．24．在正方形中，，為的中點(diǎn)，為邊上靠近的四等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．若隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A． B． C．1 D．26．已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在直線上任取一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，則到直線距離的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．對(duì)于，將表示為，其中，當(dāng)時(shí)，為0或1，定義為正整數(shù)的表達(dá)式中的個(gè)數(shù)，則（）A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題（本大題共3小題）9．已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（）A．一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B．若，則或C．過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條D．當(dāng)時(shí)，11．如圖，矩形中，分別為的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，下列說法正確的是（）

A．三棱錐體積的最大值為8B．存在某個(gè)位置使C．三棱錐外接球半徑為3D．直線被三棱錐外接球截得的線段長(zhǎng)的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．一個(gè)大于1的自然數(shù)，只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)．在不超過20的質(zhì)數(shù)中任取三個(gè)不同數(shù)，則其和是偶數(shù)的取法有種．13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則14．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則；若，則面積的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)棱與底面所成的角為，且．底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其重心為在線段上，且滿足．(1)求證：平面；(2)求直線與底面所成角的正弦值．16．每年3月20日是國(guó)際幸福日，節(jié)日的意義在于追求幸福，建設(shè)未來．某中學(xué)為紀(jì)念國(guó)際幸福日舉辦了幸福種植計(jì)劃，一名同學(xué)記錄了種子的發(fā)芽情況，天數(shù)12345胚芽長(zhǎng)度（厘米）0.81.11.52.44.2通過對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①；②，(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中的關(guān)于的相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01），若，則選擇模型①，否則選擇模型②，試問應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)第6天種子的胚芽長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.01）．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．樣本相關(guān)系數(shù)為．參考數(shù)據(jù)：．令．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)．（?。┰O(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（ⅱ）證明：對(duì)任意的，有．18．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若上兩點(diǎn)滿足．（ⅰ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求直線的方程；（ⅱ）求直線被圓所截得弦長(zhǎng)的最小值．19．若存在無窮多組正整數(shù)組，滿足，且對(duì)任意正整數(shù)，不存在正數(shù)，使得，則稱正整數(shù)是有趣數(shù)，稱為的一列有趣數(shù)組（不必考慮所有的有趣數(shù)組）．(1)判斷下列數(shù)組是否為1的一列有趣數(shù)組，不需要說明理由；①；②．(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交圓于另一點(diǎn)，由此證明：2是有趣數(shù)，并找出2的一列有趣數(shù)組；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)，求它們都是有趣數(shù)的概率．

答案1．【正確答案】B【詳解】由，故虛部為.故選B.2．【正確答案】C【詳解】令，則，記，則，當(dāng)在單調(diào)遞增，當(dāng)在單調(diào)遞減，且當(dāng)，,因此只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，則，由于有且只有2個(gè)子集，則只有一個(gè)元素，故，故選C.3．【正確答案】D【詳解】由題設(shè)，則，，又，則.故選D.4．【正確答案】A【詳解】由題意，為的夾角，而，所以，，，綜上，.故選A.

5．【正確答案】C【詳解】由題設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為1.故選C.6．【正確答案】A【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，，且，則，即，又，所以.故選A.7．【正確答案】B【詳解】設(shè),,可得,，設(shè)以為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立與拋物線的方程可得，故，解得，故以為切點(diǎn)的切線方程為:,即——①同理可得,以為切點(diǎn)的切線方程為:——②設(shè)過直線上任一點(diǎn)為代入①②得所以直線的方程為,即,故過定點(diǎn),當(dāng)時(shí),到的距離的最大值為:.故選B.8．【正確答案】C【詳解】由，則.故選C.9．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故A對(duì)；因?yàn)?，所以，由，所以，故B對(duì)；若，滿足，顯然不成立，故C錯(cuò)；當(dāng)，則，必有，當(dāng)，則，故，必有，故D對(duì).故選ABD.10．【正確答案】AB【詳解】由題設(shè)，當(dāng)或時(shí)，，則在、上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以分別為極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，A對(duì)；由，令，則，所以或，故對(duì)于，則或，B對(duì)；由且，則處的切線為，過，由，則處的切線過，所以過的切線至少有兩條，C錯(cuò)；由，，所以，故，D錯(cuò).故選AB.11．【正確答案】ACD【詳解】A：當(dāng)面面BCD時(shí)，三棱錐體積最大，由題設(shè)易知，所以三棱錐的高為，則，對(duì)．B：在矩形ABCD中連接CM，有，易得，則，如下圖，翻折過程中始終有，又在平面內(nèi)，所以平面，翻折過程中平面，即恒有，且平面，翻折過程中恒有平面平面，所以，在翻折的過程中，點(diǎn)M在底面BCD的投影落到平面在平面的投影直線上，顯然，翻折過程中同一平面內(nèi)的DN與DB不平行，故不成立，錯(cuò)．C：在翻折的過程中，和都是直角三角形，所以兩個(gè)面的外接圓圓心都在BD的中點(diǎn)處，故三棱錐外接球半徑為3，對(duì)．D：因?yàn)榍蛐臑锽D的中點(diǎn)O，連接OM，ON，所以，又直線MN被三棱錐外接球截得的線段長(zhǎng)，其中h為O到MN的距離，所以h只受與的夾角的影響，其中夾角越大，線段越長(zhǎng)，當(dāng)剛要翻折時(shí)線段最長(zhǎng)，趨近于直徑6，當(dāng)將要與面BCD重合時(shí)，線段最短，如圖所示，因?yàn)椋裕?/p>

所以，所以，故線段長(zhǎng)為，綜上，線段長(zhǎng)的取值范圍為，對(duì)．故選ACD.12．【正確答案】21【詳解】不超過20的質(zhì)數(shù)有：共有8個(gè)數(shù)，要使得取出的三個(gè)數(shù)和為偶數(shù)，則必須得有2，再?gòu)氖Ｏ?個(gè)數(shù)中任取2個(gè)，則共有種.13．【正確答案】【詳解】由題設(shè)，數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)，則，顯然滿足上式，所以.14．【正確答案】2【詳解】（1）法一：因?yàn)?，可得，由正弦定理可得：所以；法二：因?yàn)?，由正弦定理可得，由余弦定理得：化?jiǎn)得：，即，所以.（2）方法一：可得，由余弦定理可得，且，所以所以，即時(shí)，的最大值為3，所以面積的最大值為．方法二：以AB邊所在直線為x軸，以邊AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，即頂點(diǎn)C在以為圓心，以為半徑的圓（除去與x軸的交點(diǎn)）上，所以的AB邊上的高最大值為，所以面積的最大值為．15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵側(cè)面底面，側(cè)棱與底面成60°的角，∴，又，取的中點(diǎn)，則底面.以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，，，∵為的重心，∴，∵，∴，∴，又，所以，則，又平面，平面，∴側(cè)面.（2）由（2）得，，易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與底面所成角的正弦值為．16．【正確答案】(1)應(yīng)選模型②；(2)，預(yù)測(cè)第6天種子的胚芽長(zhǎng)度為5.51厘米.【詳解】（1）由題設(shè)，，所以，所以，故應(yīng)選模型②；（2）令，則求出線性回歸方程，所以，，所以，所以，又，則，故，所以回歸方程為，故，有厘米，所以，預(yù)測(cè)第6天種子的胚芽長(zhǎng)度為5.51厘米.17．【正確答案】(1)；(2)（i）在上單調(diào)遞增；（ii）證明見解析.【詳解】（1）由，則，令且，則，令且，則，即在上單調(diào)遞增，所以，即，故在上單調(diào)遞增，則，綜上，.（2）（i）時(shí)，且，則，故在上單調(diào)遞增；（ii）令，則，由，則，由（i）知，，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，綜上，對(duì)任意的，有.18．【正確答案】(1)；(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）由題意，知PF與x軸垂直，，令，解得，即，解得或（舍去），故，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，，由，知，又，解得或1（舍去），故直線AB的方程為；（ii）當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立橢圓C的方程，得，設(shè)，由韋達(dá)定理知，于是，由知，，若，則直線AB為，直線AB恒過定點(diǎn)，不合題意，若，則直線AB為，直線AB過定點(diǎn)，當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB也過點(diǎn)，于是直線AB恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線AB與OM垂直時(shí)，圓心O到直線AB的距離最大，為，故直線AB被圓O所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為．

19．【正確答案】(1)①不是，②是；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）①不是，因?yàn)閿?shù)組中的任何兩個(gè)都是比例關(guān)系；②是，因?yàn)閿?shù)組中的任何兩個(gè)都不是比例關(guān)系.（2）直線AB的方程為，聯(lián)立圓的方程，整理得，由韋達(dá)定理得，即，于是，又點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足圓的方程，于是，即．取，其中，若存在正整數(shù)i和j且i，，使，那么．因?yàn)椋瑒t有比例性質(zhì)，于是，，故，則，矛盾！故對(duì)任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)，使得，則2是有趣數(shù)，所以2的一列有趣數(shù)組為．（3）由（1）可知1是有趣數(shù)；由（2）可知2是有趣數(shù)；當(dāng)時(shí)，假設(shè)方程有正整數(shù)解，設(shè)是所有正整數(shù)解中使x最小的一組解，由，故是3的倍數(shù)，若，k，l為非負(fù)整數(shù)，則不可能是3的倍數(shù)，矛盾！同理，或，或也不成立．若為3的倍數(shù)，則也為3的倍數(shù)，設(shè)，則，即，故為3的倍數(shù)．設(shè)，則有，所以也是原方程的一組正整數(shù)解，且，矛盾．因此方程沒有正整數(shù)解，則3不是有趣數(shù)，當(dāng)時(shí)，由（1）知，則，此時(shí)取，其中，…，由比例性質(zhì)同理可知對(duì)任意正整數(shù)i，j，不存在正數(shù)，使得，則4是有趣數(shù)，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作斜率為的直線交圓于另一點(diǎn)D，則直線CD的方程為，聯(lián)立圓的方程，整理得，由韋達(dá)定理可得，即，于是，又點(diǎn)D的坐標(biāo)滿