五年級奧數(shù)第25講-完全平方數(shù)

學生課程講義

課程名稱五年級奧數(shù)上課時間任課老師沈老師

第25講,本講課題：完全平方數(shù)

內(nèi)容概要

一個自然數(shù)自乘所得的積稱為完全平方數(shù)，100以內(nèi)的完全平方數(shù)（又稱平方數(shù)）是0、1、2

X2=4、3X3=9、4X4=16、5X5=25、6X6=36、7X7=49、8X8=64、9X9=81共10個,平方數(shù)

有一些特別的性質(zhì)，可以解決一些有趣的問題:少年宮游戲廳內(nèi)懸掛著200個彩色燈泡,這些燈

泡或明或暗，閃爍不停.這20C個燈泡按「200編號,它們每過1秒變化一下自己的明暗狀態(tài).

開始時,全部燈泡是暗的第1秒,全部燈泡是亮著的；

第2秒，凡編號為2的倍數(shù)的燈泡改變自己的明暗狀態(tài),即變暗；

第3秒，凡編號為3的倍數(shù)的燈泡改變自己的明暗狀態(tài)：明的變暗，暗的變明……依次類推,

第n秒鐘,凡編號為n的倍數(shù)的燈泡改變原來的明暗狀態(tài).每200秒鐘為一周期.即到201秒時,

全部燈泡大放光明，然后繼續(xù)上述規(guī)則改變

原來的狀態(tài).問:第200秒時，明亮的燈泡有多少

事實上，每個燈泡如果明暗改變次數(shù)為偶數(shù)次時，它還保持原來的明暗狀態(tài);如果變化次數(shù)

為奇數(shù)次時，則明暗狀態(tài)發(fā)生改變，原來明亮的燈泡將變暗,原來不亮的燈泡將變明亮.由于平

方數(shù)的不同約數(shù)個數(shù)為奇數(shù),從第2秒開始（此時，偶數(shù)編號燈泡變暗,奇數(shù)編號燈泡是亮的）起

到200秒止，中間的平方數(shù)有4、9、16、25、36>49、64、81、100、12k144、169、196,在

這些秒時，同樣編號的燈泡由暗變明，加上1號燈泡始終是亮的,共14個燈泡是亮的.下面舉例

來討論平方數(shù)的一些問題。

【例1】在1-2016的自然數(shù)中，完全平方數(shù)共隨堂練習1

有（）個在324、897、211、247、546中，哪些數(shù)

是完全平方數(shù)。

【例2146035乘以一個自然數(shù)a,是一個平方【例4】

數(shù),a最小是多少？請找出符合下列性質(zhì)的所有四位數(shù):

⑴它是一個平方數(shù)；

（2）開始兩位數(shù)的數(shù)字要相同；

（3）最末兩位數(shù)的數(shù)字要相同

隨堂練習2

203500乘一個自然數(shù)a,是一個平方數(shù)，a最

小是多少？

隨堂練習3

自然數(shù)N是一個兩位數(shù),它是一個完全平方

數(shù),而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是完全平

方數(shù)，這樣的自然數(shù)是（）

【例3】下面是一個算式

1+1X2+1X2X3+1X2X3X4+1X2X3X

4X5+1X2X3X4X5X6.這個算式的得數(shù)能

［例5］有一些自然數(shù)（0除外）既是平方數(shù),

否是某個數(shù)的平方？

又是立方數(shù)（注:平方數(shù)可以寫成兩個相同的

自然數(shù)的乘積，立方數(shù)可以寫成三個相同的

自然數(shù)的乘積）.如：1=1X1=1X1X1,64=8X

8=4X4X4,那么1000以內(nèi)的自然數(shù)中，這樣

的數(shù)有（〉個

［例6］下式中每個漢字表示1-9中的一個2、把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與其十位數(shù)字交

數(shù)字,不同的漢字代表不同的數(shù)字.已知換后得到一個新數(shù)，它與原來數(shù)加起來的和

熱2+愛2+小2=學2+奧2+數(shù)2那么，請寫恰好是某個自然數(shù)的平方，這個和是（）

出符合上述條件的一個等式:

3、哥哥對弟弟說：“到21世紀的六年，我恰

好是X歲，"哥哥生于（）年。

隨堂練習44、在自然數(shù)中,恰好有3個因數(shù)的兩位數(shù)共

12345654321是平方數(shù)嗎?有（）個。

5、祖孫三人，孫子年齡與爺爺年齡之積是

1512,而爺爺、父親、孫子三人年齡之積是完

全平方數(shù),則父親年齡是（）歲。

練習題

一、填空題

1、一個兩位數(shù)等丁它個位數(shù)字的平方與「位

數(shù)字之和,這個兩位數(shù)是6、（/+22+3?+…+20149除以7的余數(shù)是（）

7、2235與2016的和除以7的余數(shù)是()12、1234567654321X(1+2+3+5+6+7+6+5+4+3+2+1)

等于()

8、在2024到2499之間有多少個平方數(shù)？

13、請說明從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)的和是