小學(xué)五六年級(jí)奧數(shù)解題技巧

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小學(xué)五六年級(jí)奧數(shù)解題技巧

奧賽專題-抽屜原理

【例1】一個(gè)小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個(gè)月過(guò)

生日。為什么？

【分析】每年里共有12個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某

一個(gè)月。如果把這12個(gè)月看成12個(gè)“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看

成13只“蘋(píng)果”，把13只蘋(píng)果放進(jìn)12個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里

至少放2個(gè)蘋(píng)果，也就是說(shuō)，至少有2名同學(xué)在同一個(gè)月過(guò)生日。

【例2】任意4個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是

為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個(gè)自然數(shù)除以3

的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個(gè)自然數(shù)

被3除的余數(shù)，或者是0,或者是1,或者是2,根據(jù)這三種情況，

可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個(gè)“抽屜

我們把4個(gè)數(shù)看作“蘋(píng)果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個(gè)抽屜里至少

有2個(gè)數(shù)。換句話說(shuō)，4個(gè)自然數(shù)分成3類，至少有兩個(gè)是同一類。

既然是同一類，那么這兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意

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4個(gè)自然數(shù)，至少有2個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試

問(wèn)不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無(wú)

左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪

子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1,只要取出6只襪子就總

有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，

如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1,又可配成一雙拿走。

如果再補(bǔ)進(jìn)2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6+2+2=10只

襪子，就一定會(huì)配成3雙。

思考：1.能用抽屜原理2,直接得到結(jié)果嗎？

2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應(yīng)取出多少只？

3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？

【例4】一個(gè)布袋中有35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種

顏色球各有10個(gè)，另外還有3個(gè)藍(lán)色球、2個(gè)綠色球，試問(wèn)一次至

少取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中至少有4個(gè)是同一顏色的球？

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【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個(gè)球中，有3個(gè)是藍(lán)色球、2個(gè)綠色球。

接下來(lái)，把白、黃、紅三色看作三個(gè)抽屜，由于這三種顏色球相等均

超過(guò)4個(gè)，所以，根據(jù)抽屜原理2,只要取出的球數(shù)多于（4?1）X3=9

個(gè)，即至少應(yīng)取出10個(gè)球，就可以保證取出的球至少有4個(gè)是同一

抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應(yīng)取出10+5=15個(gè)球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個(gè)不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒(méi)有，至少有幾個(gè)”這樣的

問(wèn)題時(shí)，想到它一一抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

奧賽專題-還原問(wèn)題

【例1】某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次

取了余下的一半多100元。這時(shí)他的存折上還剩1250元。他原有存

款多少元？

【分析】從上面那個(gè)“重新包裝”的事例中，我們應(yīng)受到啟發(fā)：要想

還原，就得反過(guò)來(lái)做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”

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（減）幾，還原時(shí)應(yīng)為減（加）幾，原來(lái)是乘（除）以幾，還原時(shí)應(yīng)

為除（乘）以幾。

對(duì)于一些比較復(fù)雜的還原問(wèn)題，要學(xué)會(huì)列表，借助表格倒推，既能理

清數(shù)量關(guān)系，又便于驗(yàn)算。

奧賽專題-雞兔同籠問(wèn)題

例1雞兔同籠，頭共46,足共128,雞兔各幾只？

［分析］：如果46只都是兔,一共應(yīng)有4X46=184只腳,這和已知的

128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來(lái)置換一只兔，就

要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應(yīng)該換進(jìn)幾只雞才能使56只

腳的差數(shù)就沒(méi)有了呢？顯然，56^2=28,只要用28只雞去置換28

只兔就行了.所以，雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)是46-28=18。

解：①雞有多少只？

（4X6-128）4-（4-2）

=（184-128）4-2

=564-2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答:雞有28只，免有18只。

例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問(wèn)雞與兔各多少

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只？

［分析］:這個(gè)例題與前面例題是有區(qū)別的,沒(méi)有給出它們腳數(shù)的總和,

而是給出了它們腳數(shù)的差.這又如何解答呢？

假設(shè)100只全是雞，那么腳的總數(shù)是2X100=200（只）這時(shí)兔的腳

數(shù)為0,雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上雞腳比兔腳多80只.因此，

雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120（只），這是因?yàn)榘哑?/p>

中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳

數(shù)減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只），所以換

成雞的兔子有120+6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。

解：（2X100-80）4-（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：雞與兔分別有80只和20只。

例3紅英小學(xué)三年級(jí)有3個(gè)班共135人，二班比一班多5人，三班

比二班少7人，三個(gè)班各有多少人？

［分析1］我們?cè)O(shè)想，如果條件中三個(gè)班人數(shù)同樣多，那么，要求每班

有多少人就很容易了,由此得到啟示，是否可以通過(guò)假設(shè)三個(gè)班人數(shù)

同樣多來(lái)分析求解。

結(jié)合下圖可以想，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)相同，以一班為標(biāo)

準(zhǔn)，則二班人數(shù)要比實(shí)際人數(shù)少5人.三班人數(shù)要比實(shí)際人數(shù)多7-5=2

（人）.那么，請(qǐng)你算一算，假設(shè)二班、三班人數(shù)和一班人數(shù)同樣多,

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三個(gè)班總?cè)藬?shù)應(yīng)該是多少？

解法1:

一班：［135-5+（7-5）］4-3=1324-3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年級(jí)一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

［分析2］假設(shè)一、三班人數(shù)和二班人數(shù)同樣多，那么，一班人數(shù)比實(shí)

際要多5人，而三班要比實(shí)際人數(shù)多7人.這時(shí)的總?cè)藬?shù)又該是多少？

解法2：（135+5+7）4-3=1474-3=49（人）

49-5=44（人）,49-7=42（人）

答：三年級(jí)一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

例4劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船.每條大

船坐6人，每條小船坐4人，問(wèn)大船、小船各租幾條？

［分析］我們分步來(lái)考慮：

①假設(shè)租的10條船都是大船，那么船上應(yīng)該坐6X10=60（人）。

②假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實(shí)際人數(shù)多了60-（41+1）=18（人），多的原因

是把小船坐的4人都假設(shè)成坐6人。

③一條小船當(dāng)成大船多出2人，多出的18人是把18?2=9（條）小

船當(dāng)成大船。

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解：［6X10-（41+1）.（6-4）

=184-2=9（條）10-9=1（條）

答：有9條小船，1條大船。

例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共18只，共有腿118條，翅膀20

對(duì)（蜘蛛8條腿；靖蜓6條腿，兩對(duì)翅膀：蟬6條腿，一對(duì)翅月旁），

求蜻蜓有多少只？

［分析］這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問(wèn)題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、

蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛

的只數(shù)我們假設(shè)三種動(dòng)物都是6條腿，則總腿數(shù)為6X18=108（條）,

所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以,

應(yīng)有（118-108）4-（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）

便是蜻蜓和蟬的只數(shù).再?gòu)某岚驍?shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀

數(shù)1X13=13（對(duì)），比實(shí)際數(shù)少20-13=7（對(duì)），這是由于蜻蜓有兩

對(duì)翅膀，而我們只按一對(duì)翅膀計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7+（2-1）

=7（只）.

解：①假設(shè)蜘蛛也是6條腿，三種動(dòng)物共有多少條腿？

6X18=108（條）

②有蜘蛛多少只？

（118-108）4-（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蟬共有多少只？

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