高考數(shù)學(xué) 創(chuàng)新融合3　數(shù)列與概率

創(chuàng)新融合3數(shù)列與概率1.(2024·菏澤模擬)已知A,B兩個盒子中各有一個黑球,一個白球.每次從兩個盒子中各隨機(jī)取出一個小球交換后放回.記n次交換后,B盒子中有一黑一白兩個小球的概率為Pn,A盒子中黑球的個數(shù)為Xn.(1)求Pn;(2)求Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn).【解析】(1)依題意,每次交換共有4種情況,其中有2種情況交換后B盒子中仍為一黑一白兩個小球,另外2種情況交換后,B盒子中有兩個黑球或兩個白球,再次交換后,B盒子中必為一黑一白兩個小球,則P0=1,P1=12,Pn+1=12Pn+(1-Pn)=1-12Pn,即有Pn+1-23=-12(Pn-23),因此數(shù)列{Pn-23}是以P1-23=-16為首項,-12為公比的等比數(shù)列,即Pn-2所以Pn=23+13×(-12(2)依題意,Xn的可能取值為0,1,2,P(Xn=0)=14Pn-1P(Xn=1)=12Pn-1+1-Pn-1=1-12PnP(Xn=2)=14Pn-1,所以E(Xn)=0×14Pn-1+1×(1-12Pn-1)+2×14P2.(2024·鹽城模擬)某學(xué)校有A,B兩個餐廳,經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),學(xué)生在第一天就餐時會隨機(jī)地選擇一個餐廳用餐.此后,如果某同學(xué)某天去A餐廳,那么該同學(xué)下一天還去A餐廳的概率為0.4;如果某同學(xué)某天去B餐廳,那么該同學(xué)下一天去A餐廳的概率為0.8.(1)記甲、乙、丙3位同學(xué)中第2天選擇A餐廳的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望;(2)甲同學(xué)第幾天去A餐廳就餐的可能性最大?并說明理由.【解析】(1)設(shè)一位同學(xué)第2天選擇去A餐廳就餐的概率為P,則P=12×25+12×45=35.則X~B所以P(X=0)=C30(35)0(1-35)P(X=1)=C31(35)1(1-35)P(X=2)=C32(35)2(1-35)P(X=3)=C33(35)3(1-35)0=27125X0123P8365427則X的期望為E(X)=3×35=9(2)設(shè)甲同學(xué)第n天去A餐廳的概率為Pn,則P1=12當(dāng)n≥2時,Pn=25Pn-1+45(1-Pn-1)=-25Pn-1所以Pn-47=-25(Pn-1-47),又P1-4所以{Pn-47}是以-114為首項,-2所以Pn-47=-114×(-25)所以Pn=47-114×(-25)當(dāng)n是奇數(shù)時,Pn=47-114×(25)n-1當(dāng)n是偶數(shù)時,Pn=47+114×(25)n-1>47,則P2>P4>P6>…>P2k>47,所以甲同學(xué)第2天去A餐廳就餐的可能性最大.3.(2024·荊州三模)宜昌市是長江三峽起始地,素有“三峽門戶”、“川鄂咽喉”之稱.為了合理配置旅游資源,管理部門對首次來宜昌旅游的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查,據(jù)統(tǒng)計,其中14的人計劃只參觀三峽大壩,另外34的人計劃既參觀三峽大壩又游覽三峽人家.每位游客若只參觀三峽大壩,則記1分;若既參觀三峽大壩又游覽三峽人家,則記2分.假設(shè)每位首次來宜昌旅游的游客計劃是否游覽三峽人家相互獨(dú)立,(1)從游客中隨機(jī)抽取2人,記這2人的合計得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)從游客中隨機(jī)抽取n人(n∈N*),記這n人的合計得分恰為n+1分的概率為Pn,求∑i=1n(3)從游客中隨機(jī)抽取若干人,記這些人的合計得分恰為n分的概率為an,隨著抽取人數(shù)的無限增加,an是否趨近于某個常數(shù)?若是,求出這個常數(shù);若不是,請說明理由.【解析】(1)由題意得,隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,可得P(X=2)=(14)2=116,P(X=3)=C21×14×34=38,P(X=4)=所以X的分布列如表所示:X234P139所以,數(shù)學(xué)期望為E(X)=2×116+3×38+4×916(2)由這n人的合計得分為n+1分,則其中只有1人計劃既參觀三峽大壩又游覽三峽人家,所以Pn=Cn1·34·(14)n-1=3n4n,∑i=1nPi=34+3×242+3×343+…+3n由兩式相減,可得34×∑i=1nPi=34+342+343+…+3所以∑i=1nPi=43(1-(3)在隨機(jī)抽取的若干人的合計得分為n-1分的基礎(chǔ)上再抽取1人,則這些人的合計得分可能為n分或n+1分,記“合計得n分”為事件A,“合計得n+1分”為事件B,A與B是對立事件,因?yàn)镻(A)=an,P(B)=34an-1,所以an+34an-1=1(即an-47=-34(an-1-47因?yàn)閍1=14,則數(shù)列{an-47}是首項為-928,公比為-34所以an-47=-928(-34)n-1所以an=47-928(-34)n-1所以隨著抽取人數(shù)的無限增加,an趨近于常數(shù)474.(2024·新高考Ⅰ卷)設(shè)m為正整數(shù),數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列,若從中刪去兩項ai和aj(i<j)后剩余的4m項可被平均分為m組,且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,則稱數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分?jǐn)?shù)列.(1)寫出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使數(shù)列a1,a2,…,a6是(i,j)——可分?jǐn)?shù)列;(2)當(dāng)m≥3時,證明:數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分?jǐn)?shù)列;(3)從1,2,…,4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j(i<j),記數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm,證明:Pm>18【解析】(1)(i,j)∈{(1,2),(1,6),(5,6)}.(2)當(dāng)m=3時,注意到a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14是(2,13)——可分?jǐn)?shù)列;當(dāng)m>3時,對于a14后面的每相鄰四項分為一組,即a15,a16,a17,a18;…,均構(gòu)成等差數(shù)列,所以,當(dāng)m≥3時,數(shù)列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分?jǐn)?shù)列.(3)當(dāng)m=1時,P1=3C62=1當(dāng)m=2時,數(shù)列共10項:a1,a2,…,a10,(i,j)∈{(1,2),(1,6),(1,10),(5,6),(5,10),(9,10),(2,9)},P2=7C102=7當(dāng)m≥3時,去掉ai,aj后,余下的4m個數(shù)分成m組,每組4個數(shù),①形成公差是d的等差數(shù)列的(i,j)有:(1,2),(1,6),(1,10),…,(1,4m+2),m+1個;(5,6),(5,10),(5,14),…,(5,4m+2),m個;……(4m+1,4m+2),1個;總數(shù)為1+2+…+(m+1)=12(m+1)(m+2)個②形成公差不小于2d的等差數(shù)列的(i,j)有:(2,9),(2,13),(2,17),…,(2,4m+1),m-1個;(6,13),(6,17