高考數(shù)學(xué) 專項(xiàng)拔高“6+2+2+3”限時(shí)練2

“6+2+2+3”限時(shí)練2(70分鐘95分)一、單選題(每小題5分,共30分)1.已知集合A={x∈R|x2-x-2<0},B={y|y=2x,x∈A},則A∩B=(D)A.(-1,4) B.(14,1) C.(12,1) D.(12.復(fù)數(shù)z滿足zi=2+3i,則z=(C)A.5 B.10 C.13 D.323.《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺.術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為V=112×(底面圓的周長的平方×高),則由此可推得圓周率π的取值為(AA.3 B.3.1 C.3.14 D.3.24.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=23π,b=6,a2+c2=3ac,則△ABC的面積為(AA.934 BC.932 D5.若函數(shù)f(x)=loga(ax-x3)(a>0且a≠1)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(A)A.[3,+∞) B.(1,3]C.(0,13) D.[136.已知函數(shù)f(x)=(3sinx+cosx)cosx-12,若f(x)在區(qū)間[-π4,m]上的值域?yàn)閇-32,1],則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.[π6,π2) B.[π6C.[π6,7π12) D.[π6二、多選題(每小題6分,共12分)7.為了研究青少年長時(shí)間玩手機(jī)與近視率的關(guān)系,現(xiàn)從某校隨機(jī)抽查600名學(xué)生,經(jīng)調(diào)查,其中有40%的學(xué)生近視,有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí),玩手機(jī)超過1小時(shí)的學(xué)生的近視率為50%.用頻率估計(jì)概率,則(AC)(附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+dα0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.如果抽查的一名學(xué)生近視,則他每天玩手機(jī)超過1小時(shí)的概率為1B.如果抽查的一名學(xué)生玩手機(jī)不超過1小時(shí),則他近視的概率為9C.根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),可認(rèn)為每天玩手機(jī)超過1小時(shí)會影響視力D.從該校抽查10位學(xué)生,每天玩手機(jī)超過1小時(shí)且近視的人數(shù)的期望為58.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1D1的中點(diǎn),則下列選項(xiàng)正確的是(BC)A.BD⊥B1CB.EF∥平面DB1BC.AC1⊥平面B1D1CD.過直線EF且與直線BD1平行的平面截該正方體所得截面面積為2三、填空題(每小題5分,共10分)9.如圖所示,正方形ABCD的邊長為13,正方形EFGH的邊長為1,則·的值為6.若在線段AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,則·的最小值為

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10.若(2x-1x)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則(x+2y)(x-y)n的展開式中x2y四、解答題(共43分)11.(13分)已知an為公差不為0的等差數(shù)列,且a1=3,a1,a4,a13成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d由題設(shè)可得:a42=a1a13,又a所以(3+3d)2=3(3+12d),解得d=2,所以an=3+2(n-1)=2n+1.(2)設(shè)bn=1(2n-1)an,【解析】(2)由(1)可得:bn=1(2n-1所以Sn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n12.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA=PD=AB,E為線段PB的中點(diǎn),平面AEC⊥底面ABCD.(1)求證:AE⊥平面PBD;【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭EC⊥平面ABCD,且平面AEC∩平面ABCD=AC,BD⊥AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AEC,因?yàn)锳E?平面AEC,所以BD⊥AE,又因?yàn)锳P=AB,E為PB中點(diǎn),所以AE⊥PB,又PB∩BD=B,PB,BD?平面PBD,所以AE⊥平面PBD;(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.【解析】(2)設(shè)點(diǎn)P在底面ABCD的射影為點(diǎn)Q,則PQ⊥平面ABCD,又AD?平面ABCD,所以PQ⊥AD,取AD中點(diǎn)M,因?yàn)镻A=PD,所以AD⊥PM,又PQ∩PM=P,PQ,PM?平面PQM,所以AD⊥平面PQM,因?yàn)镼M?平面PQM,所以AD⊥QM,即Q在AD的中垂線上,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨取AB=2,則設(shè)P(1,a,b),a2+b2=3,A(2,0,0),B(2,2,0),所以E(32,a+22,b2),=(-12,a+22,b由(1)可知·=0,計(jì)算得a=-1,b=2,所以P(1,-1,2),又=(2,0,0),=(1,-3,2),設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z),則,即2x取m=(0,2,3),所以sinθ=|cos<·m>|=||=222×2+9=2213.(15分)為加強(qiáng)國家安全宣傳,某學(xué)校舉行國家安全知識問答競賽,競賽共有兩類題,第一類是5個(gè)中等難度題,每答對一個(gè)得10分,答錯(cuò)得0分,第二類是數(shù)量較多、難度相當(dāng)?shù)碾y題,每答對一個(gè)得20分,答錯(cuò)一個(gè)扣5分.每位參加競賽的同學(xué)從這兩類題中共抽出4個(gè)回答(每個(gè)題抽后不放回),要求第二類題中至少抽2個(gè).學(xué)生小明第一類5題中有4個(gè)答對,第二類題中答對每個(gè)問題的概率都是34(1)若小明選擇從第一類題中抽兩個(gè)題,求這次競賽中,小明共答對3個(gè)題的概率;【解析】(1)小明共答對3個(gè)題有兩種情況:當(dāng)?shù)谝活愵}目答對2道,第二類題答對1道時(shí),第一類題目答對2道概率為C42C52=610=35,第二類題答對1道概率為C此時(shí)小明共答對3個(gè)題概率為35×38=當(dāng)?shù)谝活愵}目答對1道,第二類題答對2道時(shí),第一類題目答對1道概率為C41C11C52=410=25此時(shí)小明共答對3個(gè)題概率為25×916=所以小明共答對3個(gè)題的概率為940+940=(2)若小明第一個(gè)題是從第一類題中抽出并回答正確,根據(jù)得分期望給他建議,后面三個(gè)題應(yīng)該選擇從第二類題中抽出多少個(gè)題回答?【解析】(2)由題意知:有以下兩種情況:第一類題目選0道,第二類題目選3道,第二類題目答對的數(shù)學(xué)期望為3×34=94,答錯(cuò)的期望為3×1-34=34,所以這三道題得分的數(shù)學(xué)期望為94第一類題目選1