高考數(shù)學(xué)思考框架題及試題與答案

高考數(shù)學(xué)思考框架題及試題與答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，若$f(1)=2$，$f(-1)=4$，$f(2)=6$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$a=1,b=2,c=3$

B.$a=1,b=-2,c=3$

C.$a=1,b=-2,c=-3$

D.$a=1,b=2,c=-3

2.已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n-1$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$a_n=2^n-1$

B.$a_n=2^n+1$

C.$a_n=2^n-2$

D.$a_n=2^n+2$

3.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$在一條直線上，則該直線的方程為：

A.$y=2x$

B.$y=x+1$

C.$y=x+2$

D.$y=2x+1$

4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，公差為$d$，首項(xiàng)為$a_1$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

B.$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d+1$

C.$S_n=na_1-\frac{n(n-1)}{2}d$

D.$S_n=na_1-\frac{n(n-1)}{2}d-1$

5.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(1)=0$，$f(2)=0$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$a=1$

B.$a=2$

C.$a=-1$

D.$a=-2$

6.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_5=15$，則下列結(jié)論正確的是：

A.公差$d=3$

B.公差$d=2$

C.公差$d=1$

D.公差$d=-1$

7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+x$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$f(x)$在$x=1$處有極值

B.$f(x)$在$x=1$處無極值

C.$f(x)$在$x=1$處有極大值

D.$f(x)$在$x=1$處有極小值

8.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，若$f(-1)=2$，$f(0)=3$，$f(1)=4$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$a=1,b=2,c=3$

B.$a=1,b=-2,c=3$

C.$a=1,b=-2,c=-3$

D.$a=1,b=2,c=-3$

9.已知數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3$，則下列結(jié)論正確的是：

A.$a_n=2^n+3$

B.$a_n=2^n-3$

C.$a_n=2^n+1$

D.$a_n=2^n-1$

10.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$不在一條直線上，則下列結(jié)論正確的是：

A.$AB$的斜率為$\frac{1}{2}$

B.$AC$的斜率為$\frac{2}{3}$

C.$BC$的斜率為$\frac{3}{4}$

D.$AB$，$AC$，$BC$的斜率互不相等

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極值，則該極值為極大值。（）

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$與$n$成線性關(guān)系。（）

3.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f(x)$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減。（）

4.函數(shù)$f(x)=x^2$的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。（）

5.若數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1\neq0$，則該數(shù)列的任意兩項(xiàng)之比是常數(shù)。（）

6.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則$a>0$。（）

7.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$在一條直線上，則$\triangleABC$的面積為0。（）

8.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為常數(shù)，則該數(shù)列是等比數(shù)列。（）

9.函數(shù)$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。（）

10.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的圖像在$x=1$處有極值，則該極值為極大值。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，并舉例說明。

2.如何判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是否存在極值？請(qǐng)給出判斷方法。

3.簡(jiǎn)述二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性，并說明如何根據(jù)對(duì)稱性求解二次函數(shù)的問題。

4.如何根據(jù)數(shù)列的前$n$項(xiàng)和求解數(shù)列的通項(xiàng)公式？請(qǐng)給出步驟。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并舉例說明如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值。

2.論述數(shù)列的極限的概念，并說明如何求解數(shù)列的極限。在論述過程中，請(qǐng)結(jié)合具體的數(shù)列實(shí)例進(jìn)行說明。

五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的是：

A.$1,2,4,8,16,\ldots$

B.$1,3,6,10,15,\ldots$

C.$1,3,6,10,15,\ldots$

D.$1,2,4,8,16,\ldots$

2.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.$(1,-2)$

B.$(2,-3)$

C.$(1,-3)$

D.$(2,-2)$

3.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且$f(1)=2$，$f(2)=3$，則$a$的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$構(gòu)成的三角形是：

A.等腰直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形

D.普通三角形

5.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，公差為$d$，首項(xiàng)為$a_1$，則$S_n$的值是：

A.$na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

B.$na_1-\frac{n(n-1)}{2}d$

C.$na_1+\frac{n(n-1)}{2}d+1$

D.$na_1-\frac{n(n-1)}{2}d-1$

6.函數(shù)$f(x)=\lnx$的定義域是：

A.$(-\infty,0)$

B.$(0,+\infty)$

C.$(-\infty,+\infty)$

D.$(0,1]$

7.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處取得極值，則該極值是：

A.極大值

B.極小值

C.無極值

D.不存在極值

8.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的是：

A.$1,2,4,8,16,\ldots$

B.$1,3,6,10,15,\ldots$

C.$1,3,6,10,15,\ldots$

D.$1,2,4,8,16,\ldots$

9.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且$f(1)=2$，$f(2)=3$，則$a$的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$構(gòu)成的三角形是：

A.等腰直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形

D.普通三角形

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.B.$a=1,b=-2,c=3$

解析思路：根據(jù)$f(1)=2$和$f(-1)=4$可以建立兩個(gè)方程，解得$a=1$，$b=-2$，再代入$f(2)=6$驗(yàn)證$c=3$。

2.A.$a_n=2^n-1$

解析思路：根據(jù)遞推公式$a_{n+1}=2a_n-1$，通過迭代計(jì)算前幾項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)$a_n$與$2^n$的關(guān)系。

3.B.$y=x+1$

解析思路：通過計(jì)算點(diǎn)A和點(diǎn)B的斜率，得到直線的斜率為1，然后利用點(diǎn)斜式方程求得直線方程。

4.A.$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

解析思路：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式直接得出。

5.A.$a=1$

解析思路：由于$f(1)=0$和$f(2)=0$，可以得到兩個(gè)方程，解得$a=1$，再代入$f(1)=2$驗(yàn)證$b$和$c$。

6.B.公差$d=2$

解析思路：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_5=a_1+4d$，代入已知值解得公差$d$。

7.A.$f(x)$在$x=1$處有極值

解析思路：計(jì)算$f(x)$的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，得到$x=1$，再驗(yàn)證二階導(dǎo)數(shù)或端點(diǎn)值，判斷極值類型。

8.B.$a=1,b=-2,c=3$

解析思路：與第一題類似，通過建立方程組解得$a$，$b$，$c$的值。

9.D.$a_n=2^n-1$

解析思路：遞推公式$a_{n+1}=a_n+3$表明數(shù)列是等差數(shù)列，通過計(jì)算前幾項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn)通項(xiàng)公式。

10.D.$AB$，$AC$，$BC$的斜率互不相等

解析思路：計(jì)算三條邊的斜率，發(fā)現(xiàn)它們不相等。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：函數(shù)在$x=1$處取得極小值。

2.√

解析思路：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和與$n$成線性關(guān)系。

3.√

解析思路：函數(shù)在$x=1$處導(dǎo)數(shù)為0，且$x>1$時(shí)導(dǎo)數(shù)為正，$x<1$時(shí)導(dǎo)數(shù)為負(fù)。

4.√

解析思路：二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)?x^2$是偶函數(shù)。

5.√

解析思路：等比數(shù)列的任意兩項(xiàng)之比等于公比。

6.√

解析思路：二次函數(shù)圖像開口向上，當(dāng)$a>0$。

7.√

解析思路：點(diǎn)A、B、C在同一直線上，構(gòu)成退化的三角形。

8.×

解析思路：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和為常數(shù)，不一定是等比數(shù)列。

9.√

解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。

10.√

解析思路：函數(shù)在$x=1$處導(dǎo)數(shù)為0，且$x>1$時(shí)導(dǎo)數(shù)為正，$x<1$時(shí)導(dǎo)數(shù)為負(fù)。

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.等差數(shù)列的性質(zhì)：相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)，前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。等比數(shù)列的性質(zhì)：相鄰兩項(xiàng)之比為常數(shù)，前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$（$r\neq1$）。

舉例說明：等差數(shù)列$1,3,5,7,9$，公差$d=2$；等比數(shù)列$2,6,18,54,162$，公比$r=3$。

2.判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是否存在極值的方法：計(jì)算函數(shù)在該區(qū)間的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，找出可能的極值點(diǎn)，再計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)或驗(yàn)證端點(diǎn)值，判斷極值類型。

3.二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性：二次函數(shù)圖像關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱。求解二次函數(shù)的問題時(shí)，可以通過對(duì)稱性找到函數(shù)的極值點(diǎn)，或者利用對(duì)稱性求解函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

4.根據(jù)數(shù)列的前$n$項(xiàng)和求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的步驟：首先，根據(jù)前$n$項(xiàng)和公式$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，求出首項(xiàng)$a_1$和公差$d$；然后，根據(jù)首項(xiàng)和公差，寫出通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處可導(dǎo)，且$f'(x_0)=0$，則$x=x_0$是$f(x)$的極