2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《因式分解的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《因式分解的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．設(shè)表示一個(gè)兩位數(shù)，其中十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，表示的平方．規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)A能寫(xiě)成，且，則稱A為“平方差數(shù)”，并把式子稱為“平方差分解”．例如：因?yàn)?，所?6是“平方差數(shù)”；其中為“平方差分解”．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“平方差數(shù)”及其“平方差分解”；(2)判斷400是否為“平方差數(shù)”？若是，寫(xiě)出“平方差分解”；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．綜合與實(shí)踐“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，在探究“因式分解”時(shí)，我們借助直觀、形象的幾何模型，轉(zhuǎn)化成“幾何”形式來(lái)求解．運(yùn)用到了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．下面，讓我們一起來(lái)探索其中的規(guī)律．【實(shí)踐操作】如下圖我們通過(guò)對(duì)立體圖形的體積進(jìn)行變換來(lái)得到一些代數(shù)恒等式．（1）如圖1，在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，再把剩余立體圖形切割（如圖2），得到三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③（如圖3）．易得長(zhǎng)方體①的體積為．則長(zhǎng)方體②的體積為_(kāi)_____，長(zhǎng)方體③的體積為_(kāi)_____（結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）．則因式分解______．【拓展延伸】（2）嘗試因式分解：3．如果一個(gè)正整數(shù)能表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：；因此，4，12，這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．(1)28是不是神秘?cái)?shù)？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和（其中為非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．如圖，在半徑為的圓形鋼板上沖去半徑為的四個(gè)小圓孔．若請(qǐng)你利用因式分解的方法計(jì)算出剩余鋼板的面積．（取3.14）5．閱讀材料：若，求，的值．解：．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：(1)，則_____，______；(2)已知，求的值；(3)已知的三邊長(zhǎng)為，b，c，且，滿足，請(qǐng)直接寫(xiě)出的周長(zhǎng)．6．閱讀材料材料1將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例：①；②．材料2因式分解：．解：將“”看成一個(gè)整體，令，則原式再將“A”還原，得原式．上述解題用到“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)根據(jù)材料1，把分解因式；(2)結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：；②分解因式：．7．閱讀材料并解決問(wèn)題：分解因式時(shí)，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了，過(guò)程為：，這種分解因式的方法叫做分組分解法．利用這種方法解決問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊長(zhǎng)，b，c，滿足，試判斷的形狀．8．將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見(jiàn)的分組分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：．再如“”分法：．利用上述方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：①．②．(2)已知：a、b、c為的三條邊，求的周長(zhǎng)．9．運(yùn)用完全平方公式可以將形如或的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，稱形如或的多項(xiàng)式為完全平方式．例如，即完全平方式“”中的第三項(xiàng)9恰好等于一次項(xiàng)系數(shù)“6”一半的平方．根據(jù)這個(gè)規(guī)律解答下列問(wèn)題：(1)已知是完全平方式，則___________；(2)已知是完全平方式，則___________；(3)求的最小值．10．仔細(xì)閱讀下面的例題，解答問(wèn)題：例：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得則解得另一個(gè)因式為，的值為．仿照以上方法解答問(wèn)題：(1)已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及的值；(2)若二次三項(xiàng)式可分解為，求的值；(3)若二次三項(xiàng)式可分解為，求的值．11．【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問(wèn)題解決】(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．12．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神奇數(shù)”．如：因此4，這三個(gè)數(shù)都是神奇數(shù)(1)直接判斷：______（是或不是）神奇數(shù)，______（是或不是）神奇數(shù)；(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和（其中k取非負(fù)整數(shù)），下面是三個(gè)同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)選出正確的“發(fā)現(xiàn)”________（填序號(hào)），并從你所選的序號(hào)中挑一個(gè)加以說(shuō)理。①莆莆發(fā)現(xiàn)：由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神奇數(shù)”是4的倍數(shù)．②田田發(fā)現(xiàn)：若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則周長(zhǎng)一定為神奇數(shù)．③仁仁發(fā)現(xiàn)：若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則面積一定為神奇數(shù)．13．閱讀理解應(yīng)用待定系數(shù)法：設(shè)某一整式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用當(dāng)兩個(gè)整式為恒等式時(shí)，同類項(xiàng)系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值．待定系數(shù)法可以應(yīng)用到因式分解中，例如問(wèn)題：因式分解，因?yàn)闉槿握?，若能因式分解，則可以分解成一個(gè)一次整式和一個(gè)二次整式的乘積故我們可以猜想可以分解成展開(kāi)等式右邊得：，根據(jù)待定系數(shù)法原理，等式兩邊整式的同類項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可以求出，所以(1)若x取任意值，等式恒成立，則；(2)已知整式有因式，請(qǐng)用待定系數(shù)法求出該整式的另一因式．14．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．(1)28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的積嗎？為什么？(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正數(shù)）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？15．先閱讀下列解答過(guò)程：已知有一個(gè)因式，求m的值．解：可以設(shè)為一個(gè)因式為，則，即由此得：∴﹔也可以采用另一種方式：當(dāng)時(shí)，解得．然后解答問(wèn)題：(1)已知有一個(gè)因式，則另一個(gè)因式為_(kāi)__________；(2)已知有一個(gè)因式，求m的值；(3)已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求k的值及直接寫(xiě)出此多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果．參考答案1．(1)（不唯一）(2)不是“平方差數(shù)”，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，理解“平方差數(shù)”、“平方差分解”的定義是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“平方差數(shù)”、“平方差分解”的定義解答即可；（2）先把寫(xiě)出，然后根據(jù)“平方差數(shù)”的定義判斷即可．【詳解】（1）解：∵∴272是“平方差數(shù)”，“平方差分解”為．（2）解：400不是“平方差數(shù)”，理由如下：∵，但∴400不是“平方差數(shù)”．2．（1）（2）【分析】本題考查因式分解的幾何應(yīng)用、列代數(shù)式，根據(jù)題中給出的信息，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)幾何體各邊關(guān)系，結(jié)合長(zhǎng)方體和正方體的體積公式求解即可；（2）將（1）中的b換為，進(jìn)而化簡(jiǎn)求解即可；【詳解】解：（1）由圖1知，長(zhǎng)方體②的體積為，長(zhǎng)方體③的體積為∴故答案為：；（2）將（1）中的b換成，則∴．3．(1)28是神秘?cái)?shù)，理由見(jiàn)解析(2)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了新定義——“神秘?cái)?shù)”，熟練掌握新定義，整式的乘法運(yùn)算和平方差公式，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，只需看28能否寫(xiě)成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可；（2）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算．平方差公式：．【詳解】（1）解：∵∴28是“神秘?cái)?shù)”；（2）解：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：∵∴兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．4．【分析】本題是因式分解的應(yīng)用，用大圓的面積減去4個(gè)小圓的面積即可得到剩余部分的面積，然后把和的值代入后分解因式可得結(jié)果，熟練進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．5．(1)3，0(2)(3)或【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，偶次方的非負(fù)性，勾股定理的應(yīng)用．（1）通過(guò)完全平方公式進(jìn)行變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（2）由得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（3）把原方程化為，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得、c，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得，便可求得三角形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：由，得∵≥0∴∴．故答案為：3；0．（2）解：由得：∴∴∴；（3）解：∵∴∴∴∴∵的三邊長(zhǎng)為，b，c∴或∴的周長(zhǎng)為或．6．(1)(2)①；②【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用對(duì)于（1），根據(jù)材料一可知，即可分解；對(duì)于（2）①，令，再結(jié)合材料一分解，可得答案；②令，展開(kāi)并整理，結(jié)合材料一分解，整體代入可得答案．【詳解】（1）解：；（2）解：①令．原式；②令．原式.7．(1)(2)是等腰三角形【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用．熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（1）應(yīng)用分組分解法直接分解因式即可；（2）首先應(yīng)用分組分解法，把分解因式，然后得到，從得到是等腰三角形．【詳解】（1）解：；（2）解：的三邊長(zhǎng)，b，滿足．是等腰三角形．8．(1)①；②(2)7【分析】本題考查因式分解，利用分組分解法時(shí)，要明確分組的目的，是分組分解后仍能繼續(xù)分解，還是分組后利用各組本身的特點(diǎn)進(jìn)行解題．（1）①根據(jù)“”分法即可得出答案；②根據(jù)“”分法即可得出答案；（2）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解因式，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：（1）①；②；（2）解：的周長(zhǎng)．9．(1)16(2)14或(3)84【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目信息中的完全平方式的特點(diǎn)求解即可；（2）根據(jù)題目信息中的完全平方式的特點(diǎn)求解即可；（3）利用完全平方式的特點(diǎn)，將變形為，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可解答．【詳解】（1）解：是完全平方式．故答案為：16．（2）解：是完全平方式，且或解得：或．故答案為：14或．（3）解：的最小值為84即的最小值為84．10．(1)，-6(2)(3)【分析】本題考查因式分解的意義．（1）設(shè)另一個(gè)因式為，得，可知，繼而求出t和k的值及另一個(gè)因式．（2）將展開(kāi)，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a的值；（3）展開(kāi)，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即可求出b的值．【詳解】（1）解：設(shè)另一個(gè)因式為，得解得另一個(gè)因式為，的值為；（2）解：∴解得；（3）解：．11．(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查分解因式的應(yīng)用，理解“換元法”的意義，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）用換元法設(shè)，將原式化為，再利用十字相乘法因式分解得出，再將A還原即可；（2）設(shè)，則原式，再利用完全平方公式變形，將B還原即可；（3）先計(jì)算，同理（2）計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)原式．（2）解：設(shè)原式；（3）證明：原式設(shè)原式．

為正整數(shù)為正整數(shù)．代數(shù)的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．12．(1)是，不是(2)①②【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，找到一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和（其中k取非負(fù)整數(shù)），則，據(jù)此即可判斷；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可判斷；【詳解】（1）解：∵∴是神奇數(shù)；設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和（其中k取非負(fù)整數(shù)）則令，解得：（不符合題意）；∴不是神奇數(shù)；故答案為：是，不是（2）解：由（1）得：∴由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神奇數(shù)”是4的倍數(shù)．故①正確；若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，設(shè)其為和（k取正整數(shù)）則周長(zhǎng)，故周長(zhǎng)一定為神奇數(shù)，故②正確；面積∵為奇數(shù)，而是偶數(shù)∴面積不是神秘?cái)?shù)．故③錯(cuò)誤；故答案為：①②13．(1)1(2)【分析】此題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則、因式分解的實(shí)際運(yùn)用，理解題意，掌握待定系數(shù)法分解因式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）直接對(duì)比系數(shù)得出答案即可；（2）根據(jù)題意設(shè)，進(jìn)一步展開(kāi)對(duì)比系數(shù)得出答案即可．【詳解】（1）∵恒成立∴∴；（2）設(shè)∴∴多項(xiàng)式的另一因式是．14．(1)28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)，理由見(jiàn)解析(2)由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的倍數(shù)，理由見(jiàn)解析(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)，理由見(jiàn)解析【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解的應(yīng)用，主要是平方差公式的靈活應(yīng)用．（1）把28、2012寫(xiě)成平方差的形式，即可判斷是否是神秘?cái)?shù)；（2）化簡(jiǎn)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和的平方差，再判斷；（3）設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和，則，即可判斷兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù)．【詳解】（1）解：28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)，理由見(jiàn)解析是神秘?cái)?shù)；是“神秘?cái)?shù)”；（2）解：由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的倍數(shù)，理由如下：∵是奇數(shù)由和構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的積．（3）解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和則由（2）可知：神秘?cái)?shù)是4的奇數(shù)倍，而兩個(gè)連續(xù)奇