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第第頁(yè)答案第=page11頁(yè),共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《因式分解的應(yīng)用》專項(xiàng)測(cè)試卷帶答案學(xué)校:___________姓名:___________班級(jí):___________考號(hào):___________1.設(shè)表示一個(gè)兩位數(shù),其中十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b,表示的平方.規(guī)定:若一個(gè)正整數(shù)A能寫(xiě)成,且,則稱A為“平方差數(shù)”,并把式子稱為“平方差分解”.例如:因?yàn)?,所?6是“平方差數(shù)”;其中為“平方差分解”.(1)當(dāng)時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)“平方差數(shù)”及其“平方差分解”;(2)判斷400是否為“平方差數(shù)”?若是,寫(xiě)出“平方差分解”;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.綜合與實(shí)踐“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”,在探究“因式分解”時(shí),我們借助直觀、形象的幾何模型,轉(zhuǎn)化成“幾何”形式來(lái)求解.運(yùn)用到了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.下面,讓我們一起來(lái)探索其中的規(guī)律.【實(shí)踐操作】如下圖我們通過(guò)對(duì)立體圖形的體積進(jìn)行變換來(lái)得到一些代數(shù)恒等式.(1)如圖1,在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體中挖出一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體,再把剩余立體圖形切割(如圖2),得到三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③(如圖3).易得長(zhǎng)方體①的體積為.則長(zhǎng)方體②的體積為_(kāi)_____,長(zhǎng)方體③的體積為_(kāi)_____(結(jié)果不需要化簡(jiǎn)).則因式分解______.【拓展延伸】(2)嘗試因式分解:3.如果一個(gè)正整數(shù)能表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.如:;因此,4,12,這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù).(1)28是不是神秘?cái)?shù)?為什么?(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和(其中為非負(fù)整數(shù)),由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由.4.如圖,在半徑為的圓形鋼板上沖去半徑為的四個(gè)小圓孔.若請(qǐng)你利用因式分解的方法計(jì)算出剩余鋼板的面積.(取3.14)5.閱讀材料:若,求,的值.解:.根據(jù)你的觀察,探究下面的問(wèn)題:(1),則_____,______;(2)已知,求的值;(3)已知的三邊長(zhǎng)為,b,c,且,滿足,請(qǐng)直接寫(xiě)出的周長(zhǎng).6.閱讀材料材料1將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí),如果能滿足且,則可以把因式分解成.例:①;②.材料2因式分解:.解:將“”看成一個(gè)整體,令,則原式再將“A”還原,得原式.上述解題用到“整體思想”,整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:(1)根據(jù)材料1,把分解因式;(2)結(jié)合材料1和材料2,完成下面小題:①分解因式:;②分解因式:.7.閱讀材料并解決問(wèn)題:分解因式時(shí),細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式,后兩項(xiàng)可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了,過(guò)程為:,這種分解因式的方法叫做分組分解法.利用這種方法解決問(wèn)題:(1)分解因式:;(2)已知的三邊長(zhǎng),b,c,滿足,試判斷的形狀.8.將一個(gè)多項(xiàng)式分組后,可提公因式或運(yùn)用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法,常見(jiàn)的分組分解法的形式有:“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等.如“”分法:.再如“”分法:.利用上述方法解決下列問(wèn)題:(1)分解因式:①.②.(2)已知:a、b、c為的三條邊,求的周長(zhǎng).9.運(yùn)用完全平方公式可以將形如或的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,稱形如或的多項(xiàng)式為完全平方式.例如,即完全平方式“”中的第三項(xiàng)9恰好等于一次項(xiàng)系數(shù)“6”一半的平方.根據(jù)這個(gè)規(guī)律解答下列問(wèn)題:(1)已知是完全平方式,則___________;(2)已知是完全平方式,則___________;(3)求的最小值.10.仔細(xì)閱讀下面的例題,解答問(wèn)題:例:已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是,求另一個(gè)因式以及的值.解:設(shè)另一個(gè)因式為,得則解得另一個(gè)因式為,的值為.仿照以上方法解答問(wèn)題:(1)已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是,求另一個(gè)因式以及的值;(2)若二次三項(xiàng)式可分解為,求的值;(3)若二次三項(xiàng)式可分解為,求的值.11.【閱讀材料】因式分解:.解:將“”看成整體,令,則原式.再將“”還原,原式.上述解題用到的是“整體思想”,整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法.【問(wèn)題解決】(1)因式分解:;(2)因式分解:;(3)證明:若為正整數(shù),則代數(shù)式的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方.12.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神奇數(shù)”.如:因此4,這三個(gè)數(shù)都是神奇數(shù)(1)直接判斷:______(是或不是)神奇數(shù),______(是或不是)神奇數(shù);(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和(其中k取非負(fù)整數(shù)),下面是三個(gè)同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn),請(qǐng)選出正確的“發(fā)現(xiàn)”________(填序號(hào)),并從你所選的序號(hào)中挑一個(gè)加以說(shuō)理。①莆莆發(fā)現(xiàn):由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神奇數(shù)”是4的倍數(shù).②田田發(fā)現(xiàn):若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù),則周長(zhǎng)一定為神奇數(shù).③仁仁發(fā)現(xiàn):若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù),則面積一定為神奇數(shù).13.閱讀理解應(yīng)用待定系數(shù)法:設(shè)某一整式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù),利用當(dāng)兩個(gè)整式為恒等式時(shí),同類項(xiàng)系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù),從而得到待求的值.待定系數(shù)法可以應(yīng)用到因式分解中,例如問(wèn)題:因式分解,因?yàn)闉槿握?,若能因式分解,則可以分解成一個(gè)一次整式和一個(gè)二次整式的乘積故我們可以猜想可以分解成展開(kāi)等式右邊得:,根據(jù)待定系數(shù)法原理,等式兩邊整式的同類項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可以求出,所以(1)若x取任意值,等式恒成立,則;(2)已知整式有因式,請(qǐng)用待定系數(shù)法求出該整式的另一因式.14.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.如,因此4,12,20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù).(1)28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎?為什么?(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和(其中k取非負(fù)整數(shù)),由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的積嗎?為什么?(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))是神秘?cái)?shù)嗎?為什么?15.先閱讀下列解答過(guò)程:已知有一個(gè)因式,求m的值.解:可以設(shè)為一個(gè)因式為,則,即由此得:∴﹔也可以采用另一種方式:當(dāng)時(shí),解得.然后解答問(wèn)題:(1)已知有一個(gè)因式,則另一個(gè)因式為_(kāi)__________;(2)已知有一個(gè)因式,求m的值;(3)已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式,求k的值及直接寫(xiě)出此多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果.參考答案1.(1)(不唯一)(2)不是“平方差數(shù)”,理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用,理解“平方差數(shù)”、“平方差分解”的定義是解答的關(guān)鍵.(1)根據(jù)“平方差數(shù)”、“平方差分解”的定義解答即可;(2)先把寫(xiě)出,然后根據(jù)“平方差數(shù)”的定義判斷即可.【詳解】(1)解:∵∴272是“平方差數(shù)”,“平方差分解”為.(2)解:400不是“平方差數(shù)”,理由如下:∵,但∴400不是“平方差數(shù)”.2.(1)(2)【分析】本題考查因式分解的幾何應(yīng)用、列代數(shù)式,根據(jù)題中給出的信息,結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想是解答的關(guān)鍵.(1)根據(jù)幾何體各邊關(guān)系,結(jié)合長(zhǎng)方體和正方體的體積公式求解即可;(2)將(1)中的b換為,進(jìn)而化簡(jiǎn)求解即可;【詳解】解:(1)由圖1知,長(zhǎng)方體②的體積為,長(zhǎng)方體③的體積為∴故答案為:;(2)將(1)中的b換成,則∴.3.(1)28是神秘?cái)?shù),理由見(jiàn)解析(2)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù),理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了新定義——“神秘?cái)?shù)”,熟練掌握新定義,整式的乘法運(yùn)算和平方差公式,是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義,只需看28能否寫(xiě)成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可;(2)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.平方差公式:.【詳解】(1)解:∵∴28是“神秘?cái)?shù)”;(2)解:兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù).理由如下:∵∴兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)成的“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù).4.【分析】本題是因式分解的應(yīng)用,用大圓的面積減去4個(gè)小圓的面積即可得到剩余部分的面積,然后把和的值代入后分解因式可得結(jié)果,熟練進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:.5.(1)3,0(2)(3)或【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用,偶次方的非負(fù)性,勾股定理的應(yīng)用.(1)通過(guò)完全平方公式進(jìn)行變式得,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果;(2)由得,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果;(3)把原方程化為,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得、c,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得,便可求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】(1)解:由,得∵≥0∴∴.故答案為:3;0.(2)解:由得:∴∴∴;(3)解:∵∴∴∴∴∵的三邊長(zhǎng)為,b,c∴或∴的周長(zhǎng)為或.6.(1)(2)①;②【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用對(duì)于(1),根據(jù)材料一可知,即可分解;對(duì)于(2)①,令,再結(jié)合材料一分解,可得答案;②令,展開(kāi)并整理,結(jié)合材料一分解,整體代入可得答案.【詳解】(1)解:;(2)解:①令.原式;②令.原式.7.(1)(2)是等腰三角形【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用.熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.(1)應(yīng)用分組分解法直接分解因式即可;(2)首先應(yīng)用分組分解法,把分解因式,然后得到,從得到是等腰三角形.【詳解】(1)解:;(2)解:的三邊長(zhǎng),b,滿足.是等腰三角形.8.(1)①;②(2)7【分析】本題考查因式分解,利用分組分解法時(shí),要明確分組的目的,是分組分解后仍能繼續(xù)分解,還是分組后利用各組本身的特點(diǎn)進(jìn)行解題.(1)①根據(jù)“”分法即可得出答案;②根據(jù)“”分法即可得出答案;(2)運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解因式,得出,即可得出答案.【詳解】(1)解:(1)①;②;(2)解:的周長(zhǎng).9.(1)16(2)14或(3)84【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用,理解題意,熟練運(yùn)用完全平方公式解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)題目信息中的完全平方式的特點(diǎn)求解即可;(2)根據(jù)題目信息中的完全平方式的特點(diǎn)求解即可;(3)利用完全平方式的特點(diǎn),將變形為,再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可解答.【詳解】(1)解:是完全平方式.故答案為:16.(2)解:是完全平方式,且或解得:或.故答案為:14或.(3)解:的最小值為84即的最小值為84.10.(1),-6(2)(3)【分析】本題考查因式分解的意義.(1)設(shè)另一個(gè)因式為,得,可知,繼而求出t和k的值及另一個(gè)因式.(2)將展開(kāi),根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a的值;(3)展開(kāi),可得出一次項(xiàng)的系數(shù),繼而即可求出b的值.【詳解】(1)解:設(shè)另一個(gè)因式為,得解得另一個(gè)因式為,的值為;(2)解:∴解得;(3)解:.11.(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查分解因式的應(yīng)用,理解“換元法”的意義,掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵.(1)用換元法設(shè),將原式化為,再利用十字相乘法因式分解得出,再將A還原即可;(2)設(shè),則原式,再利用完全平方公式變形,將B還原即可;(3)先計(jì)算,同理(2)計(jì)算即可.【詳解】(1)解:設(shè)原式.(2)解:設(shè)原式;(3)證明:原式設(shè)原式.
為正整數(shù)為正整數(shù).代數(shù)的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方.12.(1)是,不是(2)①②【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用,找到一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.(1)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和(其中k取非負(fù)整數(shù)),則,據(jù)此即可判斷;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論即可判斷;【詳解】(1)解:∵∴是神奇數(shù);設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和(其中k取非負(fù)整數(shù))則令,解得:(不符合題意);∴不是神奇數(shù);故答案為:是,不是(2)解:由(1)得:∴由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的“神奇數(shù)”是4的倍數(shù).故①正確;若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù),設(shè)其為和(k取正整數(shù))則周長(zhǎng),故周長(zhǎng)一定為神奇數(shù),故②正確;面積∵為奇數(shù),而是偶數(shù)∴面積不是神秘?cái)?shù).故③錯(cuò)誤;故答案為:①②13.(1)1(2)【分析】此題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則、因式分解的實(shí)際運(yùn)用,理解題意,掌握待定系數(shù)法分解因式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.(1)直接對(duì)比系數(shù)得出答案即可;(2)根據(jù)題意設(shè),進(jìn)一步展開(kāi)對(duì)比系數(shù)得出答案即可.【詳解】(1)∵恒成立∴∴;(2)設(shè)∴∴多項(xiàng)式的另一因式是.14.(1)28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù),理由見(jiàn)解析(2)由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的倍數(shù),理由見(jiàn)解析(3)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù),理由見(jiàn)解析【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是因式分解的應(yīng)用,主要是平方差公式的靈活應(yīng)用.(1)把28、2012寫(xiě)成平方差的形式,即可判斷是否是神秘?cái)?shù);(2)化簡(jiǎn)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和的平方差,再判斷;(3)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和,則,即可判斷兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘?cái)?shù).【詳解】(1)解:28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù),理由見(jiàn)解析是神秘?cái)?shù);是“神秘?cái)?shù)”;(2)解:由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的倍數(shù),理由如下:∵是奇數(shù)由和構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4與奇數(shù)的積.(3)解:設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和則由(2)可知:神秘?cái)?shù)是4的奇數(shù)倍,而兩個(gè)連續(xù)奇
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