流體力學(xué)習(xí)題

流體力學(xué)習(xí)題

習(xí)題一場(chǎng)論和張量代數(shù)

1.證明（〃V）n=rotnx〃，其中n為單位向量。

2.證明〃?[grad（。?n）-rot（ax〃）]=diva,其中。是變矢量，〃是單位常矢量。

3.用兩種方法證明(▽xa)xb=-(a-\7)b-axrot+rot?x/>+adivb。

4.有一張量，將其分解為對(duì)稱的和反對(duì)稱的兩部分，并以w表示相當(dāng)于反對(duì)稱部分的矢

量，Wj/Pjk。試證

w-(Pv)—v?(P-u)=2w?(uxv),

其中〃及了為任意矢量。

5.張量P為反對(duì)稱張量的充分必要條件是：對(duì)任意矢量。有下述恒等式成立：

a(Pa)=0

習(xí)題二流體運(yùn)動(dòng)描述

1.流體質(zhì)點(diǎn)繞。z軸以等角速度①旋轉(zhuǎn)，

(1)試以歐拉變量寫出流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)；

(2)試以拉哥朗日變量寫出流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

(3)試分析流場(chǎng)的流線和抗跡；

(4)試求流體質(zhì)點(diǎn)的加速度；

(5)用極坐標(biāo)解此題。

2.一維收縮管內(nèi)的不行壓縮流淌，其速度分布為：V=V,(l+x/L),試打算：

(1)流場(chǎng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的加速度

(2)給出々0時(shí)刻位干工=工點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并比較用兩種方法得到的加速度。

3.流體質(zhì)點(diǎn)在定常流場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)是否具有加速度，為什么？

4.設(shè)流場(chǎng)為：u=Xi：v=Yr,卬=0。試求流場(chǎng)的流線，流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡和加速度，

并以拉哥朗日變數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。

5.設(shè)流場(chǎng)為：u=ky,v=k(x-At),卬=0,其中上和4均為常數(shù)。試求：片0時(shí)經(jīng)

過(guò)點(diǎn)M(a,b,c)的流線及『0時(shí)經(jīng)過(guò)M(a,b,c)處的流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡，最終考慮2=0

時(shí)的情形。

6.考慮下述速度重量定義的二維流淌：

u=A+Bt

v=C

其中A、B、C為常數(shù)。試證流線為直線，質(zhì)點(diǎn)的軌跡為拋物線。

7.二維流場(chǎng)〃=〃,□=kyt,試打算其流線與軌跡。

8.設(shè)流場(chǎng)的速度分布為：

kykx

u=—----v=--------7，卬=0，

工一+)廠x~+)廣

其中k為常數(shù)，試求流線、軌跡和流體質(zhì)點(diǎn)的加速度，并用極坐標(biāo)解上題。

9.試證明由直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系和由極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系速度的變換公式如下:

vr=vsin^+wcos^

ve="cos。-“sin9

u=vrcos^9-v^sin<9

v=vrsin0+cos。

10.已知流體運(yùn)動(dòng)的速度大小和流線的方程分別為V=舊了了和/-V=conslanl,試

求速度場(chǎng)兩速度重量。

II.已知二維流淌：w=x,v=-y,試求流線方程和通過(guò)點(diǎn)(2,3)的流線。

12.肯定常流管，其中心線上的流速在40cm的一段距離內(nèi)由14m/s變?yōu)?5m/s。若變化是

勻稱的，求這段上起點(diǎn)和終點(diǎn)的對(duì)流加速度。

13.試導(dǎo)出在極坐標(biāo)，柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)系中之流線和軌跡的微分方程。

14.速度場(chǎng)為V=ayi+〃，其中，速度的單位為m/sec,y以米給出，a=2m/sec,b=1m/sec,

試打算場(chǎng)點(diǎn)(1,2,0)上的速度重量〃，口卬，以及通過(guò)該點(diǎn)的流線的斜率。

15.在二維不定場(chǎng)流場(chǎng)內(nèi)，同一時(shí)刻測(cè)的速度重量為：

xyuV

002010

102215

01145

在x=0,)，=o點(diǎn)上，于不同時(shí)刻也進(jìn)行了速度測(cè)量，測(cè)量結(jié)果為：

/〃v

02010

1/23010

其中〃、了的單位為m/sec,t的單位為sec,x、勺單位為m,試求出尸y=0點(diǎn)上分

別沿x和y方向的平均加速度重量。

習(xí)題三質(zhì)量連續(xù)性方程

1.試證明不行壓縮流體作定常流淌時(shí)，速度必沿等密度面進(jìn)行，反之亦然

2.已知某平面不行壓流場(chǎng)的速度沿x軸方向的重量為：u=ax2+by

求沿y軸方向速度重量v,已知y=0時(shí)，i=0

3.某流場(chǎng)，以拉哥朗日變數(shù)表示為：

x=。十Re"sin(h/+or)

y=b-Re"cos(ka+or)

其中為常數(shù)，a,。為拉哥朗日變數(shù)，試證明此流場(chǎng)為不行壓流場(chǎng)。

4.流體在彎曲的細(xì)管中流淌，試分別以拉哥朗日變數(shù)和歐拉變數(shù)給出連續(xù)方程式。

5.設(shè)有一明渠，寬為b(x),水深為h(x,/),x代表明渠任一界面的位置。假如認(rèn)為同一截

面上速度相同，即v=v(x),試求連續(xù)方程。

6.在上題中，假如靜止時(shí)h=h(x)(即渠底不平)，由于外部擾動(dòng)，使自由表面產(chǎn)生了一波

動(dòng)，此時(shí)任一截面的水深可表為〃一"x)+S(x"),其中，4(x1)為波剖面.設(shè)流

體為不行壓流體，試證明此時(shí)連續(xù)方程為：

匹+膽！=()

dtbds

7.設(shè)o■為一細(xì)流管的截面面積，試證明連續(xù)方程為：

d(pa)?d(pa-u)=Q

dtds

8.流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)對(duì)于某固定中心對(duì)稱，求其連續(xù)方程。如流體為不行壓，闡明此連續(xù)方

程的物理意義。

9.流體質(zhì)點(diǎn)在通過(guò)oz軸的諸平面上運(yùn)動(dòng)，求連續(xù)方程式。

10.流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡為圓，且這些圓的圓心都位于某一固定軸上，試證明連續(xù)方程為：

bp18(曄)=0

dtd0

式中切為流體質(zhì)點(diǎn)繞。Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

11.假如流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡位于共軸的圓柱面上，試求其連續(xù)方程式。

12.不行壓流體在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在極坐標(biāo)系下，已知：

kcosO

V=--------

'產(chǎn)

其中k為常量，試給出速度的以重量和速度的大小。

13.假如流體質(zhì)點(diǎn)在一球面上運(yùn)動(dòng)，證明連續(xù)方程為：

op八a,八a/t八\、

COS0+——(P69COS夕)+—(/7VVcos0)=0

dtd0刖

此處。和。分別為緯度和經(jīng)度，周口分別為質(zhì)點(diǎn)位置經(jīng)度和緯度的變化率。

14.流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位于軸線與z軸共軸并有共同頂點(diǎn)的圓錐面上，試求連續(xù)方程。

15.一脈沖在一勻稱直管中傳播，已知/7=A,O(v/-r),求質(zhì)點(diǎn)的速度分布，設(shè)原點(diǎn)處

質(zhì)點(diǎn)的速度為%。

16.說(shuō)明"=x#=y是否為一不行壓流淌。假設(shè)一個(gè)不行壓流淌的速度x重最為〃二大，那

么，其y重量u的函數(shù)形式是什么形式？

習(xí)題四速度分析有旋運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋運(yùn)動(dòng)

1.流速在平板四周的速度分布為：u=ky,v=0yw=0,試求流體微團(tuán)的膨脹速度，和轉(zhuǎn)

動(dòng)角速度。

2.在無(wú)旋流淌中，。時(shí)刻組成小球42+〃2+?2=R?的質(zhì)點(diǎn)在dJ時(shí)間后必定構(gòu)成橢球

面，試證之。

3.在勻變形狀況下，位F同一平面上的質(zhì)點(diǎn)永久位于同一平面上，位于同始終線上的質(zhì)點(diǎn)

永久位于同始終線上，試證之。

4.以A代表某個(gè)流淌的變形速度張量，試證明剪切速度人2，人3和423可分別被解釋為由于

剪切變形引起的位于x-y,x-z和y-z三個(gè)坐標(biāo)面上的正方形對(duì)角線的相對(duì)伸長(zhǎng)速度。

5.流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，流線為繞0Z軸之同心圓，角速度與離0Z軸距離的n次方成正比，求旋度

及流體的自轉(zhuǎn)角速度。

6.驗(yàn)證下列平面流淌是否為不行壓縮流淌。并證明哪一個(gè)是有旋的，哪一個(gè)是無(wú)旋的，對(duì)

于無(wú)旋場(chǎng)給出速度勢(shì)函數(shù)。

u=kyu=kxu=kx\u=ax2+bxy

a),b)c),d)

v=kx[v=kyv=-kyIv=4-Z?siny

7.一平面流場(chǎng)："=/—y2+x,v=_2xyf_yf證明其代表一不行壓流場(chǎng)，并且是無(wú)

旋的，并試給出其速度勢(shì)函數(shù)。

8.給出下述有旋運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)及渦線：

a)流體與剛體一樣具有角速度G繞0Z軸旋轉(zhuǎn)；

b)流場(chǎng)：u=cy,v=c,w=c；

c)流體質(zhì)點(diǎn)的速度與質(zhì)點(diǎn)到OX軸的距離成正比，并且與0X軸平行。

9.已知速度勢(shì)°如下，試求對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)、流體質(zhì)點(diǎn)加速度及流線。

a)(p=xy\

x

b)(P=-----

x+y

10.不行壓流體在單連通區(qū)域內(nèi)做無(wú)旋運(yùn)動(dòng)，試證明對(duì)于任何的封閉曲面s均有

bon

11.在不行壓縮無(wú)旋流淌中，流場(chǎng)內(nèi)任一內(nèi)點(diǎn)上，速度勢(shì)。不行能取得極值，試證明之。

習(xí)題五量綱分析和相像理論

1.截面為半圓形的無(wú)限長(zhǎng)直管中的不行壓縮流體做層流運(yùn)動(dòng)，沿管軸方向某一長(zhǎng)度/上的

壓降為Ap。管中的平均流速U，管的半徑。，流體粘性系數(shù)〃有關(guān)。試由審綱分析原

理推出管中體積流量Q如何隨。、4、〃、和/變化。

2.?右圖示水壩溢流，水的密度與粘度為P和〃。試用量綱分析導(dǎo)出溢過(guò)單位寬度水壩的體

積流量Q與那些量有什么無(wú)量綱關(guān)系。又若已知來(lái)流速度為匕，求H/九與什么無(wú)量

綱量有關(guān)。

3.在很低宙用數(shù)下，繞某物體的流淌聽從下述Stokes方程組：▽?T=(),在

zXV

物面7=f（7，*）上V=0,在無(wú)窮遠(yuǎn)處丫=匕［沿％軸方向）。試用量綱分析論證：

LLL

此物體所受阻力的大小F應(yīng)當(dāng)與特征尺寸L的幾次方成正比？

4.用1：30的模型在水槽中爭(zhēng)論潛艇阻力問題。若實(shí)際潛艇水下航速為lOknot,試確定爭(zhēng)

論摩阻時(shí)，模型拖拽速度多大。

5.一模型港尺度比為280：1,設(shè)真實(shí)stormwave振幅1.524m,波速9.144m/s,那么模型

試驗(yàn)中的這振幅和波速分別是多少？

習(xí)題六抱負(fù)流體動(dòng)力學(xué)方程組和邊界條件

（本習(xí)題中除特別說(shuō)明外，流體均為勻稱不行壓抱負(fù)流體）

1.流體邊界如下，求邊界面的法向速度。

=tan，+\cot、=1

a2b2

2.橢圓柱以速度〃作垂直丁其軸線的直線運(yùn)動(dòng)，試寫出橢圓柱的曲面方程式。

3.試導(dǎo)出在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下，活動(dòng)邊界的邊界條件。

4.炸彈在水卜.很深的地方爆炸，證明水中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)與這點(diǎn)到炸彈中心的距離成正比。

5.一垂直折管ABC（NA3C=%/2）,C端封閉，

并使AB段豎直放置（如圖4-1）。管中布滿液體。

假如將C端開放，試證明在開啟的瞬間，垂直管

中的壓強(qiáng)削減一半（假如AB=BC）,并求水平

管中壓強(qiáng)的變化（不計(jì)大氣壓強(qiáng)）。

圖4-1

6.設(shè)有不行壓重流體，盛在直立的圓柱形容器內(nèi)，以等角速度。繞圓柱軸線穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。若

已知流體靜止時(shí)液面RJ面度為h,圓柱半徑為a,不計(jì)大氣壓強(qiáng)，試求：

（I）流體內(nèi)部的壓強(qiáng)分布；

（2）自由表面的外形；

（3）容器底部受的總壓力。

7.設(shè)某流淌的速度勢(shì)在柱坐標(biāo)系下可以表示為。且自由表面壓強(qiáng)為常值，于r為

無(wú)窮遠(yuǎn)處，水面高為h,試求自由表面的方程式。

8.水平直細(xì)管內(nèi)有一長(zhǎng)為2L的不行壓縮流體，流體受管中點(diǎn)的吸引，引力與到管中點(diǎn)的

距離呈正比。求流體的速度及壓強(qiáng)分布。不考慮大氣壓強(qiáng)。

9.截面勻稱的垂直細(xì)管在下端分為水平的兩A

個(gè)小管BC和CD,其截面積為垂直管截面——4-V-

積一半，（見圖4-2）,在管子結(jié)合處各有龍；

頭開關(guān)，關(guān)閉龍頭并使液體在垂直管中的高,,小

度為ao當(dāng)兩龍頭打開后，試求液體的運(yùn)動(dòng)---------PU-P——

規(guī)律。:;

10.設(shè)空氣中有一肥皂泡，成球狀，假如肥皂泡C1B'D

以規(guī)律R=R（l）膨脹，且認(rèn)為膨脹率很小，因圖4-2

而空氣可以看作是不行壓縮的，試求肥皂泡

的表面壓強(qiáng)，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處氣體的壓強(qiáng)為〃0,且不計(jì)質(zhì)量力。

11.液體置于封閉的圓柱形筒內(nèi)，受外力的作用自靜止開頭繞筒的軸線運(yùn)動(dòng)，己知外力在

x和），方向的兩分力分別為X=at+,y=/+?證明：

dco1/小

丁眇一6

p/p=^<v2（x2+），）+：卜2+2（尸+/）沖+方1+C

已知角速度/僅為時(shí)間/的函數(shù)，且a,0,%b均為常數(shù)，不考慮重力的作用。

12.在流體內(nèi)部突然形成了一個(gè)半徑為a的球形空穴，假定流體為不行壓縮并且布滿整個(gè)

空間，試打算流體布滿空穴所需要的時(shí)間。（假定無(wú)窮遠(yuǎn)處流體的速度為0,壓強(qiáng)為Po）

13.一完全浸沒在不行壓縮流體內(nèi)部的球照規(guī)律R=R⑴膨脹，試打算球面上的流體壓力。

14.勻稱截面直細(xì)管內(nèi)的氣體聽從Boyle定律（〃=k/7）,試證明：

d2p__d2

[(v2+k')p]

式中「為密度，V為速度，工為離開參考點(diǎn)的距離。

15.試從歐拉觀點(diǎn)動(dòng)身，對(duì)于小微元推導(dǎo)平面輻射流淌［匕=%（R）,匕=匕=0］沿徑向

（R方向）的運(yùn)動(dòng)方程（應(yīng)力形式）。

16.在直角坐標(biāo)系（x,yz）下，均質(zhì)不行壓縮流體定常運(yùn)動(dòng)的速度為w=ay,u=0,

切=0（a是常數(shù)），流體內(nèi)能U和溫度T只是），的函數(shù)。設(shè)流體粘度〃等于常數(shù)，熱傳導(dǎo)

系數(shù)Z=A（乃，質(zhì)量力只考慮重力g（沿z方向），無(wú)其它熱源（q=0）。試從歐拉觀點(diǎn)動(dòng)身,

取一小微元，推導(dǎo)出能量方程。

17.一個(gè)無(wú)限大的平板原來(lái)靜止，其一側(cè)的半空間布滿原來(lái)也是靜止的均質(zhì)不行壓縮粘性流

體（粘度為常數(shù)）。/=0時(shí)刻此平板突然以常速度U沿板面某一方向滑移。假設(shè)半空間中

流體速度都與U平行，旦只與到平板的距離準(zhǔn)時(shí)間/有關(guān)，壓強(qiáng)p到處勻稱，不計(jì)質(zhì)量力。

（1）請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，畫圖注明；（2）指出應(yīng)力張量中哪些重量恒為零，并把全部非

零重量用流體速度和壓強(qiáng)表示出來(lái)；（3）選擇適當(dāng)?shù)男∥⒃w積（畫圖），從歐拉觀點(diǎn)動(dòng)身，

推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程（最終的方程用速度表達(dá)），并列出定解條件。

習(xí)題七抱負(fù)流體動(dòng)力學(xué)方程的積分

（本習(xí)題中，除特別說(shuō)明外，流體均為抱負(fù)不行壓流體）

1.絕熱氣體（p=kp>）沿始終細(xì)管流淌，假如不計(jì)質(zhì)量力，試證明多項(xiàng)式

尸+工“

r-ip)

沿管子為常值。式中p為流體的流速，〃、夕分別表示壓強(qiáng)和密度。假如沿流淌方向管

子是收縮的，那么當(dāng)1'2夕〈取時(shí)，V將沿流淌的方向增加，〃/夕將沿流淌的方向削減。

2.設(shè)氣體狀態(tài)滿意〃="/,氣體通過(guò)一細(xì)導(dǎo)管流出一大的密閉容器。已知容器內(nèi)的壓強(qiáng)

為大氣壓強(qiáng)p（）的〃倍。不考慮容器內(nèi)流體的勢(shì)能，證明流出的速度V由下式給出：

y2=^oL-L/,

式中夕為出口處的密度。

3.有一截面變化的長(zhǎng)方形溝渠，底部水平，水定常地通過(guò)此渠。假如V,h分別為流體的

速度和流體表面的高度，當(dāng)V2cg〃時(shí)，則高度力將隨溝渠寬度的增加而增加，而流速

將隨溝渠寬度的增加而削減，試證明之。

4.在一流管中取兩個(gè)斷面，兩斷面間流體總質(zhì)量為

M,兩個(gè)斷面上的速度勢(shì)分別為

（P\=c「%=勺，試證明此兩斷面間流體的動(dòng)

能可寫為：T=—（c,-c2）o

5.如圖5-1,虹吸管2y=2m,h=6m,管的直徑為

15cm,求

a）管內(nèi)的流量

b）最高點(diǎn)s處的壓強(qiáng)

c）假如y為未知，求虹吸管吸不出水時(shí)之y為

何值。

6.任意外形的物體置于等速定常流淌的無(wú)限流體

中。試證明流體不受任何阻力。

7.有一勻稱截面之折管內(nèi)充以不行壓縮流體（圖5-2）,B處有一開關(guān)，當(dāng)t<0時(shí)，開關(guān)

緊閉，CA=AB=h,截面積為單位面積。求剛打開開關(guān)時(shí)（t=0）及打開開關(guān)后（t>0［壓強(qiáng)

之分布規(guī)律。

8.勻速地將水注入直立的圓柱形盆內(nèi)，注入流量為q=15cm3/so盆底有一微小的孔，其截

面積為s=0.5cm2，問盆中水面保持多大的高度。

9.兩個(gè)截面積相等的高度為C的封閉圓柱，將其放在同一水平面.匕一管布滿水，一管充

以空氣?？諝鈮簭?qiáng)為p,與水柱h平衡（hVc）。假如連通兩管之底部（圖5-3）,設(shè)空氣

運(yùn)動(dòng)時(shí)是等溫壓縮的，求X最大值。

習(xí)題八抱負(fù)流體勢(shì)流問題

1.已知速度勢(shì)力及流函數(shù)中:

11)=--In

27r

（b）<l>=-2xy力=x2-y2

試寫出復(fù)勢(shì)W=W（z）的表達(dá)式。

2.假如速度勢(shì)。=（m/2/r）lnr,求此流淌之復(fù)勢(shì)。

3.對(duì)于一維可壓縮流淌，相應(yīng)流困數(shù)存在的條件是定常運(yùn)動(dòng)，試證之。

4.設(shè)印:/^?,試證明質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度與到原點(diǎn)的距離成正比。

5.求偶相對(duì)于某始終線的像。

6.求偶相對(duì)于半徑為a之圓的像，并證明其強(qiáng)度與原偶之強(qiáng)度的比為a2/F2,此處F為原

偶至圓中心的距離。

7.試爭(zhēng)論由復(fù)勢(shì)：

W=mInz——(m>0)

Iz

所確定的流淌。源和匯在哪些點(diǎn)上？設(shè)z=求速度勢(shì)及流函數(shù)，并證明可以將運(yùn)

動(dòng)看作在坐標(biāo)軸及半徑為1的圓所圍繞的象限之內(nèi)；求通過(guò)連接馬=懷女2=0.5兩點(diǎn)

的線段的流體體積通量。

8.假如z=l+i點(diǎn)有強(qiáng)度為m的源，在z=0點(diǎn)有同等強(qiáng)度的匯，求在x,y坐標(biāo)軸所限的

象限內(nèi)流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)勢(shì)以及極坐標(biāo)系下的流線方程，并求在z=l點(diǎn)的速度值。

9.平面邊界四周有強(qiáng)度為m的源，求：

a）邊界上的速度分布及最大值點(diǎn)：

b）邊界上的壓強(qiáng)分布及壓強(qiáng)最小值點(diǎn)；

c）設(shè)邊界為單位寬度且無(wú)限長(zhǎng)，求源對(duì)邊界的作用力。

10.求圓柱外之源作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個(gè)單位。

II.求圓柱外之偶作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個(gè)單位。

12.設(shè)半徑為a的圓外有一源m和匯（-m）,在極坐標(biāo)系下，它們分別位于（小0）和⑴,。）

處，求流場(chǎng)的復(fù)勢(shì)，并爭(zhēng)論a=花且q=弓的狀況。

13.一截面半徑為a的圓柱橫置于速度為V且無(wú)限遠(yuǎn)處壓強(qiáng)為“°的勻稱水流中，試求作用

在0=0到。=乃/2之間的柱體上的作用力。式中0=0指向上游。

14.兩個(gè)強(qiáng)度為用的源分別在（迫，0）和（〃，0）處，另有一個(gè)強(qiáng)度為2〃？的匯在原點(diǎn)，證

明流線為：

(Y+)3)2任一/+但卜

再證明任意一點(diǎn)的速率為：

..Ima1

V=-------,

住4

其中小弓和勺分別為該點(diǎn)到兩個(gè)源和匯的距離。

15.設(shè)在(-〃,0)和3,0)兩點(diǎn)有強(qiáng)度均為m的源，在(0,幻和(0,-〃)點(diǎn)有相同強(qiáng)度的

匯，證明過(guò)此四點(diǎn)的圓及兩坐標(biāo)軸皆為流線；進(jìn)一步證明任一點(diǎn)的速率為

4ma2r

q-nv0

(r8+a8-2r4a4cos4^)

16.半徑為。的圓內(nèi)有偏心渦，求復(fù)勢(shì)，速度分布和流線.

17.兩個(gè)同心的無(wú)窮長(zhǎng)圓柱面之間布滿均質(zhì)不行壓縮抱負(fù)流體做無(wú)旋運(yùn)動(dòng)。外柱面H二b

不動(dòng)，內(nèi)柱面R=a以常速度U沿*軸做直線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在欲求這一瞬時(shí)的流體速度分

布。試用(a)速度勢(shì)(b)流函數(shù)和?復(fù)勢(shì)分別給出問題的完整數(shù)學(xué)提法，但不必求解°

18.設(shè)半徑為a的無(wú)窮長(zhǎng)的圓柱在無(wú)窮的抱負(fù)不行壓靜止流體中沿X軸(與柱軸垂直的方向)

作不定常平動(dòng)，速度為〃(￡)，求流體對(duì)圓柱的慣性阻力，并寫出該圓柱體的運(yùn)動(dòng)微分方

程。

19.半徑為。和6的兩球面間布滿密度為p的抱負(fù)不行壓縮流體(b>a)。設(shè)外球面靜止，

內(nèi)球面沿％軸以速度U(E)平移，某一瞬時(shí)恰好兩球面同心。若流體運(yùn)動(dòng)無(wú)旋，試求流

場(chǎng)所含動(dòng)能。

習(xí)題九粘性流體的運(yùn)動(dòng)

1.粘性系數(shù)為〃的流體沿水平圓截面管子做定常流淌，設(shè)速度為q，壓強(qiáng)梯度為p，

(1)證明，?(典=上

drdr〃

式中，r是流體質(zhì)點(diǎn)到管子中心軸線的距離。

(2)給出通過(guò)管子的體積流量。

2.粘性流體在兩共軸圓柱面之間的區(qū)域內(nèi)作平行于軸線的定常運(yùn)動(dòng)，兩共軸圓柱面的半徑

分別為。和>1)。證明流量為：

Inn

式中，P為壓強(qiáng)梯度；求平均速度。

3.爭(zhēng)論兩無(wú)限長(zhǎng)水平平行平板間的定常層流運(yùn)動(dòng)。如其中一平板固定另一平板以速度U在

其所在平面內(nèi)等速平移運(yùn)動(dòng)，求作用在上下平板上的摩擦應(yīng)力。

4.把上題的平行平板傾斜放置，與水平成a角，運(yùn)動(dòng)狀況如何？如設(shè)下平板固定，上平板

平移的速度為何值時(shí)可使作用在下平板上的摩擦應(yīng)力為零？分別就在水平方向上有無(wú)

壓強(qiáng)差兩種狀況進(jìn)行爭(zhēng)論。

5.一皮帶通過(guò)一液體池鉛直向上以勻速匕運(yùn)動(dòng)，由于粘性帶走一層流體（厚度h,密度P,

粘性系數(shù)U）,而重尢使這層流體下流。試給出流體運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)滿意的邊界條件，流體

層內(nèi)的速度分布。假定保持定常層流狀態(tài)，鉛直方向無(wú)壓力差，略去大氣對(duì)流體表面的