自動控制原理張愛民課后習(xí)題答案

1.1解：

（1）機器人踢足球：開式系統(tǒng)輸入量：足球位置輸出量：機器人的位置

（2）人的體溫控制系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)輸入量：正常的體溫輸出量：經(jīng)調(diào)節(jié)后的體溫

（3）微波爐做飯：開環(huán)系統(tǒng)：輸入量：設(shè)定的加熱時間輸出量：實際加熱的時間

（4）空調(diào)制冷：閉環(huán)系統(tǒng)輸入量：設(shè)定的溫度輸出量：實際的溫度

1.2解：

開環(huán)系統(tǒng)：優(yōu)點：結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉；增益較大；對輸入信號的變化響應(yīng)靈敏；只要被

控對象穩(wěn)定，系統(tǒng)就能穩(wěn)定工作。

缺點：控制精度低，抗擾動能力弱

閉環(huán)控制優(yōu)點：控制精度高，有效抑制了被反饋包圍的前向通道的擾動對系統(tǒng)輸出量的

影響；利用負(fù)反饋減小系統(tǒng)誤差，減小被控對象參數(shù)對輸出量的影響。

缺點：結(jié)構(gòu)復(fù)雜，降低了開環(huán)系統(tǒng)的增益，且需考慮穩(wěn)定性問題。

解：自動控制系統(tǒng)分兩種類型：開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。

開環(huán)控制系統(tǒng)的特點是：控制器與被控對象之間只有順向作用而無反向聯(lián)系，系統(tǒng)的被控變

最對控制作用沒有任何影響。系統(tǒng)的控制精度完全取決于所用元器件的精度和特性調(diào)整的準(zhǔn)

確度。只要被控對象穩(wěn)定，系統(tǒng)就能穩(wěn)定地工作。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的特點：

（1）閉環(huán)控制系統(tǒng)是利用負(fù)反饋的作用來減小系統(tǒng)誤差的

（2）閉環(huán)控制系統(tǒng)能夠有效地抑制被反饋通道保衛(wèi)的前向通道中各種擾動對系統(tǒng)輸常量

的影響。

（3）閉環(huán)控制系統(tǒng)可以減小被控對象的參數(shù)變化對輸出量的影響。

1.4解

輸入量：給定亳伏信號

被控量：爐溫

被控對象：加熱器1電爐）

控制器：電壓放大器和功率放大器

控制涔執(zhí)行被捽

乩構(gòu)

電

加

電

效

減

樂

率

電

定

紿

動

熱

速

放

+放溫度

伏

空

爐

人

大

機

器

器

寫輸入量偏洽第

L輸出H

器

器

熱電偶

反憒袋置

系統(tǒng)原理方塊圖如下所示：

工作原理：在正常情況下，爐溫等于期望值時，熱電偶的輸出電壓等于給定電壓，此時偏

差信號為零，電動機不動，調(diào)壓器的滑動觸點停留在某個合適的位置r.o此時，爐子散失的

熱量正好等于從加熱器獲取的熱量，形成穩(wěn)定的熱平衡狀態(tài)，溫度保持恒定。

當(dāng)爐溫由于某種原因突然下降時，熱電偶的輸出電壓下降，與給定電壓比較后形成正偏差

信號，該偏差信號經(jīng)過電壓放大器、功率放大器放大后，作為電動機的控制電壓加到電動機

上，電動機帶動滑線變阻器的觸頭使輸出電壓升高，則爐溫回升，直至達到期望值。當(dāng)爐溫

高于期望值時，調(diào)節(jié)過程相反。

1.5解

不正確。引入反饋后，形成閉環(huán)控制系統(tǒng)，輸出信號被反饋到系統(tǒng)輸入端，與參考輸入

比較后形成偏差信號，控制器再按照偏差信號的大小對被控時象進行控制。在這個過程中，

由于控制系統(tǒng)的慣性，可能引起超調(diào)，造成系統(tǒng)的等幅振蕩或增幅振蕩，使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

所以引入反饋之后回帶來系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題。

1.6

解：

對自動控制系統(tǒng)的基本要求是：穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性。

增大系統(tǒng)增益使得閉環(huán)控制系統(tǒng)的調(diào)整時間減小，提高系統(tǒng)的快速性。

2.1解

對質(zhì)量m的受力分析如下圖所示：

0?由牛頓第二定律得：

My-x)||F(y-x)同時z(f)=⑺7”)

綜合上述兩式得其微分方程為

111設(shè)輸入量輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，對上式進行拉氏變

換得式

故其傳遞函數(shù)為G(s)="Dms2

X(s)ms2+fs+k

2.2解

受力分析得:

對于M有：

Mgsin^=ML——

dr

F=Mgcos6

對于m有:

0.akkdA

Fsin9—x--x=m—y

22dt2

整理后得：

d20

=&sin。

drL

d2x

二4cosesin^--x

~d?

mni

削去夕的系統(tǒng)的微分方程:

..kMjkc

x—x--L0=0

min

對上式做拉普拉斯變換后整理得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

9(s)_ms2+k

G(s)=

X(s)~MLs1

2.3解

(a)電氣系統(tǒng)(b)機械系統(tǒng)

證：(a)由電路可得：

則其微分方程為：

(b)取A、B兩點進行受力分析，列出方

程得：

(1)

(2)

由(1)式、(2)式得

dx

ifi(3)

~dtdt

-x(3)得

經(jīng)比較，電氣系統(tǒng)(a)與機械系統(tǒng)(b)的微分方程具有相同的形式，故兩個系統(tǒng)為

相似系統(tǒng)。

2.4解

1

傳遞函數(shù)條=-j-空—j-=--------工

5J_+S.L+q+G+c￡Ls-

qsc2s

,2

微分方程(q+c2)uo+cyc,L—^-=CM

2.5解

由電路得:

由梅森公式得

(1)當(dāng)N(S)為零時可得傳遞函數(shù)為:

(2)由(1式)得當(dāng)1+H￡G2=O時，輸出Y(S)不受干擾N(S)的影響。

2.11解

(a)(1)方塊圖化簡如下所示：

從而可得其傳遞函數(shù)為：

(2)其信號流圖如下所示：

系統(tǒng)信號流圖中共有2個回路。增益分別為"=&%^=-6。2乩小,無兩兩不

接觸回路。所以信號的特征式

A=1-(GI//I-G1G2/71H2)O

系統(tǒng)有1條前向通路，增益為^=G,G2,回路均與此前向通路接觸，故％=1,從

而可得其傳遞函數(shù)為

(b)(1)方塊圖化簡如下所示：

從而可得其傳遞函數(shù)為：

(2)其信號流圖如下所示：

與a原理相同可得其傳遞函數(shù)為：

(c)(1)方塊圖化簡如下所示：

從而可得其傳遞函數(shù)為:

(2)其信號流圖如下所示：

與a原理相同可得其傳遞函數(shù)為:

2.12解

速度控制系統(tǒng)的方框圖為：

該系統(tǒng)的微分方程為

當(dāng)時，傳遞函數(shù)為？3=一K,S—+K工。

4加+1

2.13解：例

其對應(yīng)的信號流圖為：

1

其中G,=G=R、Hi=R\H=1

LS+R?3l+RgS2

由梅森公式得:

()(

Z5+^G5+/?2)

G(S)=4⑸=GO+GG

U/(S)l+G|/+GG/2+(zd^)(ufe+cj)

N&aGs2+(KG+&G)s+i

RiGC,LS，+(7?1C|C*2/?>+LCDS?+(R[G+RC2+R2c2)S+1

2.14解

系統(tǒng)對應(yīng)的信號流圖如下所示：

由梅森公式得

(1)當(dāng)N(S)為零時可得傳遞函數(shù)為:

(2)由(1式)得當(dāng)GG4(1+G|G”|)—G3G5”2=0時，輸出Y(S)不受干擾P(S)

的影響，此時可得6式1+6。2兄)=65%

2.15解

系統(tǒng)信號流圖有4個回路，增益如下：

無兩兩不接觸回路，系統(tǒng)有?個前向通路，其增益為i=9a(s)G2(s)。所有回路均

與4接觸，所以從而可得其傳遞函數(shù)為：

2.17解

(a)方塊圖為:

13

---------1--------------

甘壯忠。物由Y(S)S+2S(S+2)1

其傳遞函數(shù)為：G(S)=——=------------------------~S^\

U(3)?_____J

-5(5+2)

其信號流圖為：

其狀態(tài)方程為：X=為+uy=*

(b)

由框圖得其傳遞函數(shù)為:

故可得其狀態(tài)方程為：

綜合得：

(c)

由方塊圖得信號流圖:

故x=

}-5X]+2X2+x3

其狀態(tài)方程為：

尸[1,05

2.19解：狀態(tài)空間的表達式為:

(1)得其信號流圖為：

10S-210

故其傳遞函數(shù)為：G(5)=

1+45-'+3S”S?+4S+3

(2)用矩陣法得出的傳遞函數(shù)為:

2.21解：

(I)其傳遞函數(shù)：

S~+-k)s+k_______u(s)_1_________kS2+3ks+3k________0

y(s)=

S'+(a+%+2：6+(2a+ak)S+3k'S3+(a+k+2)S2+(2a+ak)S+3k2

故可得信號流圖：

故可得：

故其狀態(tài)方程為：

(2)用矩陣法得：

3.1答：該系統(tǒng)不存在，任何一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)都不能超過1。

3.2解：

假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(1)單位脈沖響應(yīng)

輸入信號為單位脈沖信號"r)=5?),其拉氏變換為H(s)=l,

則系統(tǒng)的輸出為y(s)=------

0.55+1

則系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為：y(t)=20e~2,j>0

(2)單位階躍響應(yīng)

輸入信號為單位階躍信號，C)=1Q)，其拉氏變換為R(s)二」

則系統(tǒng)的輸入為y(s)=——

5(0.55+1)

則系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)為：)")=10-10-2,^>0

(3)單位斜坡響應(yīng)

輸入信號為單位斜坡信號r(/)=/,其拉氏變換為R(s)=-i-

s

則系統(tǒng)的輸出為r(5)=-7-^—

r(o.5,y+l)

則系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)函數(shù)為：y(t)=10r-5(l-e-2/),f>0

3.3解：

(1)輸入信號的拉氏變換為R(S)=,+4,輸出為y(s)=4+0.8,—0.8

ss~s~s

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：①(s)=W=二-

R(s)5+5

開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=-

s

(2)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：Y(s)=①(s)R(s)=---,則7=0.2

s(s+5)

系統(tǒng)的上升時間為：。=2.1977=0.4394

0.8,A=2

調(diào)整時間為：t尸

().6,A=5

超調(diào)量不存在。

3.4解

證明：當(dāng)初始條件為零時,有出二上

R(s)Ts+1

單位階躍輸入信號為R(s)=，

S

所以，系統(tǒng)的輸出為Y(s)=^TV-4R-I(s)=(rC^4--)I-1=-IT-r

Ts+\Ts+\ssn+i

根據(jù)定義，(1)當(dāng)(=713+m1”]

⑵求"(即一y(t)從f

rj^

當(dāng)y(t)=1-”=0.如寸,

丁=0.1時,有乙=7[ln(工^)-ln0.9]

則t=Tin—=2.27'

210.1

⑶求調(diào)整時間

假設(shè)誤差寬度A=5,則有

解得力=713+垢4^]

3.5解:

由方框圖，可以求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(I)若匯=0.1,則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：①(s)=%-

5+10

0.4,A=2

則T=0.1,調(diào)整時間4=<

0.3,A=5

(2)時間常數(shù)7=-L,若要求《WO.ls,則

100r5

(3)反饋系數(shù)「使得系統(tǒng)的時間常數(shù)減小了，從而使系統(tǒng)的調(diào)整時間也減小，但卻使得

系統(tǒng)的閉環(huán)增益也減小了。

3.6解：

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：①($)=?上一=一上一則?！?4,4=0.5

1+G#(s)s+4s+16

單位階躍響應(yīng)，系統(tǒng)的輸出為：y(s)=，?亍)——

5Y+4S+16

系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)為：)，(1)=1-Sin(2"+60),r>0

單位脈沖響應(yīng)，系統(tǒng)的輸出為：y(s)=一~^一

?+45+16

系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)為：)，(1)=券"2，sin(2")

120

3.7解：⑴0(5)=--------------

52+125+120

得：^=7120=10.95J=-4==0.55

7120

8_116

(2)①⑸3/+8.4s+48-%1+2.8$+16

得：con=V16=48=0.35

3.8解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)歐(5)二出二、4=瘋看二—=

砍s)s2+as+bk"2瘋

27-25

由圖可知tp=0.3,y(oo)=2.5,<T%=------xlOO%=8%,

解得，b=0.4,a=16.8，k=45l.l

kk1()()

3.9解：(1)引入速度反饋前：0G)=T2I2-—―，0=10(=0.25

22

Ts+s+k,k25+55+100

芯

cr%=e加？xl(X)%=44.45%,

引入速度反饋后：

(2)

臨界阻尼時，。，-1,解得丁=6

3.10略

3.11由系統(tǒng)框圖可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:

(K[+裕)

5(1+Ts)七((+網(wǎng)=5(20+s)

①(s)=

S(TS+\)-^K(K+w)-52+10.y+100

1+(&+電)2

5(1+仆)

=J_.100(s+20)

-2052+10.9+102

與標(biāo)準(zhǔn)型進行對比可得：

？=104=().5z=20

,0=州府城至二

z-g6

22

1=yjz-2z^con+69n=10V3

故：5%="-2片+'Qxl00%=11.0%

4

(4+//)?」=0.77s

A=2

zg

T=<

(3+<,-)?—=0.575A=5

z弧

3.12解:

1212

①(s)=

1+81+145+12(s+6)(s+l+J)(s+l-j)

系統(tǒng)有三個極點:

P.,2=-1±JP,=-6

P3

由于:=6>5

REA"Pg

所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為：P=-l±j

22

①(s)?------------------=----------

(/+2s+2)(±+l)”~+2s+2)

6

所以；^^=1/V2

故：5%=e、'rX100%=4.3%

---=4sA=2

T-0

s-j3

——=3.vA=5

3.13解：(1)/+7,5+19/+225+12=()

勞斯陣列如下：

第一列全為正數(shù)，穩(wěn)定特征根全在左半平面

(2)s'+2s"+3s，+6s~+5s+3=0

第一列符號變化兩次，故有兩個特征根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定

(3)5/+3?-1()52-145+12=0

有兩個根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定

⑷47/+42s+30=0

有兩根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定

(5)s'+6/+13/+18/+225+12=0

S1出現(xiàn)全零行，則用一系數(shù)構(gòu)造輔助方程：6s2+12=0。對其求導(dǎo)，得：12s=0。貝ij：

系統(tǒng)有兩個共挽虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

(6)s'+7s"+6s°+42s~+8s+56=0

53出現(xiàn)全零行，則用一系數(shù)構(gòu)造輔助方程：7s4+42/+56=0。對其求導(dǎo)，得:

28?+845=0,兩邊同除以28得/+3s=o。則

系統(tǒng)有兩個共挽虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

3.14解(1)特征方程為/+2/+2$2+女=0

勞斯陣列如下

12k

/20

s22k

-k

0

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，無論k取何值，系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的

(2)特征方程為『+8S3+17S2+(10+QS+4Z=0,由勞斯穩(wěn)定判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定的k值

范圍為0<k<126

k(s+2)

3.15解:G(s)=---------------------------

(s+2/5+4)(s~+6s+25)+k

4

特征方程：5+12/+69s2+198s+20()+Z=()

勞斯陣列如下：

79QS-12Z：

要使系統(tǒng)穩(wěn)定：200+k>0且---------->0得出：-200<k<666.25

52.5

當(dāng)k=666.25時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，系統(tǒng)響應(yīng)y(t)持續(xù)振蕩，頻率

(872.25/TT-T./

(o?=J------=716.5xArad/s

,V52.5

3.16解

沒加速度反饋之前，系統(tǒng)的特征方程為3s3+7/+3S+1=0,可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

加了速度反饋后，系統(tǒng)的特征方程為3/+(7+3r)s2+(3+r)5+l=0

利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可知，只有當(dāng)T(-1.6)時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

綜合可知，加入速度反饋后使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，只有當(dāng)匯取合適的值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。

3.17解：

ks+k

傳遞函數(shù)：①一d-——乙n-----

2

s+(2+kd)s+kp

特征方程：d+(2+砥)5+(=52+2.15+1=0

令z=s+l,則特征方程為z2+0.1z—0.1=0

系統(tǒng)特征方程系數(shù)不全為正，可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，故系統(tǒng)沒有。=1的穩(wěn)定裕度。

3.18解

系統(tǒng)是I型系統(tǒng)，所以當(dāng)輸入為單位1(t),I,%時，穩(wěn)態(tài)誤差為0,l/k,8.

當(dāng)輸入為1?)+，+//2時，穩(wěn)態(tài)誤差為8.

3.19證明：由Ms)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：G(S)=—2一E(S)=——!------

1-(p(S)S~[\+G(S)]

故

..rzx11vla〃s"+q"-+除+仄)

r!

etc=\msE(s)=hm----------------=lim-----------------------------------------------------------'?----------

0n

ios1+G(S)'->Sans'4-an_xs~??a{s+a0

二麗/丁"+/—/”」+…電3'仍歷$""十??力2s)+(1&)+(%-4)5'|

要想使ew=0,只有使q=%。()=瓦

3.20解

(1)

s(r?+1)

當(dāng)R(s)=0時,%=lims￡(s)=Tims?

$->0

ST°1+k}

TL(S)=D/S

s(rs+1)D

穩(wěn)態(tài)誤差備=limsE(s)=_lim5-.(&+Zs)=

k、

5->0STO1+A]

s(rs+l)

(2)當(dāng)R(S)=1/S,TL(S)=0,

3.21解：

(a)恒指調(diào)節(jié)系統(tǒng)

(b)加入積分環(huán)節(jié)

(c)采用前饋控制

由勞斯判據(jù)得該系統(tǒng)的穩(wěn)定：

GAS)H(S)?N(S)=lim--------0.5(°O5s+l)-------1

=limsE(s)=lim5

s->0S->0

1+G,(S)G2(S)H(S)一。(0.2s+1)(005$+1)+4082

=0.0122>0.01

k

(1)當(dāng)串入積分環(huán)節(jié)G3(S)=—后:

=limsE(s)=lims-----------」■)"(、)------------?N(S)=lim----------("(""+"---------=0

$s"io2。i-G1(S)G2(5)G3(S)//(S)ST。s(0.05s+l)(0.2s+1)+40%

其特征方程為：/+251+1(X)5+400(欣=0

由勞斯判據(jù)得：0<k<-

8

(2)當(dāng)采用符合前反饋時：

0055+1

要使=0,只有使G4=0.5(0.055+1)/40=

80

3.22解(1)

k2

%=仁+=limME,⑸+En⑻)=lims4(---rr—+—豈；；)=/(”砥)

.<->0Sf0$]+八I]+?八3?勺

S(串+1)S(4+1)

(2)

k-1

所以，當(dāng)1+攵小一攵2=。，——時，4s=0。

k\

3.23證明：一個/型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：6小"）二二6。（5）的形式：

sY

nil..廠/、1.R（s）..s.111.

則：ess=lim5E（5）=liiTi-------s=hm——：-------一+q-++a.—r）

“一。T+G⑸一。JG°G）。$%

sf

Z+IZ1I1、

=lim------2一1--------L5mM+=0

Y

2。s，+2,⑻a。s+kG0(s)

3.24

程序：

wn=l;

zeta=[0,0.3,0.7,1,2];

figure(l);

holdon;

fori=zeta

num=wn*2

den=[l,2*i*wn,wn"2]

step(num,den)

end

運行結(jié)果：

4.2解：

(1)

漸近線與實軸的夾角為：￡,肛一1

33

7-2/T+2/2

漸近線與實軸的交點為:

亍3

離開復(fù)極點的出射角為：0pk=乃+ZN（—p?+zp—ZN（—p?+pp

—Pi=-l+2j,-p2=-l-2j,

夕川二4一()一arctan2+—)=-26.6，O=-0.=26.6°

2〃n-l/7|

(3)

閉環(huán)特征方程為：?+252+55+^=0,其勞斯陣列為

o

s'15

522k,、

令M行為o,得兒=10,得兩個虛根為士右，

4.3

kQ+2)

G/(s尸2()

s~+2s+3o

零極點分布圖：

根軌跡圖：

(1)令N(s)=s+2,D(s)=s2+2s+3

代入N，(s)D⑸-N⑸D，(s)=0得:

s2+4s+1=0

s產(chǎn)-0.27,s2a-3.73

實軸上根軌跡區(qū)間是：(-00,-2]

所以，s=-2-6=-3.73為會合點(舍去s=-3.73)

會合點處的根軌跡增益：K〃=-陰|=4=5.46

(2)%=180°+N(-P?+Z?)-N(-P,+P2戶180°+54.70-90=144.7°

由對稱性可知外=-。川=-144.7°

(3)

方法一：

利用圓的數(shù)學(xué)表達式

根軌跡方程為l+GNs)=0,即：s2+(2+Kg)s+(3+2KJ=0

所以:二2+5”"

(*)

設(shè)$=*+上丫，由(*)可得：

由上式得：(x+2/+y2=3

所以，不在負(fù)實軸上的根軌跡是圓周上的一部分。

方法二：

利用根軌跡的相角條件

設(shè)s=x+jy

/〃〃

根據(jù)根軌跡的相角條件：Z2"+Z/)-ZN($+=(2k+\)7r,k=0,±L±2,--?

>iI=I

得到：tan-l--——[(7i-tan"——-)+(兀-tan-|五+))]=兀

x+2-x—1—x—1

化簡得：(x+2)、y2=3

所以，不在負(fù)實軸上的根軌跡是圓周上的一部分。

4.4解：

(1)系統(tǒng)的開環(huán)極點為-2±/,開環(huán)零點為-1,由規(guī)則知實軸上的根軌跡區(qū)域為(-1,8)

(2)令N(s)=s+lRs)=1+4$+5

則由N'(s)D⑸+N(S)力⑸=0,得/+2”1=0,解得一1一夜(舍),一1+血

所以，根軌跡與實軸的交點為-1-J5

(3)復(fù)極點：一2土j

出射角為:45°,-45°

4.5

K

G,(s)=---------v:-------oovK。v+8

八(5+1)(5+3)(5+6)&

由GMs)得出系統(tǒng)的三個開環(huán)極點為：

Sj=-1,s2=-3,s3=-6

I當(dāng)0<K,時，根據(jù)180。等相角根軌跡規(guī)則，有：

(I)實軸上的根軌跡區(qū)域為：(-8,-6]山-3,-1]

(2)漸近線與實軸的交點：-0二二"：二「+3+6=_3

n-m3-03

60°k=0

角度為：.=(2)+1)J卜8()°k=l

n~m-60°k=2

(3)分離點：N(s)=1,D(s)=(s+1)(s+3)(s+6)

代入N,(s)D(s)-N(s)D,(s)=0得：

3S2+205+27=0

s產(chǎn)-1.88,s,a-4.79

因為：實軸上的根軌跡區(qū)域為：(-8,-6]U[-3,-1]

所以，S|=-1.88是分離點(舍去s=-4.79)

⑷分離點處的根軌跡增益值為：K“二-空|=向=4.06

N(s)

n當(dāng)一8<KO,<o時，根據(jù)⑴等相角根軌跡規(guī)則，有：

(1)實軸上的根軌跡區(qū)域為：卜6,?3]U[-l,+8)

￡P(guān)i-￡Zi1+3+610

(2)漸近線與實軸的交點:

n-m3-()3

00k=0

2kl

角度為:(P=---<--1--20°k=1

n-in

-120°k=2

(3)分離點:N(s)=1,D(s)=(s+1)(s+3)(s+6)

代入N'(s)D(s)-N(s)D'(s)=0得:

3S2+205+27=0

s產(chǎn)-1.88,s2*-4.79

因為：實軸上的根軌跡區(qū)域為：[-6,-3]Uf-1,+00)

所以，S[=-4.79是分離點(舍去s=-1.88)

(4)分離點處的根軌跡增益值為：K“產(chǎn)-碧|-向=-8-21

NV>7

4.7解：

仆

l.G(5)=

A5(5+I)2

(1)開環(huán)極點為0,-1，-1

(2)漸近線有三條，傾角60,180,-60,與實軸的交點-2/3

(3)實軸上的分離點為?1/3

(4)出射角180,0,-180

(5)與虛軸交點土/

(1)實軸上的根軌跡為(-1,8)

(2)漸近線傾角為120,-120,0,與實軸的交點-2/3

(3)分離點為-1/3

(4)出射角0,0,180

k

2.G式s)=--------------

上(?+25+2)(5+2)

(1)極點：-2,-1+j,J-j

(2)漸近線傾角:60,180,-60；與實軸的交點：-4/3

(3)根軌跡與虛軸的交點為：土扃

(4)出射角：45,180，-45

(1)實軸上的根軌跡區(qū)為(一2,8)

(2)漸近線傾角為120,0,-120；與實軸的交點為：-4/3

(3)出射角為135,0,-135

勺G+5)

3.G*(s)=

s(s+l)(s+4)

0<4,<8時

(1)極點0,-1,-4,零點-5,交點0

(2)漸近線傾角9(),-9()

(3)分離點-0.5

(4)出射角180,0,180

(1)實軸上的根軌跡為(YOL5)J(—4,T)U((),8)

(2)漸近線傾角0,兀，與實軸的交點為0

(3)出射角射180,0

(4)分離會合點-3.26,-6.26

勺($2+4$+8)

4.G&(s)=

d(s+4)

(1)極點0,0,-4,零點-2-2j,-2-2j

(2)漸近線1條，傾角180°

(3)出射角90",-90°,180°,入射角-45,45

(1)實軸上的跟軌跡區(qū)域為(-4,8)

(2)分離(會合)點：0,-2.4163

35

(3)出射角0,180,0,入射角一陽一萬

44

k(5+2.5)

5.3(s)=———e~「------

人(1+25+2)(/+4s+5)

(1)極點一1±/,-2±j,零點-2.5

(2)漸近線傾角60,180,60,交點-7/6

(3)分離會合點-3

(4)出射角60,-60,143,-143,入射角180

與虛軸的交點±2.5/

(I)實軸上的根軌跡為(—2.5,8)

(2)漸近線為0,120,220

(3)分離點為-1.為

(4)出射角為120,-120,36.87,-36.87,入射角0

(5)與虛軸交于0點

勺(s+1)

6.GJS)=

5(5+1)(?+45+16)

(1)極點0,-1,-2±2>/3j\零點-1

(2)漸近線60,180,-60,交點-4/3

(3)出射角30,-30,180

(4)與虛軸的交點±4J,0

(1)實軸上的根軌跡區(qū)域為(0,8)

(2)漸近線傾角為0,120.-120,交點-4/3

(3)出射角為0,210,-210入射角0

(4)與虛軸交點為()

4.9

令=-1

5(25-a)

貝ij：s(2s+l)=a(s-l)

-a(s-1)

所以:

s(2s+1)

az八

整理得：二一-=-\(a>0)

S(S+])

令K'=?=(K'為等效根軌跡增益)

52S

所以，等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：G'(加長Js；D,-QO<1cg<0

s(s+l)

2

(1)等效開環(huán)零點：一疣二1

等效開環(huán)極點：-pe尸0,-pe2=-^-

(2)實軸上的根軌跡區(qū)域為：U”,+8)

⑶漸近線：

n-m2

角度為：(p=0

(4)分離點和會合點：

N(s)=s-l.D(s)=s(s+—)

2

代入N，(s)D(s)-N⑸D，(s)=0得:

2+J62-J6

s.=--------,s,=---------

22

所以‘S尸那是會合點"廣￥是分離點。

s

(5)與虛軸的交點及其增益:

將s=j①代入：

K

得出:>4

2

所以根軌跡與虛軸交于s=±3此時的等效根航跡增益為K]=-L,即a=l

22

又因為a^O,根據(jù)根軌跡的定義及其與穩(wěn)定性的關(guān)系，可得:

使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的參數(shù)a的范圍為：04。W1

4.13

(1)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

默認(rèn)k、,>0

1.該系統(tǒng)根軌跡有兩條，起點分別是-1+/,-1-J,終點分別為-4,Oo

2.實軸上的根軌跡：

3.分離會合點：N(s)=s(s+4)0($)=/+2s+2

由N[s)D(s)-N(s)D(s)=0得/-2s-4=0

解得：4=1+&(舍去)&=1一石為根軌跡的分離會合點。

4.入射角為。和180

出射角。川B2430243〃

系統(tǒng)根軌跡如下所示：

(2)方法一：閉環(huán)特征方程式為：(1+兒)/+(2+4攵)$+2=0

c*b

由特征根相同得：(2+4《)2—8(1+勺)=0

/日?-1上5/5.—I+y/5,

得：勺IN=~kg1——滿zt要求。

方法二：將邑二1一6代入(1+院)s2+(2+4()s+2=0

可求得：32=—1產(chǎn)其中：%J丁=().31,滿足要求

(3)兩個相同的特征根卻為其分離會合點為，可得其用同的特征根為：

s=1-6=-1.24

(4)當(dāng)系統(tǒng)有兩個相同的特征根時系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，其調(diào)整時間為：

4.14解

k.(s+2)

單位反饋系統(tǒng)得開環(huán)函數(shù)為6式5)=------------k“>0

s(s+l)(s+4)

故系統(tǒng)開環(huán)極點分別為0.-L-4,開環(huán)零點為-2。設(shè)阻尼角為60°時，該系統(tǒng)的超調(diào)

量

設(shè)阻尼角為60°時系統(tǒng)閉環(huán)極點為-。±,由相角條件知：

解得。二1

33_

---=—=3,A=5

go

44

3。=4，A=2

勺(5+2)

將s=—1+八6代入幅值條件

s(s+l)(s+4)

得人O二6

從而可得kv=lim$G式可=y=3

4.17

勺(s+2)

(1)開環(huán)傳遞函數(shù)G*（s）=

s(s+l)

開環(huán)零點是-馬二-2

則它在實軸上的根軌跡為（一8,-2］和［-1,0］

令N($)=5+2￡)(.v)=s(s+1)

dD(s)O(s)^￡l=0

由式N（s）

ds

即(s+2)(2$+1)-s(s+1)=/+4,y+2=0

解得：

均為分底（會合）點

(2)該閉環(huán)函數(shù)得特征方程為5(5+1)+k(S+2)=52+(1+兒)S+2k=0

解得士師三

2

又：有根其實部為?2,即—（1+勺）/2=-2

將勺=3代入上式得s=-2土夜）

即該系統(tǒng)得根軌跡增益為3,兩更根為-2士J5）

k,(2-s)kJ(s-2).

4J8上——-=上——-kJ=-k<0

s(s+3)s(s+3)

(I)1.系統(tǒng)根軌跡有2支，起點分別為0,-3；終點分別為2和無窮遠(yuǎn)處。

2.實軸上根軌跡為［—3,0］、［2,48)

3.分離會合點：

由N(s)D(s)-N(s)￡＞(s)=0得?-45-6=0

解得$=2±而均滿足要求。

4.與虛軸交點：將s=〃y代入特征方程式：/+(3一o女”+2A兒=0得:

—(0^+2Zr=0i—

g解得：=3＜y=±V6

［(3-勺汝二0kv

根軌跡如下所示：

(2)由相角條件：

所以s=-2土/J歷不在根軌跡上。

(3)系統(tǒng)穩(wěn)定時，根軌跡在左半平面，可知當(dāng)0＜勺＜3時，系統(tǒng)穩(wěn)定。

K"+l)

4.19解G(S)=鼠＞0

S(S-，S+4)

開環(huán)極點q=o,2=i，4=_4

開環(huán)零點Z,=-I

實釉上的根軌跡［-4,-l］U［O,l］

4-I

漸近線傾角0=——

3-1

與實軸交點＜y=-i

q”=乃+。一乃一()=()

=江+0一乃一乃二一期

出射角八C

6］訃=兀+兀一兀一工=a

0^=71+0+71-^=71

求分離匯合點M⑸。⑶—⑸=°s=0,4