2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第四節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)學(xué)案理含解析新人教A版VIP

PAGEPAGE14第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)2024考綱考題考情1．直線與平面平行(1)判定定理(2)性質(zhì)定理2.平面與平面平行(1)判定定理(2)兩平面平行的性質(zhì)定理3.平行關(guān)系中的兩個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β。(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ。1．兩個平面平行，則其中隨意一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。2．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想，解題中既要留意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的詳細(xì)條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向。一、走進(jìn)教材1．(必修2P61A組T1(1)改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿意a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿意a∥b，a∥α，b?α，則b∥α解析依據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理可知。故選D。答案D2．(必修2P58練習(xí)T3改編)平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故解除A。若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故解除B。若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故解除C。故選D。答案D二、走近高考3．(2024·浙江高考)已知平面α，直線m，n滿意m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α。若m∥α，m?α，n?α，不肯定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件。故選A。答案A4．(2024·全國卷Ⅱ改編)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點。證明：直線CE∥平面PAB。證明取PA的中點F，連接EF，BF。因為E是PD的中點，所以EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD。由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝eq\f(1,2)AD，所以EF綊BC，四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF，又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB。三、走出誤區(qū)微提示：①對空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不夠致誤；②對面面平行判定定理的條件“面內(nèi)兩相交直線”相識不清致誤；③對面面平行性質(zhì)定理理解不深致誤。5．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一的與a平行的直線解析當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線。故選A。答案A6．下列條件中，能推斷兩個平面平行的是________。①一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面；②一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面；③一個平面內(nèi)有多數(shù)條直線平行于另一個平面；④一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面。解析由兩個平面平行的判定定理可知，假如一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另外一個平面平行，那么這兩個平面平行。明顯只有④符合條件。答案④7.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形態(tài)為______。解析因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG。同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形。答案平行四邊形考點一線面平行的判定與性質(zhì)微點小專題方向1：直線與平面平行的判定與證明【例1】(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________。(2)(2024·福州高三期末考試節(jié)選)如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，點F為棱DE的中點。證明：AF∥平面BCE。(1)解析連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，E為DD1的中點，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE。答案平行(2)證明如圖，取CE的中點M，連接FM，BM。因為點F為棱DE的中點，所以FM∥CD且FM＝eq\f(1,2)CD＝2，因為AB∥CD，且AB＝2，所以FM∥AB且FM＝AB，所以四邊形ABMF為平行四邊形，所以AF∥BM，因為AF?平面BCE，BM?平面BCE，所以AF∥平面BCE。證法一：如圖，在平面ABCD內(nèi)，分別延長CB，DA，交于點N，連接EN。因為AB∥CD，CD＝2AB，所以A為DN的中點。又F為DE的中點，所以AF∥EN，因為EN?平面BCE，AF?平面BCE，所以AF∥平面BCE。證法二：如圖，取棱CD的中點G，連接AG，GF，因為點F為棱DE的中點，所以FG∥CE，因為FG?平面BCE，CE?平面BCE，所以FG∥平面BCE。因為AB∥CD，AB＝CG＝2，所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG∥BC，因為AG?平面BCE，BC?平面BCE，所以AG∥平面BCE。又FG∩AG＝G，F(xiàn)G?平面AFG，AG?平面AFG，所以平面AFG∥平面BCE。因為AF?平面AFG，所以AF∥平面BCE。證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再依據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行。方向2：直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】(2024·青島質(zhì)檢)如圖，五面體ABCDE中，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F(xiàn)是線段BC上一點，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF。(1)試確定F的位置；(2)求三棱錐A－CDF的體積。解(1)連接BE交AD于點O，連接OF，因為CE∥平面ADF，CE?平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF，所以CE∥OF。因為O是BE的中點，所以F是BC的中點。(2)因為BC與平面ABD所成角為30°，BC＝AB＝1，所以C到平面ABD的距離為h＝BC·sin30°＝eq\f(1,2)。因為AE＝2，F(xiàn)是BC中點，所以VA－CDF＝VF－ACD＝eq\f(1,2)VB－ACD＝eq\f(1,2)VC－ABD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)。在應(yīng)用線面平行的判定定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，肯定留意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格依據(jù)定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必需說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行?！绢}點對應(yīng)練】1．(方向1)如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點。(1)證明：CE∥平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值。解(1)證明：如圖，設(shè)PA的中點為F，連接EF，F(xiàn)B。因為E，F(xiàn)分別為PD，PA的中點，所以EF∥AD且EF＝eq\f(1,2)AD。又因為BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF。因為BF?平面PAB，CE?平面PAB，所以CE∥平面PAB。(2)分別取BC，AD的中點為M，N。連接PN交EF于點Q，連接MQ，BN。因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF的中點，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE。由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD。由DC⊥AD，N是AD的中點得BN⊥AD。又PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN。由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN。過點Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH。則MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角。設(shè)CD＝1。在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝eq\r(2)得CE＝eq\r(2)，在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝eq\r(3)得QH＝eq\f(1,4)，在Rt△MQH中，QH＝eq\f(1,4)，MQ＝eq\r(2)，所以sin∠QMH＝eq\f(\r(2),8)，所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是eq\f(\r(2),8)。2．(方向2)如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH。求證：PA∥GH。證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點，又M是PC的中點，所以AP∥OM。又MO?平面BMD，PA?平面BMD，所以PA∥平面BMD。又因為平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，所以PA∥GH?？键c二面面平行的判定與性質(zhì)微點小專題方向1：面面平行的判定與證明【例3】已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點。求證：平面BEF∥平面AD1C1。證明取AD的中點G，連接BG，F(xiàn)G。因為E，F(xiàn)分別為CC1，DD1的中點，所以C1D1綊CD綊EF，因為C1D1?平面AD1C1，EF?平面AD1C1，所以EF∥平面AD1C1。因為AD∥BC，AD＝2BC，所以GD綊BC，即四邊形BCDG是平行四邊形，所以BG綊CD，所以BG綊EF，即四邊形EFGB是平行四邊形，所以BE∥FG。因為F，G分別是DD1，AD的中點，所以FG∥AD1，所以BE∥AD1。因為AD1?平面AD1C1，BE?平面AD1C1，所以BE∥平面AD1C1。又BE?平面BEF，F(xiàn)E?平面BEF，BE∩EF＝E，所以平面BEF∥平面AD1C1。證明面面平行的常用方法1．利用面面平行的定義或判定定理；2．利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β)；3．利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ)。方向2：面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例4】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的多面體中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD。請在圖中作出平面α，使得DE?α，且BF∥α，并說明理由。解如圖，取BC的中點P，連接PD，PE，則平面PDE即為所求的平面α。下面證明BF∥α。因為BC＝2AD，AD∥BC，所以AD∥BP，且AD＝BP，所以四邊形ABPD為平行四邊形，所以AB∥DP。又AB?平面PDE，PD?平面PDE，所以AB∥平面PDE。因為AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE。又AF?平面PDE，DE?平面PDE，所以AF∥平面PDE。又AF?平面ABF，AB?平面ABF，AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面PDE。又BF?平面ABF，所以BF∥平面PDE，即BF∥α。本題先構(gòu)造平面FAB∥平面EDP，又FB?平面FAB，從而FB∥平面EDP，從本例4可以看出線面平行可以通過面面平行的性質(zhì)定理實現(xiàn)。另外，有時線線平行也可以通過面面平行的性質(zhì)定理實現(xiàn)。【題點對應(yīng)練】1．(方向1)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點D是BC上一點，且A1B∥平面AC1D，點D1是B1C1的中點。求證：平面A1BD1∥平面AC1D。證明如圖，連接A1C交AC1于點E，連接ED，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以點E是A1C的中點，因為A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED，因為點E是A1C的中點，所以點D是BC的中點，又因為點D1是B1C1的中點，所以D1C1綊BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以BD1∥C1D。又BD1?平面AC1D，C1D?平面AC1D，所以BD1∥平面AC1D，又因為A1B∩BD1＝B，所以平面A1BD1∥平面AC1D。2．(方向2)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB。已知G，H分別是EC和FB的中點。求證：GH∥平面ABC。證明取FC中點I，連接GI，HI，則有GI∥EF，HI∥BC，所以HI∥平面ABC，又EF∥DB，所以GI∥BD，所以GI∥平面ABC，又GI∩HI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC。

eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))1．(協(xié)作例1運用)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由。解解法一：假設(shè)在棱AB上存在點E，使得DE∥平面AB1C1，如圖，取BB1的中點F，連接DF，EF，ED，則DF∥B1C1，又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面AB1C1，因為EF?平面DEF，所以EF∥平面AB1C1，又因為EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，所以EF∥AB1，因為點F是BB1的中點，所以點E是AB的中點。即當(dāng)點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1。解法二：存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1。證明如下：如圖，取BB1的中點F，連接DF，則DF∥B1C1。因為DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1。因為AB的中點為E，連接EF，ED，則EF∥AB1。因為EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1。因為DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1。而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1。2．(協(xié)作例2運用)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2eq\r(17)。點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH。(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積。解(1)證明：因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC。同理可證EF∥BC，因此GH∥EF。(2)如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK。因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD。又BD∩AC＝O，且AC，BD?底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD。又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH。因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?