專題3運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題-教師版

專題3運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想解題考向考向一特殊與一般的轉(zhuǎn)化【方法儲(chǔ)備】1.特殊與一般之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過(guò)程中將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理或是將某些特殊問(wèn)題進(jìn)行一般化處理的方法．常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．2.對(duì)于選擇題，當(dāng)題設(shè)在普通條件下都成立時(shí)，用特殊值進(jìn)行探求，可快捷地得到答案．3.對(duì)于填空題，當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案．【典例精講】例1.(2023·福建省模擬)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的對(duì)稱軸上的定點(diǎn)M(m,0)(m>0)，作直線AB與拋物線相交于A,B(1)證明：A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；(2)若點(diǎn)N是定直線l:x=?m上的任一點(diǎn)，設(shè)直線AN,MN,BN的斜率分別為k1,k解：證明：(1)設(shè)A(x1,因?yàn)橹本€AB與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，所以直線AB的斜率不為0.可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m．把AB的方程x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得y2=2pxx=ty+m由韋達(dá)定理得y1?y探索：當(dāng)直線AB⊥x軸時(shí)，則A(m,2pm),B(m,?2pm此時(shí)k1=2pm?nm+m=2pm?n2m猜想一般情況下，有k1設(shè)點(diǎn)N(?m,n)，則直線AN的斜率為k1=y1?n所以k=2p(y又因?yàn)橹本€MN的斜率為k2所以k1【變式訓(xùn)練】練11(2023·江蘇省月考)若正整數(shù)數(shù)列{an}，{bn}滿足，對(duì)任意n≥2，n∈N?(1)已知{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2n?1(2)已知{an}，{bn}為“友好數(shù)列”，且解：(1)由于an=2n?1,bn=2n?1，

則設(shè)Sn=a1Sn=?1×20?2×21+22+···+2n?1+2n?1×2n

=2n?3×2n+3=an?1bn+1+3．

因此an,bn為友好數(shù)列

(2)已知an,bn為友好數(shù)列，即對(duì)任意n?2，n∈N?，都有

a1b1+a2b2+···+anbn=an?1bn+1+3，

a1b1+a2b2+···+anbn+an+1bn+1練12(2023·浙江省月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)M(0,?1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由．解：(1)由題意ca=22，故a=2c，

又橢圓上動(dòng)點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(2?1)，

所以a?c=32?3，解得c=3，a=32，所以b2=a2?c2=9，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218+y29=1．

(2)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，令y=?1，則x=±4，此時(shí)以AB為直徑的圓的方程為設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0,?1)的直線l的方程為y=kx?1，與橢圓C交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則y=kx?1,x2+2y2=18,,

整理得(1+2k2)x2考向考向二函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化【方法儲(chǔ)備】1．函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助．2．解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題，將方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．【典例精講】例2.(2023·江蘇省聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+ax?ln?(x+1)，若f(x0)<A.(ln36,ln22) 解：∵f(x)<0，即ax2+ax?ln?(x+1)?<0，整理得ln?(x+1)?>ax(x+1)．

又∵x+1>0，∴l(xiāng)n?(x+1)x+1?>ax，

令?(x)=ln(x+1)x+1，g(x)=ax(x?>?1)，

∴?'(x)=1?ln?(x+1)(x+1)2，令?'(x)=0得x=e?1，

∴當(dāng)x∈(?1,e?1)時(shí)，?'(x)>0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(e?1,+∞)時(shí)，?'(x)<0，函數(shù)?(x)單調(diào)遞減，

且?(0)=0，且x→+∞時(shí)，?(x)→【變式訓(xùn)練】練21(2023·河北省模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=(x?1)(ex?e)，g(x)=ln?x?ax(a∈R).若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x1，x2，不等式f(A.0 B.1 C.1e D.解：函數(shù)f(x)=(x?1)(ex?e)，x>0，

則f'x=ex?e+x?1ex=xex?e，

令?x=xex?e,x>0，

則?'x=x+1ex>0，

所以?x在0,+∞上單調(diào)遞增，又?1=0，

所以當(dāng)0<x<1時(shí)，?x<0,f'x<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>1時(shí)，?x>0,f'x>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

所以fxmin=f1=0，

若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x1，x2，不等式f(練22(2023·安徽省模擬)已知函數(shù)f(1)討論函數(shù)fx(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2解：(1)f令Δ=1+4(b+1)=4b+5．(i)若b≤?54，此時(shí)Δ≤0，

f′(x)≥0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增．

(ii)若b>?54，此時(shí)Δ>0.由f′(x)=0得，x1當(dāng)x>x1或x<x2時(shí)，當(dāng)x2<x<x1時(shí)，綜上所述：當(dāng)b≤?54時(shí)，函數(shù)f(x)在當(dāng)b>?54時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,?1?4b+5(2)由(1)知，x1+xf(x令x2?x1=t(t<0)，由x由f(x2)令g(t)=2?tt+2e因?yàn)間′(t)=?t2(t+2)2故不等式(※)的解集為{t?2<t≤?1由?(b+1)=x1x2=?t2即b的取值范圍為[?1,?1考向考向三正難則反的轉(zhuǎn)化之間的轉(zhuǎn)化【方法儲(chǔ)備】1.否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補(bǔ)集即可.2.一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)較少，從反面考慮較簡(jiǎn)單.因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問(wèn)題中.3.若問(wèn)題直接求解困難時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法間接地解決問(wèn)題．【典例精講】例3.(2023·廣東省月考)若“?x∈[4,6],x2?ax?1>0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

解：命題：“?x∈[4,6]，x2?ax?1>0”是假命題，

則：“?x∈[4,6]，x2?ax?1≤0”為真命題，

即不等式x2?ax?1≤0在4,6恒成立，可化為a≥x?1x在4,6恒成立，

所以a≥x?1xmax且x∈4,6，設(shè)f(x)=x?1x，x∈[4,6]，易得f(x)是區(qū)間[4,6]上的單調(diào)增函數(shù)，

所以f(x)的最大值為【變式訓(xùn)練】練31(2023·江西省模擬)若三個(gè)關(guān)于x的方程x2?2ax?3+a2=0，x2?(a+2)x+解：設(shè)已知三個(gè)方程都有實(shí)根，此時(shí)a的取值范圍為集合D．

則△1=4a2?4(?3+a2)≥0△2=(a+2)練32(2023·北京市月考)函數(shù)f(x)=2x2?4x+1，g(x)=2x+a，若存在x1，x2∈12,1解：因?yàn)閒(x)=2x2?4x+1，

所以當(dāng)x1∈12,1時(shí)，fx1∈?1,?12，

因?yàn)間(x)=2x+a，

所以當(dāng)x2∈12,1時(shí)，g(x2)∈[a+1,a+2]，

由題意可知?1,?12∩a+1,a+2≠?練33(2023·湖南省聯(lián)考)從A盒子中摸出一個(gè)黑球的概率是14，從B盒子摸出一個(gè)黑球的概率是13，從兩個(gè)盒子中各摸出一個(gè)球，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A.2個(gè)球都不是黑球的概率為12 B.2個(gè)球中恰有1個(gè)是黑球的概率為512

C.2個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率為34 D.2個(gè)球中至多有解：設(shè)從A盒子摸出一個(gè)黑球“為事件A1”，從B盒中摸出一個(gè)黑球“為事件A2”，則P(A1)=14，P(A2)=13，且A1，A2相互獨(dú)立，

在A選項(xiàng)中2個(gè)都不是黑球，則P(A1A2)=P(A1)?P(A2)=(1?14)×(1?13)=12，A正確;

考向考向四數(shù)與形的轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)化【方法儲(chǔ)備】大量數(shù)式問(wèn)題潛在著圖形背景,借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法。有時(shí)畫(huà)一個(gè)圖形給問(wèn)題的幾何直觀描述,從數(shù)式形的結(jié)合中易于找出問(wèn)題的邏輯關(guān)系.【典例精講】例4.(2023·福建省模擬)已知橢圓C：x2a2+y2=1(a>0)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A，直線l交C于M，N(1)求C的方程；(2)若∠MAN=90°；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點(diǎn)共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛MON為菱形，所以MN垂直平分OA，

不妨設(shè)M為x軸上方的點(diǎn)，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a2，

代入橢圓方程，得M的縱坐標(biāo)為32，所以M(a2,32)，

菱形AMON的面積為12a×3=152，解得a=5，

則C的方程為x25+y2=1．

(2)設(shè)直線l:x=my+t，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立方程x=my+tx2+5y2?5=0，得(m2+5)y2+2mty+t2?5=0，

Δ=4m2t2?4(m2+5)(t2?5)=4(5m2?5t2+25)=20(m2?t2+5)，

y1+y2=?2mt【變式訓(xùn)練】練41(2023·福建省模擬)若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足(b?a2+lna)2解：實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足(b?a2+lna)2+(c?d?2)2=0，

∴b=a2?lna，d=c?2，

令f(x)=x2?lnx，g(x)=x?2，

所以(a?c)

?2+(b?d)

?2的最小值就是曲線y=x2?lnx與直線y=x?2之間的最小距離的平方值，

設(shè)直線y=x+m與曲線f(x)=x2?lnx相切于點(diǎn)P(x0,y0)，

由f(x)=x2?lnx，得f'(x)=2x?1x，練42(2023·湖南省聯(lián)考)長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=2，M為側(cè)面CCA.223 B.233 C.解：取CD的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

DA、DC、DD1的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)M(0,y,z)，其中?1≤y≤1，0≤z≤1，則D(0,?1,0)、C(0,1,