2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用講義含解析蘇教版選修2-2

PAGEPAGE101.4導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P22])面積、體積最大問題[例1]用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形態(tài)的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？[思路點(diǎn)撥]不妨設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h＝eq\f(18－12x,4)＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).建立長方體的體積函數(shù)模型，再求最值．[精解詳析]設(shè)長方體的寬為xm，則長為2xm，高為h＝eq\f(18－12x,4)＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).故長方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).從而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1.當(dāng)0<x<1時，V′(x)>0；當(dāng)1<x<eq\f(3,2)時，V′(x)<0，故在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個極大值就是V(x)的最大值．從而最大體積V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此時長方體的長為2m，高為1.5m.故當(dāng)長方體的長為2m，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大體積為3m3.[一點(diǎn)通]在求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，留意結(jié)果應(yīng)與實際狀況相結(jié)合．用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時，假如函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點(diǎn)，那么依據(jù)實際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)．1．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為________cm.解析：設(shè)該漏斗的高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)，則V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時，V′>0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時，V′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時，V取得最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)2．用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器．先在四角分別截掉一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻折90°，再焊接而成．問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為xcm，容積為V(x)cm3，則V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)．故V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝36(舍去)．當(dāng)0<x<10時，V′(x)>0，即V(x)為增函數(shù)；當(dāng)10<x<24時，V′(x)<0，即V(x)為減函數(shù)．因此，在定義域(0,24)內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x＝10時取得最大值，其最大值為V(10)＝19600(cm3)．因此當(dāng)容器的高為10cm時，容器的容積最大，最大容積為19600cm3.成本最低(費(fèi)用最省)問題[例2]如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16m，假如池外周壁建立單價為每米400元，中間兩條隔墻建立單價為每米248元，池底建立單價為每平方米80元(池壁厚度忽視不計，且池?zé)o蓋)．(1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價．[思路點(diǎn)撥]eq\x(\a\al(分析,題意))→eq\x(\a\al(寫出函數(shù),關(guān)系式))→eq\x(寫出定義域)→eq\x(\a\al(對函數(shù)關(guān),系式求導(dǎo)))→eq\x(\a\al(探討,單調(diào)性))→eq\x(求最值)[精解詳析](1)污水處理池長為xm，則寬為eq\f(200,x)m.據(jù)題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤16，,0<\f(200,x)≤16，))解得eq\f(25,2)≤x≤16，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋2·\f(200,x)))×400＋eq\f(400,x)×248＋16000＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)≤x≤16))，(2)由(1)知y′＝800－eq\f(259200,x2)＝0，解得x＝18，當(dāng)x∈(0,18)時，函數(shù)y為減函數(shù)；當(dāng)x∈(18，＋∞)時，函數(shù)y為增函數(shù)．又∵eq\f(25,2)≤x≤16，∴當(dāng)x＝16時，ymin＝45000.∴當(dāng)且僅當(dāng)長為16m、寬為12.5m時，總造價y最低為45000元．[一點(diǎn)通](1)實際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)約時間等都須要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時依據(jù)f′(x)＝0求出函數(shù)取極值的點(diǎn)(留意依據(jù)實際意義舍去不合適的函數(shù)取極值的點(diǎn))，若函數(shù)在該點(diǎn)旁邊滿意左減右增，則此時惟一的微小值就是所求函數(shù)的最小值．(2)在解題過程中很簡單忽視關(guān)鍵詞“無蓋”，從而多求了一個底面積．實際問題中的用料最省問題一般都是要求幾何體的表面積，但要留意實物的表面積往往會缺少一個底面或側(cè)面等．3．做一個容積為256升的方底無蓋水箱，它的高為________分米時最省材料．解析：設(shè)水箱底面邊長為x分米，則高為eq\f(256,x2)分米，用料總面積S＝x2＋4·eq\f(256,x2)·x＝x2＋eq\f(256×4,x)，S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0得x＝8，當(dāng)0＜x＜8時，S′＜0，當(dāng)x＞8時，S′＞0，所以當(dāng)x＝8時，S取得最小值，則高為4分米．答案：44．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最?。拷猓?1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.當(dāng)0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝64處取得最小值．此時n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個橋墩才能使y最?。麧欁畲髥栴}[例3]某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價格P(元/噸)之間的關(guān)系式為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x(元)．問該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)[思路點(diǎn)撥]依據(jù)利潤與生產(chǎn)量以及價格之間的關(guān)系，建立滿意題意的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解．[精解詳析]每月生產(chǎn)x噸時的利潤為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因為f(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個點(diǎn)x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200時，f′(x)＞0；x＞200時，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值點(diǎn)，且最大值為f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時，利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬元．[一點(diǎn)通]利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般依據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．求解時要留意：①價格要大于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．5．某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價為________元時，利潤最大．解析：利潤為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(30≤x≤200)，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，當(dāng)30≤x<115時，S′(x)>0；當(dāng)115<x≤200時，S′(x)<0，所以當(dāng)x＝115時利潤最大．答案：1156．某商場銷售某種商品的閱歷表明，該商品每日的銷售量y(單位：kg)與銷售價格x(單位：元/kg)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/kg時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/kg，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解：(1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10(x－6)2))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當(dāng)x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)極大值42由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價格為4元/kg時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．1．解決實際生活問題的基本思路：eq\x(實際問題)eq\x(用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題)eq\x(用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題)eq\x(實際問題的答案)2．求實際問題中的最大(小)值，主要步驟如下：(1)抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型，列出變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)處的取值大小，最大者為最大值，最小者為最小值．[對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練(九)]一、填空題1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單元：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件．解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9(x＝－9舍)，且經(jīng)探討知x＝9是函數(shù)取極大值的點(diǎn)，所以廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量是9萬件．答案：92．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，若所制作容器的底面的一邊比高長0.5m，則當(dāng)高為________m時，容器的容積最大．解析：設(shè)高為x米，則V＝x(x＋0.5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14.8,4)－2x－0.5))，令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,15)舍去)).答案：13.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為k，k>0)．要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為________．解析：設(shè)斷面高為h，則h2＝d2－x2.設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f(x)，則f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0<x<d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±eq\f(\r(3),3)d(舍去負(fù)值)．當(dāng)0<x<eq\f(\r(3),3)d時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(\r(3),3)d<x<d時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．所以函數(shù)f(x)在定義域(0，d)內(nèi)只有一個極大值點(diǎn)x＝eq\f(\r(3),3)d.所以x＝eq\f(\r(3),3)d時，f(x)有最大值．答案：eq\f(\r(3),3)d4.如圖，已知一罐圓柱形紅牛飲料的容積為250mL，則它的底面半徑等于________時(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最?。馕觯涸O(shè)圓柱的高為h，表面積為S，容積為V，底面半徑為r，則表面積S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝eq\f(250,πr2)，則S＝2πr·eq\f(250,πr2)＋2πr2＝eq\f(500,r)＋2πr2，S′＝－eq\f(500,r2)＋4πr，令S′＝0得r＝eq\f(5\r(3,π2),π)，因為S只有一個極值，所以當(dāng)r＝eq\f(5\r(3,π2),π)時，S取得最小值，即此時所用的材料最省．答案：eq\f(5\r(3,π2),π)5.如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在拋物線上運(yùn)動，C、D在x軸上運(yùn)動，則此矩形的面積的最大值是________．解析：設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0)).點(diǎn)B坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))所以矩形ABCD的面積S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2))＝－eq\f(x3,4)＋x(x∈(0,2))．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2,\r(3))(舍)，x2＝eq\f(2,\r(3))，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,\r(3))))時，f′(x)＞0，f(x)是遞增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))，2))時，f′(x)＜0，f(x)是遞減的，當(dāng)x＝eq\f(2,\r(3))時，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)二、解答題6．某品牌電視生產(chǎn)廠家有A，B兩種型號的電視機(jī)參與了家電下鄉(xiāng)活動，若廠家對A，B兩種型號的電視機(jī)的投放金額分別為p，q萬元，農(nóng)夫購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為eq\f(1,10)p，eq\f(2,5)lnq萬元，已知A，B兩種型號的電視機(jī)的投放總額為10萬元，且A，B兩種型號的電視機(jī)的投放金額均不低于1萬元，請你制定一個投放方案，使得在這次活動中農(nóng)夫得到的補(bǔ)貼最多，并求出最大值．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4≈1.4)解：設(shè)B型號電視機(jī)的投放金額為x萬元(1≤x≤9)，農(nóng)夫得到的補(bǔ)貼為y萬元，則A型號的電視機(jī)的投放金額為(10－x)萬元，由題意得y＝eq\f(1,10)(10－x)＋eq\f(2,5)lnx＝eq\f(2,5)lnx－eq\f(1,10)x＋1,1≤x≤9，∴y′＝eq\f(2,5x)－eq\f(1,10).令y′＝0得x＝4，由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4<x≤9，故y在[1,4)上單調(diào)遞增，在(4,9]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝4時，y取得最大值，且ymax＝eq\f(2,5)ln4－eq\f(1,10)×4＋1≈1.2，這時，10－x＝6.故廠家對A，B兩種型號的電視機(jī)的投放金額分別為6萬元和4萬元時，農(nóng)夫得到的補(bǔ)貼最多，最多補(bǔ)貼約1.2萬元．7．請你設(shè)計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個正四棱柱形態(tài)的包裝盒．E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時，V′＜0.所以當(dāng)x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a)＝e