2024年高考數(shù)學一輪復習考點07二次函數(shù)與冪函數(shù)必刷題理含解析

PAGEPAGE1考點07二次函數(shù)與冪函數(shù)1．(2024·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m()A．與a有關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān)D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】B【解析】設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值點與最大值點，則m＝xeq\o\al(2,1)＋ax1＋b，M＝xeq\o\al(2,2)＋ax2＋b.∴M－m＝xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1)＋a(x2－x1)，明顯此值與a有關(guān)，與b無關(guān)．故選B.2．函數(shù)在區(qū)間的最大值是()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】y=log（x2﹣6x+10），可令t=x2﹣6x+10，對稱軸為x=3，函數(shù)t在[1，2]遞減，且y=logt在（0，+∞）遞減，可得y=log（x2﹣6x+10）在[1，2]遞增，可得x=2時，函數(shù)y取得最大值log（22﹣12+10）=﹣log32，故選：C．3．已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】B【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因為函數(shù)在R上是減函數(shù)，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，則a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．故答案為：B.4．，若方程f(x)=x無實根，則方程f(f(x))=x()A．有四個相異實根B．有兩個相異實根C．有一個實根D．無實數(shù)根【答案】D【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

方程f（x）=x即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0無實根，f（x）-x仍是二次函數(shù)，f（x）-x=0仍是二次方程，且無實根，∴△＜0．

若a＞0，則函數(shù)y=f（x）-x的圖象在x軸上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x對隨意實數(shù)x恒成立．

∴對f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x無實根．故選D.5．函數(shù)的值域為A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），則原函數(shù)可化為y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域為[0，2]．故選：D．6．平行四邊形中，點在邊上，則的最大值為A．2B．C．0D．【答案】A【解析】∵平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，，點M在邊CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸，建立如圖所示的坐標系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），設(shè)M（x，），則﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，設(shè)f（x）=（x﹣1）2﹣，則f（x）在[﹣，1）上單調(diào)遞減，在[1，]上單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，則的最大值是2，故答案為：A7．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之。亦倍下袤，上袤從之。各以其廣乘之，并以高乘之，皆六而一?！逼溆嬎惴椒ㄊ牵簩⑸系酌娴拈L乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一。已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為A．B．C．39D．【答案】D【解析】設(shè)下底面的長寬分別為，有則“芻童”的體積為,當時，“芻童”的體積取最大值，選D.8．在區(qū)間上任取一個數(shù)，則函數(shù)在上的最大值是的概率為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在區(qū)間[﹣2，2]上任取一個數(shù)a，基本領(lǐng)件空間對應(yīng)區(qū)間的長度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴當a∈[﹣2，1]時，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，滿意題意；當a∈（1，2]時，|1+a|=a+1，函數(shù)f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.則所求的概率為P=．故答案為：A.9．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，則()A．?m∈A，都有f(m＋3)＞0B．?m∈A，都有f(m＋3)＜0C．?m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D．?m0∈A，使得f(m0＋3)＜0【答案】A【解析】由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根，當x＞1時，f(x)＞0.由a＞b，得1＞eq\f(b,a)，設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的另一個根為x1，則x1＋1＝－eq\f(b,a)＞－1，即x1＞－2，由f(m)＜0可得－2＜m＜1，所以1＜m＋3＜4，由拋物線圖象可知，f(m＋3)＞0，選A.10．已知函數(shù)，對隨意不等實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對隨意兩個不等的實數(shù)，都有不等式恒成立，

則當時，恒成立，即在上恒成立，

則故選D．11．二次函數(shù)的導數(shù)為，對一切，，又，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵對隨意實數(shù)x都有f（x）≥0，∴a＞0，c＞0，b2-4ac≤0即而，故答案為：A.12．已知函數(shù)f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若對于隨意實數(shù)x，f(x)與g(x)中至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(0，2] B．(－2，2]C．(－∞，－2) D．(0，＋∞)【答案】A【解析】對于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.當t＝0時，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有負，不符合題意，故解除B；當t＝2時，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合題意，故解除C；當t＞2時，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，當x趨近于－∞時，f(x)與g(x)都為負值，不符合題意，故解除D，選A.13．已知拋物線的焦點為，點為上一動點，，,且的最小值為，則等于A．4B．C．5D．【答案】B【解析】設(shè)點，則．∴，∴當時，有最小值，且最小值為．由題意得，整理得，解得或．又，∴，∴點B坐標為．∴由拋物線的定義可得．故選B．14．已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【解析】由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．當x＝0時，－3＜0，符合題意；當x≠0時，a＜eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,6)，因為eq\f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以當x＝1時，右邊取最小值eq\f(1,2)，所以a＜eq\f(1,2).綜上，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).15．已知函數(shù),則該函數(shù)的最小值是________.【答案】2【解析】設(shè)，則，此時，當時，即，函數(shù)取得最小值，此時最小值為．16．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則的最小值為_____．【答案】4【解析】由題意知，

則當且僅當時取等號．

∴的最小值為4．17．已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________【答案】【解析】①當時，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：當，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得：；當，即時，無意義；當，，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無解；當，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，，無解.②當時，函數(shù)外層單調(diào)遞增，，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得：.綜上所述：或.18．設(shè)函數(shù)，若，，則對隨意的實數(shù)，的最小值為_________________．【答案】10【解析】作出的圖象，如圖，由且得，即，其中，如圖圓，易知點在劣弧上，記，則表示點到射線上點的距離的平方，從圖中可知最小值為點到原點的距離的平方，即．19．已知實數(shù)，且滿意，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】又，，設(shè)，a，b是方程的兩個實根.，①存在時，使，，，即.②存在時，使，，，即..故答案為：.20．已知函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，在區(qū)間[2，5]上單調(diào)且有最大值為8，則實數(shù)t的值為________．【答案】eq\f(9,5)【解析】函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1圖象的對稱軸是x＝t，函數(shù)在區(qū)間[2，5]上單調(diào)，故t≤2或t≥5.若t≤2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是增函數(shù)，故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，解得t＝eq\f(9,5)；若t≥5，函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)，此時f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8，解得t＝－eq\f(3,4)，與t≥5沖突．綜上所述，t＝eq\f(9,5).21．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，對隨意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】當x0∈[－1，2]時，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，又對隨意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以當x1∈[－1，2]時，g(x1)∈[－1，3]．當a＞0時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋2≥－1，,2a＋2≤3，))解得a≤eq\f(1,2).綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).22．設(shè)正實數(shù)滿意，則的最小值是__________.【答案】【解析】正實數(shù)滿意，化為，由于關(guān)于的方程有正實數(shù)根，，解得因此實數(shù)y的最小值為.故答案為：.23．已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值集合為__________．【答案】.【解析】①若，即時，則，∴在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．∵函數(shù)最小值為，∴．②當，即時，則，∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為．∵函數(shù)最小值為，∴，解得，不合題意，舍去．③當，即時，則，∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為．∵函數(shù)最小值為，∴，解得或（舍去）．綜上可得或，∴實數(shù)的取值集合為．24．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x>0，,－f（x），x<0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍．【答案】(1)8(2)[－2，0]【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x>0，,－（x＋1）2，x<0.))