2025年春湘教版八年級下冊數(shù)學(xué)上課課件 1.1 直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）（第1課時）

1.1直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）第1章直角三角形第1課時直角三角形的邊角關(guān)系

湘教版八年級下學(xué)期課件1.了解直角三角形兩個銳角的關(guān)系.（重點）2.掌握直角三角形的判定及推論.（難點）3.會運用直角三角形的性質(zhì)和判定進行相關(guān)計算.（難點）在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶.你知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭情境引入

老大的度數(shù)為90°，老二若是比老大的度數(shù)大，那么老二的度數(shù)要大于90°，而三角形的內(nèi)角和為180°，相互矛盾，因而是不可能的.在這個家里，我是永遠的老大.問題1：如下圖所示是我們常用的三角板,兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的兩個銳角互余一問題引導(dǎo)問題2：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？在Rt△ABC中，因為∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A

+∠B+∠C=90°,即∠A

+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？ABC直角三角形的兩個銳角互余．應(yīng)用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以寫成Rt△ABC．總結(jié)歸納方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如圖

，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A

與∠D有什么關(guān)系？圖典例精析解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如圖

，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與

∠C有什么關(guān)系？請說明理由.圖與圖有哪些共同點與不同點？例2

如圖，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∵CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.【變式題】如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于點F，∠A與∠BFC又有什么關(guān)系？為什么？思考：通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D總結(jié)歸納問題：有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，因為∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.有兩個角互余的三角形是直角三角形二ABC應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個角互余的三角形是直角三角形.

總結(jié)歸納典例精析例3

如圖，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.例4

如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.

問題：如圖，畫一個Rt△ABC，并作出斜邊AB上的中線CD，比較線段CD與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半三我測量后發(fā)現(xiàn)CD=AB.線段CD比線段AB短.猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.試給出數(shù)學(xué)證明.圖1-4如圖1-3，如果中線CD=AB，則有∠DCA

=∠A.由此受到啟發(fā)，在圖1-4

的Rt△ABC中，過直角頂點C作射線

交AB于，使，∠

=∠A則.圖1-3證一證∴點D'是斜邊上的中點，即CD'是斜邊AB的中線.∠A

+∠B=90°，又∵，∴∴故得從而CD與CD'重合，且

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.性質(zhì)例5

已知：如圖，CD是△ABC的AB邊上的中線，且.求證：△ABC是直角三角形.證明：∴

∠1=∠A，∠2=∠B.∵∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A+∠B+∠1+∠2=180°，2(∠A+∠B)=180°.∴

∠A+∠B=90°.∴

△ABC是直角三角形.例6

如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；解：∵AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四邊形AEDF的周長＝AE＋DE＋DF＋AF

＝5＋5＋4＋4＝18；(2)求證：EF垂直平分AD.證明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD.

當(dāng)已知條件含有線段的中點、直角三角形的條件時，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進行求解．歸納如圖，在△ABC中,∠ABC

=

90°,BD是斜邊AC上的中線.(1)若BD=3cm,則AC

=_____cm;(2)若∠C

=

30°,AB=5cm,則AC

=_____cm,

BD

=

_____cm.ABCD6105練一練歸納總結(jié)體現(xiàn)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)的常見圖形1.如圖，一張長方形紙片，剪去一部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是________.90°2.如圖，AB、CD相交于點O，AC⊥CD于點C，若∠BOD=38°，則∠A=________.52°第1題圖第2題圖3.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，則這個三角形是____________.直角三角形4.在一個直角三角形中，有一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．60°D．70°B5.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C

B．∠A-∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠CD6.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，

CD⊥AB，與∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC7.如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，且∠ACD=∠B．求證：△ACD是直角三角形．證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形.8.如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點，試說明GF⊥DE.解：連接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵點G是BC的中點，∴EG＝BC，DG＝BC.∴EG＝DG.

又∵點F是DE的中點，

∴GF⊥DE.

在直角三角形中，遇到斜邊中點常作斜邊中線，進而可將問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問題，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解題．歸納ABCDO9.如圖，AB

⊥DB，CD

⊥DB，下列說法錯誤的是(

)A.一定有∠A=∠CB.只要有一邊相等就有△ABO≌△CDOC.只要再給一個條件就能得到△ABO≌△CDOD.有OA=OC或OB=OD，就有AB=CD

10.若一個三角形的三內(nèi)角之比為2:1:1，