2025年春湘教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)上課課件 2.5 矩形（第2課時(shí)）

2.5矩形第2章四邊形第2課時(shí)湘教版八年級(jí)下學(xué)期課件1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理．（重點(diǎn)）2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題.(難點(diǎn))復(fù)習(xí)引入問題1

矩形的定義是什么？有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.問題2

矩形有哪些性質(zhì)？矩形邊：角：對(duì)角線：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等思考工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形一類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.問題1

除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？矩形是特殊的平行四邊形.類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.問題2

上節(jié)課我們研究了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.成立問題3

至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形？ABDC(有一個(gè)角是直角)ABDC(有二個(gè)角是直角)ABDC(有三個(gè)角是直角)猜測(cè)：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.ABCD證一證矩形的判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.歸納總結(jié)幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四邊形ABCD是矩形.ABCD思考一個(gè)木匠要制作矩形的踏板．他在一個(gè)對(duì)邊平行的長(zhǎng)木板上分別沿與長(zhǎng)邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板．為什么？有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.例1如圖，□

ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形

EFGH為矩形．證明：在□

ABCD中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,ABDCHEFG∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.例2如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．練一練在判斷“一個(gè)四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）A．測(cè)量對(duì)角線是否相等B．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C．測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角D．測(cè)量其中三個(gè)角是否都為直角D

上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對(duì)角線相等”，反過來，小明猜想“對(duì)角線相等的四邊形是矩形”，你覺得對(duì)嗎？我猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.不對(duì)，等腰梯形的對(duì)角線也相等.不對(duì)，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅相等且平分.思考你能證明這一猜想嗎？對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形二已知：如圖,在□ABCD中,AC

,

DB是它的兩條對(duì)角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB

,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.ABCD證一證矩形的判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.歸納總結(jié)幾何語言描述：在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.ABCD思考數(shù)學(xué)來源于生活，事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度，如果對(duì)角線長(zhǎng)相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

例3如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.例4如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的對(duì)角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.練一練1.如圖，在?ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，則下面條件能判定?ABCD是矩形的是（）A．AC=BDB．AC=BCC．AD=BCD．AB=ADA2.如圖ABCD中,∠1=∠2中.此時(shí)四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？ABCDO12解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AO=CO,DO=BO.又∵∠1=∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.1.下列各句判定矩形的說法是否正確？（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（6）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（7）對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（4）有三個(gè)角都相等的四邊形是矩形;××××√√√√（8）一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形；2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn),AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、∠MCA、∠

ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（）

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.不能確定DEFMNQPABCC3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形．ABCD4.如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OA到N，使ON＝OB，再延長(zhǎng)OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，∴平行四邊形NDMB為矩形．5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點(diǎn)E，求證：四邊形ADCE是矩形．證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，

∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且相等BD.又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形.又∵∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQCD是平行四邊形？解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6.即經(jīng)過6s，四邊形PQCD

是平行四邊形；能力提升：(2)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQBA是矩形？解：設(shè)經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形，即AP＝BQ，所以y＝26－3y，解得y＝6.5，即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形．如圖2-46，四邊形ABCD

的四個(gè)角都是直角.由于“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，從而四邊形ABCD是平行四邊形.所以□ABCD是矩形.由此得到四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.圖2-46合作探究三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.三個(gè)角是直角的四邊形，容易知道另一個(gè)角也是直角，由此得到：結(jié)論

四邊形中只有兩個(gè)角是直角，我想到了下邊的圖形：從“矩形的對(duì)角線相等且互相平分”這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出對(duì)角線長(zhǎng)度為4cm的一個(gè)矩形嗎？這樣的矩形有多少個(gè)？動(dòng)腦筋

過點(diǎn)O

畫兩條線段AC，BD，使OA=OC=2cm，OB=OD=2cm.連接AB，BC，CD，DA.則四邊形ABCD是矩形，且它的對(duì)角線長(zhǎng)度為4cm，如圖2-47.這樣的矩形有無窮多個(gè).2cm2cm圖2-47你能說出這樣畫出的四邊形一定是矩形的道理嗎？如圖2-47，由畫法可知，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相平分，因此它是平行四邊形，又已知其對(duì)角線相等，上述問題抽象出來就是：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形嗎？我們來進(jìn)行證明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此△ABC≌△DCB.(SSS)從而∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB=180°，于是∠ABC=90°.所以□ABCD是矩形.圖2-47對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.由此得到矩形的判定定理：結(jié)論對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎？議一議議一議議一議議一議議一議議一議如圖2-48，在□ABCD中，它的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O.（1）如果□ABCD是矩形，試問：△OBC是什么樣的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形嗎？圖2-48舉例（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，解（1）∵□ABCD是矩形，

∴

AC與DB相等且互相平分.∴△OBC是等腰三角形.∴∴

AC=2OC