2024年中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)05 四邊形（七大易錯(cuò)分析+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（解析版）

易錯(cuò)05四邊形

「多邊給救線(xiàn)問(wèn)目、易錯(cuò)點(diǎn)一：考慮不全面

平行四邊彬的判斗、易告晟二:混淆判定條件

B平行四邊彩的田不唯一卜、易錯(cuò)點(diǎn)三：沒(méi)有分臭討論

m

掙球平行四邊步的判定和性質(zhì)卜一易錯(cuò)點(diǎn)四：混清各種判定和性質(zhì)

IK、卜隹易惜點(diǎn)五：無(wú)法確定對(duì)稱(chēng)軸

\\國(guó)冊(cè)變換問(wèn)題卜一易錯(cuò)點(diǎn)六：變換前后的田形無(wú)法結(jié)合

、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題卜、易借點(diǎn)七：找不到變量間的關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)一：考慮不全面

易錯(cuò)提醒：一個(gè)〃邊形剪去一個(gè)角后，若剪去的一個(gè)角只經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，則剩下的形狀是〃邊形，

若剪去的一個(gè)角經(jīng)過(guò)兩條鄰邊，則剩下的形狀是（〃+1）邊形，若剪去的一個(gè)角經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰點(diǎn)，則剩下的

形狀是（〃-1）邊形.所以遇到相關(guān)題目時(shí)，要分類(lèi)討論.

例I.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成一個(gè)七邊形，那么原多邊形邊數(shù)為（）.

A.6B.6或7C.6或8D.6或7或8

【答案】D

【分析】本題主要考查了截一個(gè)多邊形,一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加I,可能減少1,或

不變，據(jù)此畫(huà)圖利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.

【詳解】解：如圖所示，六邊形，七邊形和八邊形截去一個(gè)角后都可以形成七邊形，

，原多邊形邊數(shù)為6或7或8,

故選:D.

例2.已知正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于相鄰?fù)饨堑?倍.

⑴求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).

(2)若截去一個(gè)角，求截完后所形成的新多邊形的內(nèi)角和.

【答案】(1)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8；

(2)極完后所形成的新多邊形的內(nèi)角和為1260°或108CT或900°.

【分析】(1)利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出外角，用外角和360。除以一個(gè)外角的度數(shù)即可求解；

(2)分三種情況，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式即可求解；

本題考查了正多邊形的內(nèi)角和外角，掌握多邊形的內(nèi)角和計(jì)算及分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)設(shè)正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為F，則與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)等于(3力。，

:.%+3工=18(),

解得x=45,

360?45=8

答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8；

(2)剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，

①當(dāng)多邊形為九邊形時(shí)，

內(nèi)角和=(9-2)x180。=1260。；

②當(dāng)多邊形為八邊形時(shí)，

內(nèi)角和=(8-2)x180。=1080。；

③當(dāng)多邊形為七邊形時(shí)，

內(nèi)角和=(7—2卜180。=900。.

綜上所述，截完后所形成的新多邊形的內(nèi)角和為1260°或1080?；?00°.

變式I.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520',則原多邊形邊數(shù)為

【答案】15或16或17

【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1，少1三種情

況進(jìn)行討論.

【詳解】設(shè)新多邊形的邊數(shù)是〃，則（〃-2）x180"=2520',

解得〃=16,

???截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多1或少1,

工原多邊形的邊數(shù)是15,16,17,

故答案為：15,16,17.

【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理求多邊形邊數(shù).

變式2.若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1800。，則原多邊形的邊數(shù)（）

A.12B.11或12C.12或13或14D.11或12或13

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2>180。求出截去一個(gè)角后的多

邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加I，不變，減少1可得答案，理解截取一個(gè)角后多邊形的邊數(shù)

的變化情況是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角后的邊數(shù)為n,

則（〃一2）」80。=1800。，

解得〃=12,

???截去一個(gè)角后邊上可以增加1,不變，減少1,

...原來(lái)多邊形的邊數(shù)是11或12或13.

故選D.

變式3.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720。，那么原多邊形的邊數(shù)為（）

A.5B,5或6C.6或7D.5或6或7

【答案】D

【分析】根據(jù)內(nèi)角和為72（）。可得：多邊形的邊數(shù)為六邊形，然后分情況求解即可.

【詳解】解：如圖，

剪切的三種情況：①不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)剪，則比原來(lái)邊數(shù)多1,

②只過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)剪，則和原來(lái)邊數(shù)相等，

1.若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是1620。.則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是()

A.10或IIB.11C.11或12D.10或II或12

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和；先求出截去一個(gè)角后得到的是11邊形，再根據(jù)不同的裁切方式求出

原來(lái)多邊形的邊數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)截去一個(gè)角后的多邊形邊數(shù)為〃，

則有：(71-2)x180°=1620°,

解得：w=11,

如圖1,從角兩邊的線(xiàn)段中間部分切去一個(gè)角后，在原邊數(shù)基礎(chǔ)上增加了一條邊，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是

10;

如圖2,從一邊中間部分，與另一頂點(diǎn)處截取一個(gè)角，邊數(shù)不增也不減，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是11；

如圖3,從兩個(gè)頂點(diǎn)處切去一個(gè)角，邊數(shù)減少1,則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是12：

綜上，原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是10或11或12；

2.一天媽媽給小新出了一道智力題考他.將一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，得到這個(gè)多邊形的內(nèi)角和將會(huì)

()

A.不變B.增加180。C.減少180。D.無(wú)法確定

【答案】D

【分析】分三種情況討論，即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)該多邊形為〃邊形，則該多邊形的內(nèi)角和為180。伍-2),

???〃邊形截去一個(gè)角后，得到這個(gè)多邊形可能為(〃-1)邊形或〃之形或(〃+1)邊形，

???新多邊形的內(nèi)角和為180。(〃-3)或180。(〃-2)或180。(〃-1)

???新多邊形的內(nèi)角和將不變或增加180°或減少180°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是分情況訶論.

3.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，所形成的一個(gè)新多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形有一條邊；

【答案】15或16或17

【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和公式.設(shè)新多邊形有〃條邊.根據(jù)多邊形內(nèi)角和等于（〃-2）x180。列方程,

求出〃的值，再根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)的變化情況，分別討論即可.

【洋解】解：設(shè)新多邊形有〃條邊，

由題意得（〃-2*180。=2520。，

解得〃=16,

分三種情況：

當(dāng)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)加1時(shí)，原多邊形有15條邊；

當(dāng)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)不變時(shí)，原多邊形有16條邊；

當(dāng)截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)減1時(shí)，原多邊形有17條邊；

故答案為：15或16或17.

4.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是2880°,則原多邊形的邊數(shù)是

【答案】17,18或19

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：（〃-2）/80。=2880。，求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一

個(gè)角的情況進(jìn)行討論，計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

則（九一2）,180。=2880。，

解得：〃=18,

若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為19,

若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為18,

則多邊形的邊數(shù)是17,18或19,

故答案為：17,18或19.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2）/80。（〃23且〃是整數(shù)），注意要分情況進(jìn)行討論，

避免漏解.

5.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440。.則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是一.

【答案】9或10或II

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式5-2)/800求出截去一個(gè)角后的多邊形的邊數(shù)，再分情況說(shuō)明求得原

來(lái)多邊形的解.

【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)為〃，根據(jù)題意得：

(,2-2)180^=1440°

/./!=1()

又?■截去一個(gè)角后的多邊形的邊可以增加1、不變、減少1,

二?原多邊形的邊數(shù)為9或10或11.

【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式，本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于忽略考慮截去一個(gè)角后多邊形的邊數(shù)可以

不變、增加或者減少.

6.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形邊數(shù)為_(kāi)；其中邊數(shù)最少的原

多邊形從一頂點(diǎn)出發(fā)，能做一條對(duì)角線(xiàn).

【答案】15,16或1712

【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1,少1三種

情況進(jìn)行討論；根據(jù)〃邊形(〃>3),從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引(〃-3)條對(duì)角線(xiàn)解答即可.

【詳解】設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

則(〃-2).180。=2520。，

解得〃=16,

①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,如原多邊形邊數(shù)為15,

②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為16,

③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少I(mǎi),虹原多邊形邊數(shù)為17,

所以多邊形的邊數(shù)可以為15,16或17.

從I?五邊形的一頂點(diǎn)出發(fā)，能作的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)為：(72-3)=15-3=12(條).

故答案為：15,16或17；12.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、多邊形的對(duì)角線(xiàn)，解題的關(guān)鍵在于截去一個(gè)角后的多邊形與原

多邊形的邊數(shù)相等，多1,少1,有這么三種情況.

7.如果一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都為45。.

⑴求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)；

（2）若截去?個(gè)角（截線(xiàn)不經(jīng)過(guò)多邊形的頂點(diǎn)），求截完角后所形成的另?個(gè)多邊形的內(nèi)角和.

【答案】（1）這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8；

（2）12600

【分析】（1）利用正多邊形的性質(zhì)和多邊形的外角和計(jì)算即可；

（2）由題意確定截完角后所形成多邊形的邊數(shù)，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可.

【詳解】（I）解：由題意可得：360。+45。=8,

即這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為8；

（2）解：???將正多邊形截去?個(gè)角（截線(xiàn)不經(jīng)過(guò)多邊形的頂點(diǎn)），

???截完角后所形成的多邊形為九邊形，

則其內(nèi)角和為：（9—2）xl800=l260°.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，正多邊形的性質(zhì)，（2）中根據(jù)題意確定截完角后所形成多邊

形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆判定條件

平行四邊形的判定：

①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

②定理1：兩組對(duì)角分別相等的匹邊形是平行四邊形

③定理2：兩組對(duì)邊分別相等的匹邊形是平行四邊形

④定理3：對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形

⑤定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

易錯(cuò)提醒：在應(yīng)用平行四邊形的判定時(shí)要注意題目所給邊或角是不是對(duì)邊、對(duì)角，否則容易造成判定的錯(cuò)

用.

例3.如圖，在“V”字形圖形中，DE=DF，BE=CF,ZD=60°,CF//DE//AB,BE//DF//AC,若

要求出這個(gè)圖形的周長(zhǎng)，則需添加的一個(gè)條件是（）

/

A.相的長(zhǎng)B.的氏C.A6的長(zhǎng)D.A6與陳的和

【答案】C

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，先得到BEDH,CFDH.AGW/為平行四邊形：然后根據(jù)

對(duì)邊相等得到圖形的周長(zhǎng)為4A4解題即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)EO,FD交,AC,AB于點(diǎn)G,H,

???四邊形BE。”，CFDH,AGO”為平行四邊形，

/.HB=ED=FD=CG，RE=DH=GA=CF=DG=AH,

，圖形的周長(zhǎng)為E8+E/)+OF+FC+C4+A5=AG+CG+B”+A”+AB+AC=4AB,

???需要知道A3的長(zhǎng)即可，

故選：C.

例4.如圖，在YA8CO中，點(diǎn)E,尸在對(duì)角線(xiàn)8。上，且3/=DE.證明：

(l)AABE^ACDF；

⑵四邊形是平行四邊形.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查r平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得/48E=NCDF,結(jié)合已

知條件根據(jù)SAS即可證明△ABE^MDF:

（2）nT^AE=CF,ZAEB=^CFD,根據(jù)鄰補(bǔ)角的意義可得N4￡F=NCFE,可得

AE//CF,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等即可得出.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，

AAB//CD,AB=CD,

???公BE=/CDF,

'：BF=DE,

:,BF-EF=DE-EF,即=

???A4fi^ACDF（SAS）；

（2）證明：/\ABE^ACDF,

.?.AE=CF、NAEB=ZCFD

:.ZAEF=NCFE

???AE//CF,

.??四邊形AEb是平行四邊形.

變式1.如圖，工8。和V4OE都是等腰直角三角形，N84C=ND4七=90。，四邊形ACE出是平行四邊形,

在不添加輔助線(xiàn)的情況下，圖中與AACE全等的三角形共有個(gè).

【答案】3

【分析】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),

平行四邊形的性質(zhì)利用SSS,SAS即可證明出與zMC七全等的三角形共有3個(gè).

【詳解】解：..A3c和VAO石都是等腰直角三角形，N8AC=ND4E=90。，

：.AB=AC,AE=AD,

四邊形ACDE是平行四邊形,

：.AE=CD,AC=DE,

??.ACEWOEC（SSS）；

zBAC=zm￡=90°,

/.ZBAC+ZDAC=ZEAD+ADAC,即々AD=NE4C,

[A況2AC￡（SAS）；

四邊形ACQE是平行四邊形，

.?.ZC4D=ZADE=45°,

/.ZCAE=450+90°=135°,NBAE=180O-ZCDA=135°,

.\ZCAE=ZBAE,

.aACEgA阻SAS）：

綜上與/MCE全等的三角形共有3個(gè)；

故答案為：3.

變式2.在四邊形A8CD中，AB//CD,AB=S.要使四邊形A8CQ是平行四邊形，則C。的長(zhǎng)為

【答案】8

【分析】此題主要考查了平行四逅形的判定，正確把握平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵.

直接利用平行四邊形的判定方法得出入3〃CD人8=8時(shí)四邊形ABCO是平行四邊形一

【詳解】解：當(dāng)AB〃6,/W=C。時(shí)，四邊形A8CO是平行四邊形，

AB//CD,AB=S,

???當(dāng)6=8時(shí)，四邊形A8CO是平行四邊形，

故答案為：8.

變式3.如圖，在Y45C。中，AE=^AD,CF=^BC,求證：EG=FH

【答案】見(jiàn)解析

【分析】證明四邊形AEb是平行四邊形，得到GF〃￡H,再證明四邊形OKBb是平行四邊形，得到

GE//FH,則四邊形EG";是平行四邊形，即可得到EG=777.此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì),

熟練掌握平行四邊形的判定并靈活選擇方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在YA8C。中，AD〃BC,AD=BC,

VAE=-AD,CF=-BC,

22

???AE=CF,

VAE||CF,

.??四邊形AEb是平行四邊形，

，AF//CE,

JGF//EH,

VAE=CF,AD=BC,

/.DE=BF,

,/DE〃BF,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

:?BE〃DF,

：.GE//FH,

???四邊形EGFH是平行四邊形，

???EG=FH.

變式4.如圖，已知YABCO,AC、BD相交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)C。到點(diǎn)E,使CD=DE,連接4E.

⑴求證：四邊形A4/無(wú):是平行四邊形：

(2)連接BE,交AD于點(diǎn)F,連接。尸，判斷CE與。產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)CE=4OF,理由見(jiàn)解析.

【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)；

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到A8〃CQ,A8=8,再根據(jù)等量代換得到即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到03=8,BF=EF,然后根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)解題即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

又QCD=DE,

AB=DE，

，四邊形A4DE是平行四邊形:

(2)CE=40F.

,四邊形A8Z店是平行四邊形,

:.BF=EF,

又ABCZ)中，OB=OD,

二?OP是二8。七的中位線(xiàn),

:.DE=20F,

CE=2DE,

:.CE=4OF.

1.如圖，在乂8r中.點(diǎn)/）、F.、廠(chǎng)分別在4A、AC.AC上.連接/拓、EF,且DE〃BC.EF//AB.

AV）\

—若四邊形ACE/7的面積為16,則VADE的面積為（）

BD2

【答案】A

【分析】本題考查了平行四邊形的判定和面積計(jì)算，三角形的面積計(jì)算，由DE〃BC,q〃4?得到四邊

形BDE”為平行四邊形，利用平行四邊形BOE”與V4OE同高即可求解，利用平行四邊形與三角形同高找

到面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)“作FH_L4B于點(diǎn)”，

VDE//BC,EF//AB,

???四邊形8QQ為平行四邊形，

?/四邊形BDEF的面積為16,

???BDFH=T6

?一，

BD2

???20D2FH=,

AADFH=8,

Z.SAnF=-AD-FH=-xS=4,

故選：A.

2.如圖，在等腰梯形48CD中，A8平行8,對(duì)角線(xiàn)AC上8。于點(diǎn)0,AB+CO=24,AC=13,則

S/XABD_

【分析】作BE_L/X?于點(diǎn)E,3尸〃AC交QC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)入，從而構(gòu)建了平行四邊形AC4，則把

八6+6轉(zhuǎn)化到。〃邊上，利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求出應(yīng)：=O￡=E"=12,由勾股定理求出

CE的長(zhǎng)，從而CE=；(CD—A3)=5,然后求出48,8的值即可求解.

【詳解】解：如圖，作3EJ.DC于點(diǎn)E,〃人C交。C延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)凡

o

VACJ.BD,

:?BF上BD,

???四邊形48co是等腰梯形，

，AC=BD,

?：AB9CD,BF//AC,

.??四邊形ACFB是平行四邊形

AAB=CF,AC=BF,

：.DF=CD+CF=CD+AB=24,AC=BD=BF

BF1BD,

，V8￡)/是等腰直角三角形，

:.△BDE、△8FE是等腰直角一角形，

???BE=DE=EF=、24=12,

2

在RtACE中，根據(jù)勾股定理得：

CE=JBC2-BE?=V132-122=5，

*：CE=^(CD-AB)=5,

：.CD-AB=\(),又AB+CD=24,

.?.CD=V7,AB=7,

,/dABD與△BCD等高，

?“ABD_48_1

??二一而一斤

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰題型的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，在.A8C中，AB=AC,ADJ.BC于點(diǎn)D,延長(zhǎng)0C到點(diǎn)E,使CE=CO,過(guò)點(diǎn)E作所〃A。

交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,連接AE,DF.

A

⑴求證：四邊形正是平行四邊形：

⑵若比>=2,AE=5,直接寫(xiě)出C尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）CF=Vi3

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理

等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

（1）證心"。的"18（八5人），得石尸=AD,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)得￡>*=4笈=5,再由等腰三角形的性質(zhì)得CD=8O=2,則。石=2a）=4,進(jìn)

而由勾股定理得所=3,然后利用勾股定理求出。廠(chǎng)的長(zhǎng)即可.

【詳解】（1）證明：A。，

:.NFEC=NADC.

在△FCE與，ACZ）中，

NFEC=NADC

<CE=CD,

NFCE=/ACD

二.FCEqACD（ASA）,

:.EF=AD.

又「E尸〃40,

二?四邊形4DFE是平行四邊形；

（2）解：由（1）可知四邊形AQAE是平行四邊形，

.-.DF=AE=5,

vAB=AC,ADIBC,

:.CD=BD=2,

:.CE=CD=2,

:.DE=2CD=4,

\'EF//AD,

:.EF1BC,

/.ZDEF=90°.

:.EF=>]DF2-DE2=752-42=3*

:.CF=>ICE2+EF2=V22+32=V13-

4.如圖，在平行四邊形人8CQ中，〃是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E,使CE=1BC,連接OE,CF.

(1)求證：四邊形CED尸是平行四邊形：

(2)若48=4,AO=6,ZA=12(F,求OE的長(zhǎng)和平行四邊形ABCO的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵平行四邊形A8CO的面積為12",DE=yfi3

【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本感的關(guān)鍵.

(1)由“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等”的性質(zhì)推知4力BC,且AO=AC；然后根據(jù)中點(diǎn)的定義、結(jié)合

已知條件推知四邊形CEQ廠(chǎng)的對(duì)逅平行且相等，即四邊形CEQF是平行四邊形；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)”，構(gòu)造含30度角的直角和貪角,通過(guò)解直角，OC”

和任直角二。;店中運(yùn)用勾股定理來(lái)求線(xiàn)段E。的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)證明：在平行四邊形A8CO中，AD且AO=BC,

???尸是AD的中點(diǎn),

???DF=-AD,

2

?：CE=-BC,

2

???DF=CE,

VDF=CE,DF\CE,

???四邊形是平行四邊形;

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)兒

VAB|CD,Z4=120°,

/.ZZX?E=60°,

V/A?=4,

，CO=A8=4,

???在RtDC“中，NDCE=60°,

???/CD"=30。

???CH=2,

，DH=ylDC2-CH2=>/42-22=25/3,

平行四邊形ABCD的面積為BCDH=Af>DH=6x=126,

在平行四邊形CEDF中，CE=DF=^AD=3,

則E〃=CE-C”=3-2=1,

.?.在RtDHE中，

DE=^DH2+EH2='修可+12=V13.

5.如圖是由小正方形組成的7x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)./8C的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅

用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示.

圖1圖2

(1)在圖1中，先畫(huà)人8。的角平分線(xiàn)8。，再畫(huà)點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)3D軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)E：

(2)在圖2中，先在A(yíng)C上畫(huà)點(diǎn)尸，使乙A6f=45。，再畫(huà)YABP.

【答案】(1)圖見(jiàn)解析

(2)圖見(jiàn)解析

【分析】(1)取格點(diǎn)/，使A3=8E,取質(zhì)的中點(diǎn)G,連接8G,交AC于點(diǎn)O,8。即為.A8C的角平

分線(xiàn)，連接尸。并延長(zhǎng)，交A8于點(diǎn)￡,點(diǎn)E即為所求；

(2)取格點(diǎn)。連接08，AD,易得△A8/＞為等腰直角三角形，進(jìn)而得到48。=45。，則8D,4c的交點(diǎn)

即為點(diǎn)尸，取45的中點(diǎn)N,連接FN并倍長(zhǎng)，得到點(diǎn)M,連接M4,并借長(zhǎng)，得到點(diǎn)G,連接尸G,即可

得到Y(jié)AMG.

【詳解】(I)解：如圖所示，B。，點(diǎn)E即為所求：

由圖可知：AI3=yj32+42=5=I3F^

:G為■的中點(diǎn),

/.BGLAF,BG平分NA8C,

VACJ.BC,AC,BG交于前D,

:.DELAB,

???DE=CD,

乂BD=BD,

ARtBDE^RxBDC,

：.BE=BC,

???B。為CE的中垂線(xiàn)，BP：CE關(guān)于80對(duì)稱(chēng);

(2)如圖，點(diǎn)尸，Y/WHG即為所求.

，AB2+AD2=BD2^

:.△A3。為等腰直角三角形，

JZABF=45°,

由圖可知：AMN^-BFN,AM=AG,

：.BF=AM=AG,Z1AMN=￡BFN,

:?BF〃AM,即：BF〃AG,

???四邊形/WPG是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)刻度直尺格點(diǎn)作圖.涉及等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，平行四邊

形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

6.【問(wèn)題探究】如圖，六邊形A8CZ）斯的六個(gè)內(nèi)角均為120。，分別延長(zhǎng)CB、E4交于點(diǎn)G,得到

A8G.請(qǐng)判斷A8G的形狀，并證明你的結(jié)論.

【結(jié)論應(yīng)用】若AB=3,BC=5,8=4,DE=l,直接寫(xiě)出六邊形ABCDb的周長(zhǎng)為..

【答案】問(wèn)題探究：A8G為等邊三角形；理由見(jiàn)解析；結(jié)論應(yīng)用：22

【分析】問(wèn)題探究：根據(jù)/48。=/以尸=120。，得出/A8G=180°—NABC=60°,

ZBAG=1800-ZBAF=60°,證明NABG=NG=//MG,即可證明結(jié)論；

結(jié)論應(yīng)用：延長(zhǎng)。力，F(xiàn)E交于點(diǎn)、H,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NG=N”=60。，AB=AG=BG=3,

DE=DH=EH=\,證明四邊形CGH/為平行四邊形，得出G尸=C〃=5,FH=CG=8,求出

AF=GF-AG=5-3=2,EF=FH-EH=8-\=7,最后求出結(jié)果即可.

【詳解】解：?jiǎn)栴}探究：A8G為等邊三角形.理由如卜.：

???六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120。，

???/ABC=ZBAF=\20°.

/ABG=180°-ZABC=60°,/BAG=180°-/BAF=60°,

AZG=180°-60°-60°=60°,

：.ZABG=ZG=ZBAG,

???A8G為等邊三角形.

延長(zhǎng)CO,FE交于點(diǎn)H,如圖所示：

根據(jù)問(wèn)題探究可知，4DEH、A8G都是等邊三角形，

AZG=ZH=60°,AB=AG=BG=3,DE=DH=EH=\,

，CG=AC+AG=5+3=8,CH=CD+DH=4+]=5,

TZC=120°,

/.ZC+ZG=180°,ZC4-ZH=180°.

CH||GF,CG//FH,

???四邊形CGF”為平行四邊形，

GF=CH=5,FH=CG=8,

：.AF=GF-AG=5-3=2,EF=FH-EH=S-\=7,

:.六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為：

3+5+4+1+7+2=22.

故答案為：22.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定，鄰補(bǔ)角的

計(jì)算，解題的美犍是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握等邊三角形的判定方法.

7.如圖，點(diǎn)E為平行四邊形A8CO的邊A。上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，使BF=BE,連接氐并延長(zhǎng)，使

⑵求證：四邊形AF〃。為平行四邊形；

(3)連接交8c于點(diǎn)。，若OB=OE,FG=8,直接寫(xiě)出O"的長(zhǎng)度.

【答案】(1)NO￡C=40。

(2)見(jiàn)解析

(3)OH=2

【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行

四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(1)由平行四邊形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)得出答案即可；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得.?.AOuBC,AD//BC,/BAE=/BCD,再證8c是,￡FG的中位線(xiàn)，得

BC//FH,BC=FH,證出AO〃FH,AD=FH，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

(3)連接EH,CH,由三角形的中位線(xiàn)定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)解:四邊形A8CO為平行四邊形，

NBAE=NBCD=65。,AD//BC,

NDEC=/BCE,

NBCE=/BCD-ZDCE=65°-25°=40°,

:.NDEC=/BCE=4^；

(2)證明；四邊形A8CD為平行四邊形，

/.AD=BC，AD//BC,NAE=NBCD,

-BF=BE,CG=CE,

8C是sEPG的中位線(xiàn)，

:.BC〃FG,BC=-FG,

2

，為F、G的中點(diǎn),

:.FH=-FG

2t

:.BC//FH,BC=FH,

;.AD//FH,AD=FH，

，四邊形AFHO為平行四邊形;

:.CH=-EF,CH//EF,

2

EB=BF=-EF,

2

:.BE=CH,

???四邊形為平行四邊形,

:.OB=OC,OE=OH,

?.OB=OE,

：.OE=OH=OI3=OC=-BC,

2

BC=-FG=BC=-x8=4.

22

:.0H=-BC=2.

2

易錯(cuò)點(diǎn)三：沒(méi)有分類(lèi)討論

易錯(cuò)提醒：對(duì)于沒(méi)有給出圖形的題目，我們要根據(jù)題意自己畫(huà)白圖形，這時(shí)候就要注意分類(lèi)討論，要時(shí)刻

保持分類(lèi)討論的思想，具體問(wèn)題具體分析.

例5.在平行四邊形A8CO中，4)=8,AE平分N7RO交直線(xiàn)8C于點(diǎn)E，。尸平分N4OC交直線(xiàn)5c

于點(diǎn)尸，且所=2,則48的長(zhǎng)為()

A.3B.5C.2或3D.3或5

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角得出AB=8￡Cf=CD然后分類(lèi)討論即

可求解.

【詳解】解：如圖所示，平行四邊形ABCO中，4)=8,

ABC=AD=S,BC//AC,CD=AB,

：.ZDAE=/AEB,ZADF=ADFC.

?；AE平分/BAD交直線(xiàn)8c于力E，。廠(chǎng)平分ZADC交直線(xiàn)8c于點(diǎn)、F，

ZBAE=/OAE,ZADF=/CDF、

：./RAE=XAER,/CFD=NCDF,

AB=BE,CF=CD,

-EF=2,

BC=BE+CF-EF=2AB-EF=S,

???A8=5；

如圖，同理可得A4=BE,CF=CD,

BC=BE+CF+EF=2AB+EF=8,

EF=2,

，AB=3,

綜上分析可知，A8的長(zhǎng)為3或5,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，熟練掌握平行四

邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例6.平行四邊形A8CO中，AB=2,4c=3,AE_LBC交直線(xiàn)8c于E,若平行四邊形48CD的面積為

36,則CE的長(zhǎng)為.

【答案】2或4/4或2

【分析】分兩種情形考慮：如圖I中，當(dāng)高AE在平行四邊形內(nèi)部時(shí)，如圖2中，當(dāng)高在平行四邊形外

部時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖1中，當(dāng)高4E在平行四邊形內(nèi)部時(shí)，

圖1

:.3xAE=>/3>

:.AE=>/3,

在RhA8E中，

;A8=2,AE=5

:.BE=AB--AE2=^22-(V5)2=1?

工EC=CB-BE=3-\=2.

由第一種情況可知E8=1,

;.CE=EB+BC=\+3=4,

故答案為：2或4.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，有兩種情形，考慮

問(wèn)題要全面，屬于中考?？碱}型.

變式1.已知YABCO中，A3=8cm,KC=5cm,過(guò)點(diǎn)8作3〃_L8交CO所在的直線(xiàn)于H,若BH=4

cm.則DH=cm.

【答案】5或11

【分析】分類(lèi)討論：①〃在CD上，可求C”=3,從而可求，②，在DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，同理即可求解.

【詳解】解：①如圖，〃在C。上，

-.BHA.CD,

\2BHC907,

:.CH=ylBC2-I3H2

=后-不=3,

四邊形是平行四邊形,

,-.CD=AB=S,

:.DH=CD-CH=5；

②如圖，〃在QC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

由①同理可求：CH=3,

:.DH=CD+CH=\[^

綜上所述，。"=5cm或11cm,

故答案：5或11.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)，找出，的不同位置是解題的

關(guān)鍵.

變式2.已知在YA8CO中，N8和NC的平分線(xiàn)分別交直線(xiàn)A0交于點(diǎn)￡,F,若A8=5,EF=3,則八。

的長(zhǎng)為.

【答案】7

【分析】由題意知，分①E,“在線(xiàn)段4。上，如圖1；②E,“在直線(xiàn)40上，如圖2；③當(dāng)E尸一點(diǎn)在

線(xiàn)段AO上，一點(diǎn)在線(xiàn)段A。的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖3；三種情況求解；根據(jù)題意可知。?=。。=5,

AE=AB=5,然后根據(jù)線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷求解即可.

【洋解】解：由題意知，分三種情況求解：

①E,尸在線(xiàn)段A。上，如圖1,

圖1

由題意知8c77AO,/DCF=/BCF,ZABE=NCBE,CD=AB=5,

BC//AD,

...ZDFC=ZBCF,ZAEB=NCBE.

，ZDCF=ZDFC,ZABE=ZAEB，

:.DF=DC=5,AE=AB=5,

???EF=3,

，DE=DF-EF=2,

???AD=AE+DE=7；

②E,尸在直線(xiàn)A。上，如圖2,

E

圖2

同①，可知。尸=DC=5,AE=AB=5,

???EF=FA+AE>5>3,

???此情況不成立；

③當(dāng)E,F一點(diǎn)在線(xiàn)段力。上，一點(diǎn)在線(xiàn)段AO延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖3,

圖3

同①，可知。/=DC=5,AE=AB=5,

?.*EF=DF+DE>5>3,

工此情況不成立；

綜上所述，A。的長(zhǎng)為7,

故答案為:7.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)，等角對(duì)等邊等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于分情況討論求解.

變式3.過(guò)平行四邊形A8C。對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。作直線(xiàn)〃?，分別交直線(xiàn)A4于點(diǎn)E,交直線(xiàn)。。于點(diǎn)凡若

AB=3,AE=5,則。尸的長(zhǎng)是.

【答案】8或2/8或2

【分析】由題意易得E在CO的延長(zhǎng)線(xiàn)上或七在OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，所以。尸的長(zhǎng)不唯一，根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)分別求解即可.

【詳解】解：當(dāng)尸在。。的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖1所示，

FDC

ABE

圖1

.四邊形ABC力是平行四邊形，

AAO=CO,FC//AE.NF=NE,

在ZkAOE和.CO產(chǎn)中，

ZF=NE

，NFOC=NAOE

CO=AO

:..COF^AOE（AAS）

AE=CF=5

AB=CD=3

,-.BE=DF=5-3=2

:.DF=2

當(dāng)F在。。的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2所示,

同理可得：BE=5+3=8,

二.OF=8.

故答案為：8或2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等二:角形的判定以及性質(zhì)，解題時(shí)要注意E點(diǎn)的位置不唯一，

要分別討論，這是解題關(guān)鍵.

變式4.四邊形A8C。是平行四邊形，AB=5,-84。的平分線(xiàn)交直線(xiàn)8c于點(diǎn)E,若CE=2,則

Y/1BCQ的周長(zhǎng)為.

【答案】16或24/24或16

【分析】“J分兩種情況：當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段3c上時(shí)：當(dāng)￡點(diǎn)在線(xiàn)段8C延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)知

BC//AD,由平行線(xiàn)的性質(zhì)即角平分線(xiàn)的定義可得"必=/朋上，進(jìn)而可求解址:的長(zhǎng)，即可求得5C的

長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)可求解.

【詳解】解：當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段8c卜時(shí)，如圖:

四邊形A3CD為平行四邊形，

BC//AD,

:.ZBEA=ZEAD,

AE平分/4A。.

;.ZBAE=NEAD,

:.^BEA=ABAE,

?;AB=5,

..BE=5,

vCE=2,

:.BC=BE+CE=5+2=7,

丁?工行四邊形ABC。的周長(zhǎng)為：2x(5+7)=24,

當(dāng)E點(diǎn)在線(xiàn)段8c延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖:

.四邊形A3C。為平行四邊形,

BC//AD,

：.ZBEA=ZEAD,

??AE平分N84O，

:.NBAE=/EAD,

:.ZBEA=/BAE,

BE=AB?

AB=5，

BE=5,

CE=2,

；.BC=BE—CE=5—2=3,

??.*行四邊形A8CD的周長(zhǎng)為：2x(5+3)=16,

綜上，平行四邊形A8CO的周長(zhǎng)為16或24.

故答案為：16或24.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，證明BE=四求解3E的氏是解題的關(guān)鍵.

1.四邊形ABCO是平行四邊形，/W=12,/陰。的平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)￡,若CE=4,則四邊形

A5CD的周長(zhǎng)為.

【答案】56或40/40或56

【分析】可分兩種情況：當(dāng)E在線(xiàn)段8c上時(shí)，當(dāng)￡在線(xiàn)段3C延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)知

I3C//AD,由平行線(xiàn)的性質(zhì)即角平分線(xiàn)的

定義可得進(jìn)而可求解破的長(zhǎng)，即可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)可求解.

【詳解】解：當(dāng)E在線(xiàn)段上時(shí)，如圖，

???四邊形A8CZ）是平行四邊形,

???BC//AD,

???ZBE4=ZE4D,

「AE平分N8AD,

；?ZBAE=NEAD，

；?4AE=ZBEA,

：.BE=AB,

VAB=12.

???BE=12,

VCE=4,

:.BC=BE+CE=\2+4=[6,

???四邊形A8CO的周長(zhǎng)為：2x(12+16)=56；

當(dāng)E在線(xiàn)段8C延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，

???四邊形ABC。是平行四邊形,

，BC//AD,

JABEA=ZEAD,

*/AE平分2840，

:.5AE=NEAD，

/.ABAE=ZBEA^

/.BE=AB,

VAB=12>

；?BE=12,

VCE=4,

???BC=BE-CE=12-4=8,

???四邊形48co的周長(zhǎng)為：2x(12+8)=40；

綜上：四邊形48C。的周長(zhǎng)為56或40,

故答案為：56或40

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，證明跖=池求解跖的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

2.平行四邊形A8CO的周長(zhǎng)為16cm,NA8C的角平分線(xiàn)交邊A。所在直線(xiàn)于點(diǎn)E,且AE：ED=3：2,

則A3=—.

【答案】6cm或3cm/3cm或6cm

【分析】證A8E是等腰三角形，分兩種情況，分別求得答案即可.

圖1

解：分兩種情況：

①角平分線(xiàn)AO在YA8CQ內(nèi)部，如圖1,

??四邊形A8CO是平行四邊形，

/.AD//BC,AB=CD,AD=BC,

...人B+AO=gxl6=8（cm）,ZAEB=NCBE,

ZABC的平分線(xiàn)交人。所在的直線(xiàn)于點(diǎn)E，

:.ZABE=/CBE,

：.ZABE=ZAEB>

..AB=AE,

AE:ED=3:2,

/.AB:AD=3:5,

.:力8的長(zhǎng)為：8x|=3（cm）.

o

②角平分線(xiàn)AD在YABC。外部，如圖2,

"四邊形ABC。是平行四邊形，

AD//BC,AB=CD,AD=BC,

.?.AB+A￡）=4xl6=8（cm）,ZAEB=NCBE,

.ZABC的平分線(xiàn)交AD所在的直線(xiàn)于點(diǎn)E,

:.ZABE=ZCBE,

:.ZABE=ZAEB,

AB=AE,

AE:ED=3:2,

AB:AD=3:1,

3

.：人5的長(zhǎng)為：8x-=6(cm).

故答案為：6cm或女m.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).注意分類(lèi)討論.

3.在YA3C。中，—A8C的平分線(xiàn)交直線(xiàn)AD7點(diǎn)E,A6=4,DE=1,則YA88的周長(zhǎng)為

【答案】14或18

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，分類(lèi)討論：①當(dāng)/A4C的平分線(xiàn)在A(yíng)Q上，②當(dāng)

NA8C的平分線(xiàn)在4。的延長(zhǎng)線(xiàn)上，即可.

【詳解】???四邊形A8CO是平行四邊形，

AAD^BC,AB=DC,

/.〃\EB="：BE,

①當(dāng)/48C的平分線(xiàn)在A(yíng)O上，如圖I,

???/AAC的平分線(xiàn)交直線(xiàn)AO于點(diǎn)E,

工ZABE=NCBE,

ZAEB=ZABE,

:.AE=AB=4>

?/DE=l,

AD=5,

:.CABCD=4+4+5+5=18；

②當(dāng)/ABC的平分線(xiàn)在A(yíng)Z)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖2,

???AD〃BC,

：.AE//BC,

???ZAEB=NCBE,

???/ABC的平分線(xiàn)交直線(xiàn)A。于點(diǎn)E,

???拄BE=4CBE,

???ZAEB=ZABE,

/.AE=AB=4,

???DE=1,

???AD=3,

:.CABCD=4+4+3+3=14；

???平行四邊形A8CO的周長(zhǎng)為：14或18.

故答案為：14或18.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形和等腰三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊.

4.如圖，在平行四邊形A8CO中，ZD=50°,以點(diǎn)4為圓心，3c長(zhǎng)為半徑作弧，交直線(xiàn)A3與點(diǎn)￡連

接CE,則/力CE的度數(shù)為

【答案】65?；?55。

【分析】如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在5c上方時(shí)，先由等邊對(duì)等角得到NE=N4C￡,再由平行四邊形的性質(zhì)得

到八4〃CDN4=ND=50。，利用三角形內(nèi)角和定理求出NE的度數(shù)即可利用平行線(xiàn)的性質(zhì)得到答案；

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在下方時(shí)，先求出NABC,NBCD的度數(shù),進(jìn)而得到NEBC的度數(shù)，再根據(jù)等邊

對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出NBCE的度數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在8c上方時(shí)：由題意得，BE=BC,

???乙E=4BCE,

???四邊形48CO是平行四邊形，ZD=50°,

，AB//CD,NB=ND=50°,

:.ZE=4BCE=180°—4=65°,

2

Z￡>CE=ZE=65°,

E

圖1

如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F在BC下方時(shí),

???四邊形A8C7）是平行四邊形,

AZABC=ZD=50°,AD//BC,

：.ZEBC=130°,ZBCD=180°-ZD=130°,

???BE=BC、

180°-ZFBC_

，/BCE=NEZ—C9

2

，ZDCE=ZBCD+ZBCE=155,

綜上所述，的度數(shù)為65?；?55。,

故答案為：65?；?55。.

E圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行四邊形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.四邊形A8CO是平行四邊形，A8=8,NBA。的平分線(xiàn)交直線(xiàn)8C于點(diǎn)￡若CE=2,則8c的長(zhǎng)為—.

【答案】6或10/10或6

【分析】可分：當(dāng)后點(diǎn)在線(xiàn)段4C和當(dāng)￡點(diǎn)在線(xiàn)段6c延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)兩種情況，分別由平行四邊形的性質(zhì)知

BC//AD,由平行線(xiàn)的性質(zhì)即角平分線(xiàn)的定義可得N3E4=NBAE,進(jìn)而可求解8E的長(zhǎng)，即可求得4