2025年軍隊文職統(tǒng)一考試《專業(yè)科目》數(shù)學(xué)1試卷真題答案解析

年軍隊文職統(tǒng)一考試《專業(yè)科目》數(shù)學(xué)1試卷一、判斷題。判斷下列說法的正誤。1。（

）2若函數(shù)和在點均不連續(xù)，則在點一定不連續(xù)。（

）3函數(shù)和在上線性相關(guān)。（

）4設(shè)函數(shù)在上可積，則在上一定可導(dǎo)。（

）5對任意實二次型，一定存在正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn)形。（

）6若n階可逆矩陣為正定矩陣，則也是正定矩陣。（

）7任意矩陣均可經(jīng)過矩陣的初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。（

）8若兩事件相互獨立，則這兩事件一定互斥。（

）9直角坐標(biāo)系中，任意兩個正態(tài)分布的概率密度曲線都會相交。（

）10統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，但不是所有的統(tǒng)計量都是隨機(jī)變量。（

）二、單項選擇題。每小題后的四個備選答案中只有一個最符合題意的答案。11下列選項中，屬于二階微分方程的是（

）。A、B、C、D、12過點和軸的平面是（

）。A、B、C、D、13下列選項中，收斂的常數(shù)項級數(shù)是（

）。A、B、C、D、14向量場在點處的散度為（

）。A、3B、0C、D、15若行列式，則（

）。A、5或B、或1C、5或1D、或16向量空間的維數(shù)是（

）。A、0B、1C、2D、317設(shè)，為5階矩陣，且，，，則（

）。A、30B、15C、10D、618設(shè)向量在基，下的坐標(biāo)是，則在另一個基，下的坐標(biāo)是（

）。A、B、C、D、19任意一個連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一定滿足（

）。A、在定義域內(nèi)單調(diào)B、C、D、20數(shù)據(jù)集的箱線圖是基于以下5個數(shù)的圖形概括：最小值，最大值，第一四分位數(shù)，第三四分位數(shù)和（

）。A、平均數(shù)B、中位數(shù)C、眾數(shù)D、四分位數(shù)間距21當(dāng)時，是（

）的高階無窮小。A、B、C、D、22極限（

）。A、1B、2C、3D、523方程在內(nèi)（

）。A、無實根B、有唯一實根C、有兩個實根D、有三個實根24函數(shù)，在處（

）。A、不連續(xù)也不可導(dǎo)B、不連續(xù)但可導(dǎo)C、連續(xù)且可導(dǎo)D、連續(xù)但不可導(dǎo)25若是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，則（

）。A、B、C、3D、26極限（

）。A、1B、EC、D、27關(guān)于曲線的漸近線，下列結(jié)論正確的是（

）。A、僅有水平漸近線B、僅有鉛直漸近線C、既有水平漸近線，也有鉛直漸近線D、無漸近線28若函數(shù)在上連續(xù)，且，（

）。A、B、C、D、29設(shè)，，，則（

）。A、B、C、D、30若，，為兩兩垂直的單位向量，（

）。A、B、C、2D、31點（2，3，1）在直線上的投影點是（

）。A、B、C、D、32曲面上平行于平面的切平面是（

）。A、B、C、D、33極限（

）。A、B、C、1D、034設(shè)函數(shù)，則（

）。A、，都不存在B、不存在，存在C、存在，不存在D、，都存在35函數(shù)在點（0，1）處方向?qū)?shù)的最大值是（

）。A、10B、6C、5D、436設(shè)函數(shù)的全微分，則點（0，1）（

）。A、不是的連續(xù)點B、不是的極值點C、是的極大值點D、是的極小值點37二次積分（

）。A、B、C、D、38設(shè)閉區(qū)域，則（

）。A、B、C、D、39設(shè)是右半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點為（1，2），終點為（3，4），則曲線積分（

）。A、0B、C、D、40冪函數(shù)的收斂半徑是（

）。A、B、1C、2D、341設(shè)行列式，為元素的余子式，則（

）。A、6B、4C、2D、42設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中為3階可逆矩陣，則（

）。A、B、C、D、43設(shè)3階矩陣的特征值為1，，5，是的伴隨矩陣，是3階單位矩陣，則（

）。A、B、0C、5D、1044設(shè)矩陣，，則這兩個矩陣（

）。A、相似但不合同B、既相似又合同C、不相似但合同D、既不相似又不合同45下列矩陣中，不能相似對角化的是（

）。A、B、C、D、46下列矩陣中，與矩陣等價的是（

）。A、B、C、

D、47下列選項中，與不是同解方程組的是（

）。A、B、C、D、48設(shè)為4階矩陣，且，是的伴隨矩陣。若交換的第1列與第3列得到矩陣，則（

）。A、64B、C、128D、49設(shè)矩陣，則實二次型的矩陣為（

）。A、B、C、D、50實二次型的秩為（

）。A、0B、1C、2D、351設(shè)，為兩隨機(jī)事件，已知，，，則（

）。A、0.7B、0.5C、0.4D、0.352某保險公司有兩類保單，A類保單持有人發(fā)生理賠的概率為0.1，B類保單持有人發(fā)生理賠的概率為0.05。該公司60%的客戶只持有A類保單，40%的客戶只持有B類保單?，F(xiàn)隨機(jī)抽取一名客戶，發(fā)現(xiàn)其發(fā)生了理賠，則該客戶持有的是A類保單的概率為（

）。A、B、C、D、53設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）。A、B、C、D、54設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，現(xiàn)對進(jìn)行9次獨立觀測，以表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，則（

）。A、2B、6C、12D、3855設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立，且，，則（

）。A、6B、36C、76D、8456設(shè)隨機(jī)變量，，···，，···相互獨立，且同服從概率密度為的指數(shù)分布，則當(dāng)時，依概率收斂于（

）。A、3B、9C、18D、2757設(shè)，為隨機(jī)變量，則下列命題中與等價的是（

）。（1）與不相關(guān)；（2）；（3）；（4）與相互獨立。A、（1）（2）B、（1）（2）（3）C、（2）（3）（4）D、（1）（2）（3）（4）58設(shè)有一組容量為14的樣本值如下（已排序）：1，5，11，14，18，24，25，34，46，53，55，58，60，64，則樣本分位數(shù)是（

）。A、11B、12.5C、14D、3459設(shè)樣本，，，，來自總體，若統(tǒng)計量服從t分布，則常數(shù)（

）。A、B、C、D、60設(shè)總體服從上的均勻分布，現(xiàn)從中抽取容量為1的樣本，則的一個無偏差估計量是（

）。A、B、C、D、61由曲線，過上點（1,1）處的切線和軸所圍成的平面圖形記為，則繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是（

）。A、B、C、D、62是由曲面與所圍成立體的表面外側(cè)，則曲面積分（

）。A、0B、C、D、63如果級數(shù)收斂，則級數(shù)（

）。A、絕對收斂B、條件收斂C、無法確定其斂散性D、發(fā)散64n階行列式（

）。A、B、C、D、65設(shè)矩陣，為可逆矩陣。若，則（

）。A、B、C、D、66設(shè)中的兩個基Ⅰ和Ⅱ分別為Ⅰ：，，，；Ⅱ：，，，；則由基Ⅰ到基Ⅱ的過渡矩陣為（

）。A、B、C、D、67元實二次型正定的充分必要條件是（

）。A、存在一個，使得B、負(fù)慣性指數(shù)為C、D、存在階可逆矩陣，68設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度滿足，是的分布函數(shù)，則對于任意實數(shù)，有（

）。A、B、C、D、69設(shè)樣本，，···，來自總體，為樣本均值，為樣本方差，則下列結(jié)論正確的是（

）。A、B、C、D、70某復(fù)雜系統(tǒng)由100個相互獨立起作用的部件組成，系統(tǒng)正常運轉(zhuǎn)至少需要85個部件工作正常：若系統(tǒng)運行期間每個部件損杯的概率為，則系統(tǒng)正常運轉(zhuǎn)的概率約為（

）。參考數(shù)據(jù)：；A、0.9525B、0.7123C、0.8517D、0.56582025年軍隊文職統(tǒng)一考試《專業(yè)科目》數(shù)學(xué)1試卷（解析）1根據(jù)洛必達(dá)法則，當(dāng)分子分母同時趨近于或無窮時，對分子分母分別求導(dǎo)來計算極限。，而，當(dāng)時，分母趨近于0，分子趨近于2，該極限不存在，所以兩者不相等。故表述錯誤。2例如，，和在處均不連續(xù)，但在處連續(xù)。故表述錯誤。3若兩個函數(shù)線性相關(guān)，則存在不全為0的常數(shù)，，使得對任意恒成立。假設(shè)，則，即，對于很多值，該等式不成立，所以它們線性無關(guān)。故表述錯誤。4函數(shù)在上可積，只能說明定積分存在，但不能保證在上一定可導(dǎo)。例如狄利克雷函數(shù)在上可積，但變上限積分不可導(dǎo)。故表述錯誤。5對于實對稱二次型，根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)，一定存在正交變換，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形。故表述正確。6若n階可逆矩陣為正定矩陣，則的特征值全為正，的特征值為的特征值的倒數(shù)，也全為正，所以也是正定矩陣。故表述正確。7只有可逆矩陣才能經(jīng)過初等行變換化為標(biāo)準(zhǔn)形（單位矩陣），并不是任意矩陣都可以。故表述錯誤。8相互獨立的事件不一定互斥，例如擲一枚骰子，事件“點數(shù)為奇數(shù)”和“點數(shù)小于4”是相互獨立的，但不是互斥的。故表述錯誤。9正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線是以均值為對稱軸的鐘形曲線，不同參數(shù)的正態(tài)分布曲線不會相交。故表述錯誤。10統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，但不是所有的統(tǒng)計量都是隨機(jī)變量，例如樣本容量是一個確定的常數(shù)，不是隨機(jī)變量。故表述正確。11二階微分方程是指方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù)。選項A：，其中最高階導(dǎo)數(shù)是，是二階導(dǎo)數(shù)，所以該方程是二階微分方程。選項B：，方程中最高階導(dǎo)數(shù)是，是一階導(dǎo)數(shù)，所以該方程是一階微分方程。選項C：，方程中最高階導(dǎo)數(shù)是，是三階導(dǎo)數(shù)，所以該方程是三階微分方程。選項D：，方程中最高階導(dǎo)數(shù)是，是一階導(dǎo)數(shù)，所以該方程是一階微分方程。故正確答案為A。12過軸的平面方程可設(shè)為（因為平面過軸，所以方程中不含項），將點代入可得，即，不妨令，則，所以平面方程為，即。故正確答案為B。13選項A：是調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。選項B：，根據(jù)p—級數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，該級數(shù)發(fā)散。選項C：是一個等比級數(shù)，公比為，等比級數(shù)當(dāng)公比大于1時發(fā)散。選項D：，這是一個裂項相消的級數(shù)，其前項和，當(dāng)時，，所以該級數(shù)收斂。故正確答案為D。14向量場的散度為。對于本題，，；，；，。在點處，。故正確答案為A。15按三階行列式的展開法則，原行列式可展開為：解得或。故正確答案為D。16由可得，則向量空間中的向量可表示為。可見向量空間的一組基為，所以維數(shù)是2。故正確答案為C。17因為，所以。又因為，，所以。故正確答案為A。18已知向量在基，下的坐標(biāo)是，則。設(shè)在基，下的坐標(biāo)為，則有。所以可得方程組，解得，即坐標(biāo)為。故正確答案為A。19對于連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，根據(jù)其性質(zhì)，有，它表示隨機(jī)變量在整個取值區(qū)間上的概率總和為1。選項A，概率密度函數(shù)不一定在定義域內(nèi)單調(diào)。選項B，不一定等于1。選項C，的值可以大于1，只是在某區(qū)間上的積分值表示概率，概率值在之間。故正確答案為D。20箱線圖是基于五個關(guān)鍵數(shù)值來繪制的，分別是最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)和最大值。中位數(shù)將數(shù)據(jù)集分為上下兩部分，能更好地反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，是箱線圖的重要組成部分。故正確答案為B。21當(dāng)時，利用等價無窮小替換，，而。選項A，，與相比，是的低階無窮小。選項B，，是同階無窮小。選項C，，與相比，是的低階無窮小。選項D，，與相比，是的低階無窮小。故正確答案為B。22當(dāng)時，是三個項中增長速度最快的，所以。因為當(dāng)時，，，所以，則原式極限為5。故正確答案為D。23設(shè)，，。函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，根據(jù)零點存在定理，在內(nèi)至少存在一個實根。又因為，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減。所以函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個實根。故正確答案為B。24連續(xù)性：（因為有界，，有界函數(shù)乘以無窮小量為無窮小量），且，所以函數(shù)在處連續(xù)?？蓪?dǎo)性：（理由同上），所以函數(shù)在處可導(dǎo)。故正確答案為C。25先求一階導(dǎo)數(shù)：。再求二階導(dǎo)數(shù)：。將代入可得：。故正確答案為B。26，則。當(dāng)時，（洛必達(dá)法則）。所以，即。故正確答案為D。27鉛直漸近線：當(dāng)分母為0時，即，，所以是鉛直漸近線。水平漸近線：因為當(dāng)時，，所以是水平漸近線。故正確答案為C。28設(shè)（為常數(shù)），則。那么。。所以，解得。故正確答案為A。29對于，因為被積函數(shù)是奇函數(shù)（是奇函數(shù)，和是偶函數(shù)，奇函數(shù)乘偶函數(shù)為奇函數(shù)），且積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，所以。對于，將其拆分為兩項：，對于，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，根據(jù)上述定積分性質(zhì)，。對于，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則。由定積分基本運算，所以，即。對于，（奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分為0），，所以。故正確答案為C。30根據(jù)向量模的計算公式，。因為，，為兩兩垂直的單位向量，所以，。則，所以。故正確答案為B。31設(shè)，則直線上的點坐標(biāo)為。已知點（2，3，1），設(shè)投影點坐標(biāo)為。那么向量。直線的方向向量。因為，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)。即，解得。當(dāng)時，投影點坐標(biāo)為。故正確答案為C。32首先設(shè)切點坐標(biāo)為。已知曲面，令。則，，。所以曲面在點處的法向量。然后，因為切平面平行于平面，平面的法向量為。由于兩平面平行，則它們的法向量平行，所以。由可得；由可得。因為，把，代入可得。切平面的法向量為，且過點。根據(jù)點法式方程，可得，化簡得。故正確答案為D。33令，當(dāng)，時，。則原式可化為，這是一個重要極限，其值為。故正確答案為B。34先求，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義：，當(dāng)和時極限不相等，所以不存在。再，，當(dāng)和時極限不相等，所以不存在。故正確答案為A。35首先求函數(shù)的梯度，，其中，。在點（0，1）處，梯度為。方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模，。故正確答案為D。36由全微分，可知，。分別求二階偏導(dǎo)數(shù)，，，。在點（0，1）處，，，。計算，且，所以點（0，1）是的極小值點。故正確答案為D。37先交換積分次序，原積分區(qū)域為，，交換后為，。則積分變?yōu)椤６?。故正確答案為C。38利用對稱性，對于，由于區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以。對于，由于區(qū)域關(guān)于面對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以。則，球體的體積為（半徑），所以。故正確答案為D。39設(shè)，。計算。計算。因為，所以曲線積分與路徑無關(guān)，選取從（1，2）到（3，2）再到（3，4）的折線進(jìn)行積分。從（1，2）到（3，2），，，。從（3，2）到（3，4），，，。。故正確答案為B。40令，則原冪級數(shù)變?yōu)?。對于冪級?shù)，其收斂半徑，這里，。則，即的收斂半徑為2，而，所以的收斂半徑為。故正確答案為A。41。。所以。故正確答案為D。42由可得。那么，以此類推。計算（單位矩陣）。所以，則。所以。故正確答案為D。43已知3階矩陣的特征值為1，，5，根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)，的特征值為（為的特征值）。先求，則的特征值為，，。那么的特征值為，，。所以。故正確答案為B。44相似矩陣的定義：若存在可逆矩陣，使得，則與相似。合同矩陣的定義：若存在可逆矩陣，使得，則與合同。先求矩陣的特征值，，特征值為，，。矩陣的特征值為，4，2。因為與的特征值不同，所以與不相似。又因為與都是實對稱矩陣，且正負(fù)慣性指數(shù)相同（的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1；的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為1），所以與合同。故正確答案為C。45選項A：該矩陣是上三角矩陣，特征值為1，4，0。對于，代入特征方程，可得，通過求解可得基礎(chǔ)解系只有1個向量，而矩陣是3階的，所以該矩陣不能相似對角化。選項B：計算其特征多項式，可得特征值為，，，對于每個特征值，代入特征方程都能求出相應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，且特征向量的個數(shù)等于矩陣的階數(shù)，所以該矩陣可以相似對角化。選項C：這是一個上三角矩陣，特征值為1，1，5，對于（二重特征值），代入特征方程，可得，通過求解可得基礎(chǔ)解系有2個線性無關(guān)的向量，再加上對應(yīng)的特征向量，一共有3個線性無關(guān)的特征向量，所以該矩陣可以相似對角化。選項D：計算其特征多項式，可得特征值為，，，對于每個特征值，代入特征方程都能求出相應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，且特征向量的個數(shù)等于矩陣的階數(shù)3，所以該矩陣可以相似對角化。故正確答案為A。46原矩陣，通過初等行變換可得其秩為3。選項A：，其秩為1，與原矩陣秩不同，不等價。選項B：，其秩為2，與原矩陣秩不同，不等價。選項C：，其秩為3，且可以通過初等變換得到原矩陣（例如先將第二行乘以2，再將第一行乘以加到第二行等一系列初等變換），所以該矩陣與原矩陣等價。選項D：，其秩為3，但無法通過初等變換得到原矩陣，不等價。故正確答案為C。47原方程組為。選項A：由原方程組的前三個方程可得，所以該選項與原方程組同解。選項B：將原方程組的第一個方程兩邊同時乘以2得，再與原方程組的第二個方相減可得，而該選項中的無法由原方程組變形得到，所以該選項與原方程組不同解。選項C：由原方程組的第二個方程移項可得，再結(jié)合原方程組的第一個方程，即，代入可得，化簡得，即，所以該選項與原方程組同解。選項D：由原方程組的第二個方程移項可得，再結(jié)合原方程組的第三個方程，即，代入可得，化簡得，所以該選項與原方程組同解。故正確答案為B。48已知為4階矩陣，，則。交換的第1列與第3列得到矩陣，則。所以。故正確答案為B。49將展開，可得，所以實二次型的矩陣為。故正確答案為C。50將展開得：，其矩陣為，通過初等行變換可得該矩陣的秩為3，所以二次型的秩為3。故正確答案為D。51由，根據(jù)條件概率公式可得：。已知，，代入上式可得：，解得。故正確答案為D。52，，，。由全概率公式可得：。再由貝葉斯公式可得：。故正確答案為B。53，，則，，所以。故正確答案為D。54求取值大于1的概率，根據(jù)概率密度函數(shù)求概率，。對進(jìn)行積分，（C為常數(shù)）。則。確定的分布并求和，因為表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，進(jìn)行了9次獨立觀測，所以。對于二項分布，期望，方差。這里，，所以，。計算，根據(jù)方差公式，可得。將，代入，。故正確答案為D。55因為與相互獨立，所以。，，則，。。所以。故正確答案為C。56對于指數(shù)分布，，，所以依概率收斂于18。故正確答案為C。57等價于與不相關(guān)，即。，所以。，當(dāng)時，。但是不能推出與相互獨立，相互獨立能推出，但反之不成立。故正確答案為B。58，，向上取整為4，所以為第4個數(shù)，即14。故正確答案為C。59已知，，，，來自總體，則，。要使服從t分布，則。故正確答案為A。60已知總體服從上的均勻分布，則。對于選項A，；對于選項B，；對于選項C，；對于選項D，。但選項C不是統(tǒng)計量（因為含有未知參數(shù)），所以的一個無偏估計量是。故正確答案為B。61首先對求導(dǎo)，，在點（1,1）處的切線斜率為2，切線方程為，即。所求旋轉(zhuǎn)體體積為曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積減去切線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為；切線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為。所以繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積是。故正確答案為A。62設(shè)是由所圍成的閉區(qū)域，根據(jù)