湖北省2025屆高三八校三統(tǒng)聯(lián)考數(shù)學試題解析板

共共4頁，第頁湖北省2025屆八校三統(tǒng)聯(lián)考高三數(shù)學試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘?！镒？荚図樌镒⒁馐马棧?、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試結(jié)束后，請將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若a,b∈R,則“a+b>4”是“a,b中至少有一個大于2”的(A)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析當a+b>4時,假設(shè)a,b都不大于2,即a≤2,b≤2,則a+b≤4,這與a+b>4矛盾,所以“a+b>4”是“a,b中至少有一個大于2”的充分條件;反之,當a,b中至少有一個大于2時,a+b>4不一定成立,如a=3,b=1時,a+b=4,所以“a+b>4”不是“a,b中至少有一個大于2”的必要條件。故選A。2.鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法,在如圖所示的模型中,已知人眼距離地面高度h=1.5m,某建筑物高h1=4.5m,將鏡子(平面鏡)置于平地上,人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置,測量人與鏡子間的距離a1=1.2m,將鏡子后移am,重復前面的操作,測量人與鏡子間的距離a2=3.2m,則a=(A)A.6 B.5 C.4 D.3解析如圖,設(shè)建筑物最高點為A,建筑物底部為O,第一次觀察時鏡面位置為B,第一次觀察時人眼睛位置為C,第二次觀察時鏡面位置為D,設(shè)O到B之間的距離為a0m,由光線反射性質(zhì),得∠ABO=∠CBD,所以tan∠ABO=tan∠CBD,即?1a0=?a1①,同理可得?1a0+a=?a2②,由①②可得a0+a3.設(shè)復數(shù)z滿足|z-2i|=1,在復平面內(nèi)z對應(yīng)的點到原點距離的最大值是(D)A.1 B.3 C.5 D.3解析解法一:由題意可知,在復平面內(nèi)復數(shù)z對應(yīng)的點為復平面內(nèi)一動點到定點(0,2)的距離為1的點的集合,即以(0,2)為圓心,1為半徑的圓,圓心(0,2)到原點的距離為2,所以圓上任一點到原點的距離的最大值為2+1=3。故選D。解法二:設(shè)復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則x2+(y-2)2=1,所以-1≤y-2≤1,即1≤y≤3,所以x2+y2=4y-3≤9,所以x2+y2≤3,即在復平面內(nèi)z對應(yīng)的點到原點距離的最大值是4.某學校于3月12日組織師生舉行植樹活動,購買垂柳、銀杏、側(cè)柏、海桐四種樹苗共計1200棵,所占比例如圖所示。高一、高二、高三年級報名參加植樹活動的人數(shù)分別為600,400,200,若每種樹苗均按各年級報名人數(shù)的比例進行分配,則高三年級應(yīng)分得的側(cè)柏的數(shù)量為(C)A.34 B.46 C.50 D.70解析由扇形圖知,購買的1200棵樹苗中,側(cè)柏的數(shù)量為1200×25%=300,依題意,高一、高二、高三分得的側(cè)柏的棵數(shù)之比為600∶400∶200=3∶2∶1,所以高三年級應(yīng)分得的側(cè)柏的棵數(shù)為13+2+1×300=50。故選C5.在平面直角坐標系中,某菱形的一組對邊所在直線的方程分別為x-2y+1=0和x-2y+3=0,另一組對邊所在的直線方程分別為3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0,則|c1-c2|=(B)A.23 B.25 C.2 D.4解析因為菱形四條邊都相等,所以每條邊上的高也相等,且菱形對邊平行,直線x-2y+1=0和x-2y+3=0之間的距離為|1?3|12+(?2)2=25,直線3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0之間的距離為|c1?c2|6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S10=20,S20=10,則S30=(C)A.0 B.-10 C.-30 D.-40解析由等差數(shù)列{an}的前n項和的性質(zhì)可得S10,S20-S10,S30-S20成等差數(shù)列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以2×(10-20)=20+S30-10,解得S30=-30。故選C。7.若不等式xex-a≥lnx+x-1恒成立,則實數(shù)a的最大值為(B)A.1 B.2 C.3 D.4解析因為xex-a≥lnx+x-1,所以elnx+x-a≥lnx+x-1,令t=lnx+x,則et-a≥t-1恒成立,則a≤et-t+1恒成立,令φ(t)=et-t+1,則φ'(t)=et-1,當t∈(-∞,0)時,φ'(t)<0;當t∈(0,+∞)時,φ'(t)>0,所以φ(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以φ(t)min=φ(0)=2,所以a≤2,故a的最大值為2。故選B。8.某學校為了解學生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生,則不同的抽樣結(jié)果共有(D)A.C40045×C200C.C40030×C200解析根據(jù)分層隨機抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根據(jù)組合數(shù)公式和分步乘法計數(shù)原理,不同的抽樣結(jié)果共有C400二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知等邊三角形ABC內(nèi)接于☉O,D為線段OA的中點,E為BC的中點,則BD=(AC)A.23BA+C.BA+13解析如圖所示,則BD=BA+AD=BA+110.已知直線l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下結(jié)論正確的是(ABD)A.不論a為何值時,l1與l2都互相垂直B.當a變化時,l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1),B(-1,0)C.不論a為何值時,l1與l2都關(guān)于直線x+y=0對稱D.如果l1與l2交于點M,O為坐標原點,則|MO|的最大值是2解析對于A,a×1+(-1)×a=0恒成立,l1與l2互相垂直恒成立,故A正確。對于B,直線l1:ax-y+1=0,當a變化時,x=0,y=1恒成立,所以l1恒過定點A(0,1);l2:x+ay+1=0,當a變化時,x=-1,y=0恒成立,所以l2恒過定點B(-1,0),故B正確。對于C,在l1上任取點(x,ax+1),關(guān)于直線x+y=0對稱的點的坐標為(-ax-1,-x),代入l2:x+ay+1=0,得等式左邊不等于0,故C不正確。對于D,聯(lián)立ax?y+1=0,x+ay+1=0,解得x=?a?1a2+1,y11.已知a>b>1,e為自然對數(shù)的底數(shù),則下列不等式一定成立的是(ACD)A.aea>beb B.alnb>blnaC.alna>blnb D.bea>aeb解析設(shè)f(x)=xex,x>1,則f'(x)=(x+1)ex>0在(1,+∞)上恒成立,故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故f(a)>f(b),即aea>beb,故A正確。設(shè)g(x)=lnxx,x>1,則g'(x)=1?lnxx2,易知函數(shù)g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,故當1<b<a<e時,g(a)>g(b),即lnaa>lnbb,故alnb<blna,故B錯誤。設(shè)h(x)=xlnx,x>1,則h'(x)=lnx+1>0在(1,+∞)上恒成立,故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,故h(a)>h(b),即alna>blnb,故C正確。設(shè)k(x)=exx,x>1,則k'(x)=ex(x?1)x2>0在(1,+∞)上恒成立,故函數(shù)k(x)單調(diào)遞增,故k(a)>k(三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.若函數(shù)y=f(x)的圖象過點(1,1),則函數(shù)y=f(4-x)的圖象一定經(jīng)過點(3,1)。

解析由于函數(shù)y=f(4-x)的圖象可以看作y=f(x)的圖象先關(guān)于y軸對稱,再向右平移4個單位長度得到,而點(1,1)關(guān)于y軸對稱的點為(-1,1),再將此點向右平移4個單位長度,所以函數(shù)y=f(4-x)的圖象過定點(3,1)。13.已知橢圓x24+y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作直線交橢圓于A,B兩點,若F2為線段AB的中點,則△AF1B的面積為

3解析由題意可知F1(-3,0),F2(3,0),因為點F2為線段AB的中點,所以AB⊥F1F2,所以|AB|=2b2a=1,14.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀,其射擊一次的優(yōu)秀率為40%。

解析由分布列的性質(zhì),得P(X≥9)=a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射擊一次的優(yōu)秀率為40%。四、解答題：本題共5小題，共77分15.（本小題滿分15分）已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0;（7分）(2)若不等式f(x)>b的解集為(-1,3),求實數(shù)a,b的值。（8分）解(1)由題意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-23<a<3+23。所以所求不等式的解集為{a|3-23<(2)因為f(x)>b的解集為(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的兩根為-1,3,所以(?1)+3=a(6?a)3,(?1)×3=?6?b3,解得a16.（本小題滿分15分）在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cosCsin(A-B)=cosBsin(C-A)。(1)求tanA的最小值;（7分）(2)若tanA=2,a=45,求c。（8分）解(1)由已知得cosC(sinAcosB-cosAsinB)=cosB(sinCcosA-cosCsinA),又sin(B+C)=sinA,所以整理得2cosCsinAcosB=cosAsinA,因為sinA>0,所以2cosCcosB=cosA。又cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC,所以sinBsinC=3cosCcosB,即tanBtanC=3。tanA=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC?1=tanB+tanC2≥tanBtanC=3,(2)因為tanA=2,所以tanB+tanC=4,又tanBtanC=3,所以tanC=1或tanC=3,當tanC=1時,sinC=22,由正弦定理,得c=asinAsinC=52;當tanC=3時,sinC=31010,由正弦定理,得c=asinA17.（本小題滿分15分）如圖,四棱錐P?ABCD的底面為菱形,∠ABC=π3,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是線段PB的中點,G,H分別是線段PC上靠近P,C(1)求證:平面AEG∥平面BDH;（7分）(2)求點A到平面BDH的距離。（8分）解(1)證明:如圖,連接AC,交BD于點O,連接OH,在△PBH中,E,G分別為PB,PH的中點,所以EG∥BH,又EG?平面BDH,BH?平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因為AG,EG?平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。（7分）(2)記點A到平面BDH,點H到平面ABD的距離分別為hA,hH。S△ABD=12×2×2×32=3。因為PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=13CP,所以hH=13PA=23。在△PBC中,PB=PC=22,BC=2,所以cos∠PCB=122=24。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=329,則BH=423,同理可得DH=423。在△BDH中,BH=DH=423,BD=23,所以S△BDH=18.（本小題滿分16分）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E為線段A1B1的中點,F為線段AB的中點。(1)求點B到直線AC1的距離;（8分）(2)求直線FC到平面AEC1的距離。（8分）解以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E1,12,0,F1,12,1,所以AB=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),(1)取a=AB=(0,1,0),u=AC1AC1=33(-1,1,-1),則a2=1,a·u=33。所以點B(2)因為FC=EC1=?1,12,0,所以FC∥EC1,又EC1?平面AEC1,FC?平面AEC1,所以FC∥平面AEC1。所以點F到平面AEC1的距離為直線FC到平面AEC1的距離。設(shè)平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則n·AE=0,n·EC1=0,所以12y?z=0,?x+12y=0,所以x=z,y=2z。取z=1,則x=119.（本小題滿分16分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},其前n項和為Sn,滿足2Sn=an+2-6。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;（8分）(2)記bm為數(shù)列{Sn}在區(qū)間(am,am+2)中最大的項,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。（8分）解(1)設(shè){an}的公比為q,q>0。因為2Sn=an+2-6,所以當n=1時,2S1=a3-6,當n=2時,2S2=a4-6,兩式相減