押江蘇卷6 圖形的變換（解析版）-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（江蘇卷）

圖形的變換1、圖形的平移2、翻折（軸對(duì)稱）3.圖形的旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱）1、圖形的平移（1）平移的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)而達(dá)到另一個(gè)位置，這種圖形的平行移動(dòng)簡稱為平移。（2）平移的兩個(gè)要素：①平移方向；②平移距離。（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角一個(gè)圖形經(jīng)過平移后得到一個(gè)新的圖形，這個(gè)新圖形與原圖形是能夠互相重合的全等形，我們把互相重合的點(diǎn)稱為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，互相重合的線段稱為對(duì)應(yīng)線段，互相重合的角稱為對(duì)應(yīng)角。（4）平移的性質(zhì)圖形平移的實(shí)質(zhì)是圖形上的每一點(diǎn)都沿著同一個(gè)方向移動(dòng)了相同的距離。平移后的圖形與原圖形①對(duì)應(yīng)線段平行（或在同條一直線上）且相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等；③圖形的形狀與大小都不變（全等）；④圖形的頂點(diǎn)字母的排列順序的方向不變。2、翻折（軸對(duì)稱）把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱點(diǎn).（1）軸對(duì)稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等；（2）對(duì)稱軸是一條直線，而不是線段或射線；（3）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的位置固定后，其對(duì)稱軸只有一條；（4）對(duì)稱點(diǎn)通常在對(duì)稱軸的兩側(cè)，對(duì)稱軸上的點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是它本身.（5）軸對(duì)稱的性質(zhì)①成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；②成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分；③成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱.3.圖形的旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱）（1）中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．（2）中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，涉及到兩個(gè)圖形，如圖所示，△ABC與△A’B’C’關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱.（3）中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別中心對(duì)稱軸對(duì)稱有一個(gè)對(duì)稱中心有一條對(duì)稱軸圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°圖形沿對(duì)稱軸翻折旋轉(zhuǎn)后與另一個(gè)圖形重合翻折后與另一個(gè)圖形重合聯(lián)系都是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，并且變換前后的兩個(gè)圖形全等（4）中心對(duì)稱的性質(zhì)①中心對(duì)稱的性質(zhì)：中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換，具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.②確定對(duì)稱中心的方法：連接任意一組對(duì)稱點(diǎn)，連線的中點(diǎn)就是對(duì)稱中心；連接任意兩組對(duì)稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.1．（2022?連云港）下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判定即可得出答案．【解答】解：A．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A與點(diǎn)A2關(guān)于y軸對(duì)稱．已知點(diǎn)A1（1，2），則點(diǎn)A2的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）【分析】關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)A1關(guān)于x軸對(duì)稱，已知點(diǎn)A1（1，2），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2），∵點(diǎn)A與點(diǎn)A2關(guān)于y軸對(duì)稱，∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)的變化規(guī)律，不要混淆．3．（2022?連云港）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點(diǎn)A、B、D恰好都落在點(diǎn)O處，且點(diǎn)G、O、C在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC＝22OF；⑤△A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分析判斷①；通過點(diǎn)G為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，設(shè)AD＝2a，AB＝2b，利用勾股定理分析求得AB與AD的數(shù)量關(guān)系，從而判斷②；利用相似三角形的判定和性質(zhì)分析判讀GE和DF、OC和OF的數(shù)量關(guān)系，從而判斷③和④；根據(jù)相似三角形的判定分析判斷⑤．【解答】解：由折疊性質(zhì)可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故①正確；設(shè)AD＝2a，AB＝2b，則DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得：b=2a∴AB=2AD在Rt△COF中，設(shè)OF＝DF＝x，則CF＝2b﹣x＝22a﹣x，∴x2+（2a）2＝（22a﹣x）2，解得：x=22∴6DF=6×22a=3a，22OF＝22在Rt△AGE中，GE=AG∴GE=6DF，OC＝22OF無法證明∠FCO＝∠GCE，∴無法判斷△COF∽△CEG，故⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的是①③④，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．4．（2022?鹽城）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B'處，線段AB掃過的面積為．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB'＝AB＝2，由銳角三角函數(shù)可求∠DAB'＝60°，由扇形面積公式可求解．【解答】解：∵AB＝2BC＝2，∴BC＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，∵將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，∴AB'＝AB＝2，∵cos∠DAB'=AD∴∠DAB'＝60°，∴∠BAB'＝30°，∴線段AB掃過的面積=30故答案為：π3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，扇形面積公式，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．一．選擇題（共8小題）1．（2020?錫山區(qū)校級(jí)模擬）下列四個(gè)圖形中，可以由圖通過平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．【解答】解：只有D的圖形的形狀和大小沒有變化，符合平移的性質(zhì)，屬于平移得到；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平移的性質(zhì)，熟知圖形平移后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．2．（2020?清江浦區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（﹣1，5）向左平移2個(gè)單位長度后得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，3） B．（﹣3，5） C．（﹣1，7） D．（1，5）【分析】直接利用平移規(guī)律得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵將點(diǎn)（﹣1，5）向左平移2個(gè)單位長度后得到點(diǎn)P，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（﹣3，5）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化，正確記憶平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2015?南京校級(jí)一模）如圖，A，B的坐標(biāo)為（2，0），（0，1），若將線段AB平移至A1B1，則a+b的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先利用點(diǎn)A平移都A1得到平移的規(guī)律，再按此規(guī)律平移B點(diǎn)得到B1，從而得到B1點(diǎn)的坐標(biāo)，于是可求出a、b的值，然后計(jì)算a+b即可．【解答】解：∵點(diǎn)A（2，0）先向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)A1（3，1），∴線段AB先向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到線段A1B1，∴點(diǎn)B（0，1）先向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B1，則B1（1，2）∴a＝1，b＝2，∴a+b＝1+2＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個(gè)單位長度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）4．（2023?常州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝7，M、N分別為邊CD，AB上的點(diǎn)，將四邊形ADMN沿MN翻折至四邊形EFMN，點(diǎn)E落在BC邊上，且BE＝3，則DM的長為（）?A．52 B．83 C．114 【分析】設(shè)EF與CD交于點(diǎn)G，由折疊可知DM＝FM，AD＝EF＝7，AN＝EN，∠A＝∠NEF＝90°，∠D＝∠F＝90°，再根據(jù)同角的余角相等以及等角的余角相等可得∠CEG＝∠FMG＝∠BNE，再設(shè)AN＝EN＝x，則BN＝9﹣x，在Rt△BEN中，根據(jù)勾股定理列出方程，求出NE＝5，則sin∠CEG＝sin∠FMG＝sin∠BNE=35，cos∠CEG＝cos∠FMG＝cos∠BNE=45，在Rt△CEG中，GE=CEcos∠CEG=5，因此FG＝EF﹣GE＝7﹣5＝2，在Rt△MFG中，MG=FGsin∠FMG【解答】解：如圖，設(shè)EF與CD交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為矩形，AB＝9，BC＝7，∴AD＝BC＝7，AB＝CD＝9，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵將四邊形ADMN沿MN翻折至四邊形EFMN，∴DM＝FM，AD＝EF＝7，AN＝EN，∠A＝∠NEF＝90°，∠D＝∠F＝90°，∴∠BNE+∠BEN＝∠BEN+∠CEG，∠CEG+∠CGE＝90°，∠FMG+∠FGM＝90°，∴∠BNE＝∠CEG，∵∠CGE＝∠FGM，∴∠CEG＝∠FMG＝∠BNE，∵BE＝3，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣3＝4，設(shè)AN＝EN＝x，則BN＝AB﹣AN＝9﹣x，在Rt△BEN中，BN2+BE2＝EN2，∴（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，∴NE＝5，在Rt△BEN中，sin∠BNE=BEEN=35，∴sin∠CEG＝sin∠FMG＝sin∠BNE=35，cos∠CEG＝cos∠FMG＝cos∠BNE在Rt△CEG中，GE=CEcos∠CEG∴FG＝EF﹣GE＝7﹣5＝2，在Rt△MFG中，MG=FGsin∠FMG=235=103，∴DM＝FM=8故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題關(guān)鍵．5．（2023?姑蘇區(qū)一模）王同學(xué)用長方形紙片折紙飛機(jī)，前三步分別如圖①、②、③．第一步：將長方形紙片沿對(duì)稱軸對(duì)折后展開，折出折痕EF；第二步：將△AEG和△BEH分別沿EG，EH翻折，AE，BE重合于折痕EF上；第三步：將△GEM和△HEN分別沿EM，EN翻折，EG，EH重合于折痕EF上．已知AB＝20cm，AD=202cm，則A．10cm B．52cm C．20-102cm 【分析】根據(jù)第一、二步折疊易得四邊形AEA′G為正方形，AG＝10cm，以此得出GD=(202-10)cm，根據(jù)勾股定理求出EG=102cm，根據(jù)第三步折疊可得∠GEM＝∠G′EM，進(jìn)而得到∠GEM＝∠GME，則GE＝GM【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB＝20cm，AD=202∴∠A＝90°，由第一步折疊可得，AD∥EF，AE＝BE＝10cm，由第一步折疊可得，AE＝A′E＝10cm，∠EA′G＝∠A＝90°，∴AE∥AG，∴四邊形AEA′G為平行四邊形，∵AE＝A′E，∠A＝90°，∴平行四邊形AEA′G為正方形，∴AG＝AE＝10cm，∴GD＝AD﹣AG=(202在Rt△AEG中，EG=AG2根據(jù)第三步折疊可得，∠GEM＝∠G′EM，∵GD∥EF，∴∠GME＝∠G′EM，∴∠GEM＝∠GME，∴GE＝GM=102∴MD＝GD﹣GM=202故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023?沭陽縣一模）如圖，將矩形紙片ABCD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFG，取DE、FG的中點(diǎn)M、N，連接MN．若AB＝3cm，AD＝1cm，則線段MN長度的最大值為（）cm．A．1+10 B．1+1210 C【分析】連接BD，取BE中點(diǎn)H，連接MH，NH，根據(jù)勾股定理求得BD=10cm，易得MH為△EBD的中位線，則MH=12BD=102（cm），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NH＝EF＝1cm，再根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可證明四邊形EFNH為平行四邊形，得到NH＝EF＝1cm，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得MH+NH＞MN，以此得到當(dāng)M、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的長度取得最大值，此時(shí)，MN【解答】解：如圖，連接BD，取BE中點(diǎn)H，連接MH，NH，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，AB＝3cm，AD＝1cm，∴BD=AD2∵點(diǎn)M為DE中點(diǎn)，點(diǎn)H為BE中點(diǎn)，∴MH為△EBD的中位線，∴MH=12BD=10∵將矩形紙片ABCD繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形BEFG，∴AD＝EF＝1cm，BE＝FG，BE∥FG，∵點(diǎn)H為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N為FG的中點(diǎn)，∴EH＝FN，EH∥FN，∴四邊形EFNH為平行四邊形，∴NH＝EF＝1cm，在△MNH中，MH+NH＞MN，∴當(dāng)M、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的長度取得最大值，此時(shí)，MN＝MH+NH=(102∴線段MN長度的最大值為(102故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，三角形中位線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出輔助線，利用三角形三邊關(guān)系得到當(dāng)M、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，MN的長度取得最大值是解題關(guān)鍵．7．（2023?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A．(-3，3) B．(-3，【分析】如圖，過點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B′作B′H⊥y軸于H．在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°=3∴OH＝2+1＝3，∴B′（-3，3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．8．（2023?邗江區(qū)一模）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF，F(xiàn)G與CD交于點(diǎn)H．有如下結(jié)論：①∠CFH＝30°；②DE=3③CH＝GH；④S△ABF：S四邊形AFCD＝3：5．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝BC＝AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，推出△ABC和△ADC是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝∠GEH＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G＝∠ABC＝60°，求得∠CHF＝∠GHE＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠CFH＝30°，故①正確；根據(jù)三角函數(shù)的定義得到DE=AEtan60°=33AE，故②正確；設(shè)AC與FG交于M，得到AC⊥FG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CH＝HG，故③正確；過A作AN⊥BC于N，求得∠ANF＝∠AMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FN＝FM，求得FN＝FM=32CF，得到【解答】解：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠D＝∠ABC＝60°，∴△ABC和△ADC是等邊三角形，∵E是CD邊的中點(diǎn)，∴∠AED＝∠GEH＝90°，∵將菱形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線AE上的點(diǎn)G處，∴∠G＝∠ABC＝60°，∴∠CHF＝∠GHE＝30°，∵∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠CFH＝30°，故①正確；∵∠AED＝90°，∠D＝60°，∴DE=AEtan60°設(shè)AC與FG交于M，∵∠CHM＝30°，∠HCM＝60°，∴∠CMH＝90°，∴AC⊥FG，∴AM=32∵AE=32∴AM＝AE，∵AC＝AB＝AG，∴CM＝EG，∴△CMH≌△GEH（AAS），∴CH＝HG，故③正確；過A作AN⊥BC于N，∴∠ANF＝∠AMF，∵∠AFN＝∠AFM，AF＝AF，∴△ANF≌△AMF（AAS），∴FN＝FM，∴FN＝FM=32∴CN＝BN＝（1+32）∴BC＝2CN＝（2+3）CF，BF＝BN+FN＝（1+32∴S△ABF：S△ABC=1+32+3，S△ABF∴S△ABC=2+31+3S△ABF，S△∴S△ABF：S四邊形AFCD=33．故故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題）全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）9．（2023?邗江區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（1，1）向右平移2個(gè)單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的平移特點(diǎn)解答即可．【解答】解：將點(diǎn)（1，1）向右平移2個(gè)單位后，橫坐標(biāo)加2，所以平移后點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）．故答案為：（3，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟練掌握點(diǎn)的平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023?賈汪區(qū)一模）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)P、Q分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，PQ的取值范圍．【分析】取AC的中點(diǎn)M，A1B1的中點(diǎn)N，連接PM，MQ，NQ，PN，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：取AC的中點(diǎn)M，A1B1的中點(diǎn)N，連接PM，MQ，NQ，PN，∵將△ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，∴B1C1＝BC＝3，PN＝5，∵點(diǎn)P、Q分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，∴NQ=12B1C1∴5-32≤PQ≤即72≤PQ∴PQ的取值范圍為72≤PQ故答案為：72≤PQ【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023?銅山區(qū)一模）如圖，△ABC的邊BC長為4cm．將△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，則陰影部分的面積為cm2．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出陰影部分的面積等于四邊形BB'C'C的面積解答即可．【解答】解：由平移可知，陰影部分的面積等于四邊形BB'C'C的面積＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2），故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的面積公式和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．12．（2023?南京一模）如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折至△AD′E，延長ED′交BC于點(diǎn)F．若AB＝15，DE＝10，則BF的長是．【分析】連接AF，由折疊可得AD＝AD′＝15，DE＝DE′＝10，∠D＝∠AD′E＝90°，易通過HL證明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF＝D′F，因此設(shè)BF＝D′F＝x，則CF＝15﹣x，EF＝10+x，在Rt△EFC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得到結(jié)果．【解答】解：連接AF，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝15，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝15，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AD＝AD′＝15，DE＝DE′，∠D＝∠AD′E＝90°，∴AB＝AD′，∠AD′F＝90°，在Rt△ABF和Rt△AD′F中，AB=AD'∴Rt△ABF≌Rt△AD′F（HL），∴BF＝D′F，∵DE＝10，∴D′E＝DE＝10，CE＝CD﹣DE＝15﹣10＝5，設(shè)BF＝D′F＝x，則CF＝BC﹣BF＝15﹣x，EF＝D′E+D′F＝10+x，在Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，∴52+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝3，∴BF＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理，利用HL定理證明Rt△ABF≌Rt△AD′F，得到BF＝D′F是解題關(guān)鍵．13．（2023?邗江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，M，N分別為BC，AB上的點(diǎn)，將△BMN沿MN翻折，得到△B'MN，連接BB'，AB'，已知∠AB'B＝90°，若B'M∥AC，B'M＝8，AC=33，則CM的長為【分析】延長B′A交BC的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BM＝B′M，則∠B′BM＝∠BB′M，由題意可得∠BB′M+∠DB′M＝90°，由三角形內(nèi)角和定理得∠B′BM+∠D＝90°，進(jìn)而得到∠DB′M＝∠D，則B′M＝DM＝8，由平行線的性質(zhì)得∠DAC＝∠DB′M，則∠D＝∠DAC，因此CD＝AC，由CM＝DM﹣CD即可求解．【解答】解：延長B′A交BC的延長線于點(diǎn)D，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，BM＝B′M，∴∠B′BM＝∠BB′M，∵∠AB'B＝90°，∴∠BB′M+∠DB′M＝90°，∠B′BM+∠D＝90°，∴∠DB′M＝∠D，B′M＝DM＝8，∵B'M∥AC，∴∠DAC＝∠DB′M，∴∠D＝∠DAC，∴CD＝AC=3∴CM＝DM﹣CD＝8-3故答案為：8-3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用等邊對(duì)等角來解決問題是解題關(guān)鍵．14．（2023?沛縣校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)．將∠A，∠B，∠C按如圖所示的方式向內(nèi)翻折，EQ，EF，DF為折痕．若A，B，C恰好都落在同一點(diǎn)P上，AE＝3，則ED＝．【分析】由折疊的性質(zhì)得出∠EPQ＝∠EPF＝∠DPF＝90°，AE＝EP，BE＝EP，CD＝PD，則可求出AB＝2，則可求出PD的長，則可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵折疊矩形后，A，B，C恰好都落在同一點(diǎn)P上，∴∠EPQ＝∠EPF＝∠DPF＝90°，AE＝EP，BE＝EP，CD＝PD，∴E，P，D三點(diǎn)共線，Q，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，AE＝BE，∵AE＝3，∴AB＝2AE＝6，∴CD＝6，∴PD＝6，∴DE＝PE+PD＝3+6＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，求出AB的長是解題的關(guān)鍵．15．（2023?天寧區(qū)校級(jí)一模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，則旋轉(zhuǎn)角α的大小是°．【分析】證明∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)AC交DE于點(diǎn)O．∵DE⊥AC，∴∠AOD＝90°，∵∠CAD＝25°，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．16．（2023?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，且BP=3，將BP繞點(diǎn)B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，DQ．當(dāng)∠ADQ＝90°且點(diǎn)Q在△ABC內(nèi)部時(shí)，AQ的長為【分析】連接BD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出BD⊥AC，AD＝CD＝3，根據(jù)勾股定理求出BD=33，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BQ=BP=3，推出Q點(diǎn)一定在線段BD【解答】解：如圖，連接BD，∵在△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC＝AB＝6，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD=CD=12AC=3，∴∠ADB＝90°，∴BD=A由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BQ=BP=3∵∠ADB＝90°，∴當(dāng)∠ADQ＝90°時(shí)，點(diǎn)Q一定在直線BD上；當(dāng)點(diǎn)Q在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖所示，DQ=BD-在Rt△ADQ中，AQ=A故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．17．（2023?儀征市一模）如圖，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到點(diǎn)F，則CF長的最小值是．【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接DE，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，可證得△BCF≌△BDE（SAS），得出CF＝DE，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，DE＝DH=12AD＝2為DE的最小值，即可得出CF的最小值為【解答】解：取AB的中點(diǎn)D，連接DE，過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，則AD＝BD=12AB，∠AHD＝∠ACB＝∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，由旋轉(zhuǎn)得：BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠EBC+∠CBF＝60°，∵∠EBC+∠DBE＝60°，∴∠CBF＝∠DBE，∵AD＝BD=12AB＝∴BC＝BD，∴△BCF≌△BDE（SAS），∴CF＝DE，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，DE＝DH=12AD＝2為∴CF的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．18．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E、F分別在邊CD、AB上，沿EF翻折，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在BC邊的中點(diǎn)處，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，則線段DE的長為；若線段EF的垂直平分線分別交EF、A′D′于點(diǎn)P、Q，則PQ＝．【分析】先根據(jù)正方形性質(zhì)和中點(diǎn)定義求出D'C的長，再由折疊性質(zhì)得到D'E＝DE，設(shè)CE＝x，根據(jù)勾股定理列方程即可求出DE的長；過點(diǎn)F作FG⊥DC于G，連接EQ，F(xiàn)Q，F(xiàn)D'，通過勾股定理列出方程求出AF的長，從而求得EF的長，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出EP=12EF，EQ＝FQ，∠EPQ＝90°，從而再根據(jù)勾股定理列方程求出求出D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝8，∵D'是BC的中點(diǎn)，∴D'由折疊性質(zhì)可知D'E＝DE，設(shè)CE＝x，則DE＝D'E＝8﹣x，由勾股定理得CE2+（CD'）2＝（D'E）2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴DE＝8﹣3＝5；如圖，過點(diǎn)F作FG⊥DC于G，連接EQ，F(xiàn)Q，F(xiàn)D'，∵FG⊥DC于G，四邊形ABCD是正方形，∴FG＝AD＝8，AF＝DG，由折疊性質(zhì)可知∠A'＝∠A＝90°，AF'＝AF，A'D'＝AD＝8，設(shè)AF'＝AF＝m，則BF＝8﹣m，由勾股定理得（A'F）2+（A'D'）2＝（BD'）2+BF2，即m2+82＝42+（8﹣m）2，解得m＝1，∴AF＝DG＝1，∴EG＝DE﹣DG＝4，∴EF=4∵PQ是EF的垂直平分線，∴EP=12EF=25，EQ＝FQ設(shè)D'Q＝n，則A'Q＝8﹣n，∵EQ2＝（D'E）2+（D'Q）2＝52+n2，F(xiàn)Q2＝（A'F）2+（A'Q）2＝12+（8﹣n）2，∴52+n2＝12+（8﹣n）2，解得n=5∴D'∴EQ在Rt△PEQ中，由勾股定理得PQ=E故答案為：5；35【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的折疊問題，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，并能夠正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵，難度校大．三．解答題（共10小題）19．（2023?江都區(qū)模擬）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（3，1），（2，﹣1）．（1）畫出繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的，并寫出A1的坐標(biāo)為；（2）在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作的位似圖形，使新圖與原圖相似比為2：1；（3）若點(diǎn)D（a，b）在線段OA上，直接寫出變化（2）后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)為．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（3）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：（1）如圖所示：即為所求；A1的坐標(biāo)為（1，﹣3）；故答案為：（1，﹣3）；（2）如圖所示：即為所求；（3）∵作的位似圖形，新圖與原圖相似比為2：1，且D（a，b），∴點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo)為（﹣2a，﹣2b）；故答案為：（﹣2a，﹣2b）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．20．（2023?高郵市一模）如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE．（1）分別在CD、AE邊上求作點(diǎn)P、點(diǎn)D′，使得點(diǎn)D關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)D′恰好落在線段AE上；（請(qǐng)保留作圖痕跡，不需要寫作法）（2）在（1）的條件下，若AB＝36，BC＝30，求CP．【分析】（1）作出∠DAE的角平分線，交CD于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AE于點(diǎn)D'，點(diǎn)D'即為所求；（2）連接PE，根據(jù)勾股定理求出AE，根據(jù)題意證明△APD≌△APD'，即可得出D'E的長度，設(shè)CP＝x，則DP＝36﹣x，根據(jù)PD'2+D'E2＝PE2＝CP2+CE2，列出方程求解即可．【解答】解：（1）如圖：點(diǎn)P、點(diǎn)D'即為所求；（2）連接PE，PD'，∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，BC＝30，∴CE＝BE＝15，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得：AE=A在△APD和△APD'中，AP=AP∠DAP=∠D'AP∴△APD≌△APD'（SAS），∴AD＝AD'＝30，∠D＝∠AD'P＝90°，∴D'E＝AE﹣AD'＝9，設(shè)CP＝x，則DP＝36﹣x，在Rt△CPE中，根據(jù)勾股定理可得：PE2＝CP2+CE2＝x2+152，在Rt△PD'E中，根據(jù)勾股定理可得：PE2＝PD'2+D'E2＝（36﹣x）2+92，∴（36﹣x）2+92＝x2+152，解得：x＝16，∴CP＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形和輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．21．（2023?鎮(zhèn)江模擬）如圖，∠BAD的AB邊上有一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，⊙O與AD邊的另一交點(diǎn)為點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙O的切線PN，點(diǎn)C在射線PN上．（1）僅用圓規(guī)，在AD邊上求作一點(diǎn)Q（不與A、P重合），使C、Q所在直線與AB互相垂直（保留作圖痕跡）；（2）連接CQ交AB于點(diǎn)H，AH＝5，QH＝1．①若⊙O的半徑為2，求PC長；②當(dāng)⊙O的半徑為多少時(shí)，OA?（PC+4OA）取最大值？【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，PC為半徑畫弧，與AB交于點(diǎn)Q，連接CQ，即為所作；（2）①連接OP、OC，設(shè)PC＝x，由（1）知CQ＝PC＝x，則CH＝x﹣1，由半徑和AH求得OH＝3，再根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理得OC2＝OP2+PC2＝CH2+OH2，列出方程求解即可；②同（1）的方法得到關(guān)于r的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）作圖痕跡如圖所示；（2）解：①連接OP、OC，設(shè)PC＝x，由（1）知CQ＝PC＝x，則CH＝x﹣1，∵r＝2，AH＝5，∴OH＝3，∵PN是切線，∴OP⊥PN，又∵CQ⊥AB，∴OC2＝OP2+PC2＝CH2+OH2，∴22+x2＝（x﹣1）2+32，解得：x＝3，∴PC的長為3；②設(shè)PC＝x，半徑為r，同①理得：r2+x2＝（x﹣1）2+（5﹣r）2；化簡得：x＝13﹣5r；∴OA?（PC+4OA）＝r（13﹣5r+4r）＝﹣r2+13r=-∴當(dāng)⊙O的半徑為132時(shí)，OA?（PC+4OA【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想是解題的關(guān)鍵．22．（2023?工業(yè)園區(qū)一模）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A、C分別落在BD上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為BG、DH．（1）求證：四邊形BGDH是平行四邊形；（2）已知AB＝6，BC＝8，求四邊形BGDH的周長．【分析】（1）由矩形和折疊的性質(zhì)可得，GD∥BH，∠ABD＝∠CDB，∠GBD=12∠ABD，∠HDB=12∠CDB，則∠（2）在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD＝10，由折疊的性質(zhì)可得BE＝AB＝6，GE＝AG，∠DEG＝90°，則DE＝BD﹣BE＝4，設(shè)GD＝x，則GE＝AG＝8﹣x，在Rt△GDE中，由勾股定理得DE2＝GD2﹣GE2，即42＝x2﹣（8﹣x）2，求x的值，進(jìn)而可得AG的值，在Rt△ABG中，由勾股定理得BG=AB2【解答】（1）證明：由矩形和折疊的性質(zhì)可得，GD∥BH，∠ABD＝∠CDB，∠GBD=12∴∠GBD＝∠HDB，∴BG∥DH，∴四邊形BGDH是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD＝10，由折疊的性質(zhì)可得BE＝AB＝6，GE＝AG，∠DEG＝90°，∴DE＝BD﹣BE＝4，設(shè)GD＝x，則GE＝AG＝8﹣x，在Rt△GDE中，由勾股定理得DE2＝GD2﹣GE2，即42＝x2﹣（8﹣x）2，解得x＝5，∴AG＝3，在Rt△ABG中，由勾股定理得BG=A∵2(∴平行四邊形BGDH的周長為65【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．23．（2023?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，AF與BC相交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABE≌△CFE；（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)AAS證明三角形全等即可．（2）設(shè)AE＝x，在Rt△ABE中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解問題．【解答】（1）證明：∵矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在等F處，∴∠F＝∠D＝∠B＝90°，CD＝CF＝AB，∵∠AEB＝∠CEF，∴△ABE≌△CFE（AAS）．（2）設(shè)AE＝x，∵△ABE≌△CFE，∴EC＝AE＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，BC＝AD＝8，BE＝8﹣x，在Rt△ABE中，則有（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴AE＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，將長方形ABCD紙片沿MN折強(qiáng)，使A、C兩點(diǎn)重合．點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，MN與AC交于點(diǎn)O．（1）求證：△AMN是等腰三角形；（2）若BM＝4，∠BAM＝30°．求MN的長．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AMN＝∠CMN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CMN＝∠ANM，等量代換得到∠ANM＝∠AMN，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM＝2BM＝8，∠AMB＝60°，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵長方形ABCD紙片折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴∠AMN＝∠CMN，∵AD∥BC，∴∠CMN＝∠ANM，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）解：在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，BM＝4，∴AM＝2BM＝8，∠AMB＝60°，∴∠AMN＝（180°﹣∠AMB）÷2＝60°，由（2）知：△AMN是等腰三角形，∴△AMN是等邊三角形，∴MN＝AM＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），含30度角的直角三角形、等腰三角形判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．25．（2023?沭陽縣模擬）問題背景如圖（1），△ABD，△AEC都是等邊三角形，△ACD可以由△AEB通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。畤L試應(yīng)用如圖（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，AB為邊，作等邊△ACD和等邊△ABE，連接ED，并延長交BC于點(diǎn)F，連接BD．若BD⊥BC，求DFDE拓展創(chuàng)新如圖（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．【分析】問題背景由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，證得△ACD≌△AEB（SAS），由旋轉(zhuǎn)的概念可得出答案；嘗試應(yīng)用證明△ADE≌△ACB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，得出∠BDF＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出BF=12拓展創(chuàng)新過點(diǎn)A作AE⊥AB，且使AE＝AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質(zhì)求出BE，PE的長，則可得出答案．【解答】問題背景解：∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是60°；嘗試應(yīng)用∵△ACD和△ABE都是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF=12設(shè)BF＝x，則CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴DFDE拓展創(chuàng)新∵∠ACB＝90°，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，∴CD=12AB＝如圖，過點(diǎn)A作AE⊥AB，且使AE＝AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AP，∴∠PAC＝90°，PA＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠PAE＝∠CAD，∴△CAD≌△PAE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE=A∴BP≤BE+PE=5+當(dāng)且僅當(dāng)P、E、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴BP的最大值為5+1【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2023?蘇州一模）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊向CD的右側(cè)作等邊三角形CDE，連接AE．（1）【嘗試初探】如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AC，DE相交于點(diǎn)F，在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形始終保持全等，請(qǐng)你找出這對(duì)全等三角形，并說明理由．（2）【深入探究】如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長ED，交CB的延長線于點(diǎn)H，隨著D點(diǎn)位置的變化，H點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)AD＝2BD時(shí)，求tan∠DHC的值．（3）【拓展延伸】如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD，AE相交于點(diǎn)F，設(shè)△ADF的面積為S1，△CEF的面積為S2，當(dāng)S2＝4S1時(shí)，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS即可證明△BCD≌△ACE；（2）過點(diǎn)D作DG⊥BC于D點(diǎn)G，由（1）可說明AE∥CH，從而得出△ADE∽△BDH，進(jìn)而解決問題；（3）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，由（1）同理得△BCD≌△ACE，再說明△AFD∽△CFE，得S1S2=(ADCE)2，設(shè)BD＝x，則AD＝BD﹣AB＝x【解答】解：（1）如圖1，△BCD≌△ACE，理由如下：∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD與△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG⊥BC于D點(diǎn)G，∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，AD＝2BD，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD＝1，AD＝2，∵DG⊥BC，∴BG=1DG=3BG=由（1）得，△BCD≌△ACE，∴AE＝BD＝1，∠CAE＝∠CBA＝60°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE∥CH，∴△ADE∽△BDH，∴AEBH∵AD＝2BD，AE＝1，∴1BH∴BH=1∴GH＝BH+BG＝1，∵DG⊥BC，∴tan∠DHC=DG（3）如圖3，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD與△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠BDC＝∠AEC，又∵∠AFD＝∠CFE，∴△AFD∽△CFE，∴S1∵S2＝4S1，∴CE＝2AD，設(shè)BD＝x，則AD＝BD﹣AB＝x﹣3，CD＝CE＝2（x﹣3）＝2x﹣6，∵CH⊥AB，△ABC是邊長為3的等邊三角形，∴AH=1CH=3AH=∴DH＝AH+AD=3∵CH⊥AB，∴CH2+DH2＝CD2，即（332）2+(x-32)2=解得x=7∵點(diǎn)D在BA的延長線上，∴BD＞AB，∴x＞3，∴x=7即BD=7【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握手拉手模型是解題的關(guān)鍵．27．（2023?海安市一模）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，點(diǎn)E是線段BO上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將△ABE沿AE翻折，AB的對(duì)應(yīng)邊AB′與BD相交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)∠BAE＝15°時(shí)，求EF的長；（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的長；（3）若EF＝k?BE，求k的取值范圍．?【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可得△ABC是等邊三角形，AC⊥BD，AO＝2，BO＝23，∠BAF＝∠FBA＝30°，則BF＝AF＝23-OF，根據(jù)勾股定理求出OF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得OE＝OA＝2，即可得EF（2）分三種情況：①當(dāng)AF＝BF時(shí)，②當(dāng)AF＝AB時(shí)，③當(dāng)AB＝BF時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可；（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，作EN⊥AF于N，根據(jù)三角形的面積公式可得ABAF=BEEF，則EF=AF?BEAB，由EF＝k?BE得k=AFAB，由點(diǎn)F在BD上可得AF的最大值為4，當(dāng)AF⊥BD，即點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，AF的值最小為OA＝2，可得【解答】解：（1）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，∴△ABC是等邊三角形，AC⊥BD，AO=12AC，∠ABD＝∠CBD=12∠∴AO＝2，BO＝23，由折疊得∠BAE＝∠FAE＝15°，∴∠BAF＝∠FBA＝30°，∴BF＝AF＝23-OF在Rt△AOF中，OF2+OA2＝AF2，∴OF2+22＝（23-OF）2∴OF=2∵∠BAE＝15°，∠FBA＝30°，∴∠AEO＝45°，∴△AEO是等腰直角三角形，∴OE＝OA＝2，∴EF＝OE﹣OF＝2-2（2）若△ABF是等腰三角形，分三種情況：①當(dāng)AF＝BF時(shí)，由（1）知，BF＝AF＝23-OF，OF=∴AF＝23-②當(dāng)AF＝AB時(shí)，∵AB＝4，∴AF＝4；③當(dāng)AB＝BF時(shí)，如圖1，∵AB＝4，∴BF＝4，∴OF＝BF﹣OB＝4﹣23，∴AF=OA2+OF綜上，AF的長為433或4或26-（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于M，作EN⊥AF于N，由折疊得∠BAE＝∠FAE，∴EM＝EN，∴S△ABE又∵S△ABE∴ABAF∴EF=AF?BE∵EF＝k?BE，∴k=AF∵點(diǎn)F在BD上，∴AF的最大值為4，當(dāng)AF⊥BD，即點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，AF的值最小為OA＝2，∴2≤AF＜4，∴12≤∴k的取值范圍為12≤k＜【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等