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20222023學年小學六年級思維拓展舉一反三精編講義專題12比較數(shù)字大小知識精講知識精講我們已經(jīng)掌握了基本的比較整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)大小的方法。本周將進一步研究如何比較一些較復雜的數(shù)或式子的值的大小。解答這種類型的題目，需要將原題進行各種形式的轉(zhuǎn)化，再利用一些不等式的性質(zhì)進行推理判斷。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么EQ\F(1,a)＜EQ\F(1,b)；如果EQ\F(a,b)＞1，b＞0，那么a＞b等等。比較大小時，如果要比較的分數(shù)都接近1時，可先用1減去原分數(shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等（都是1），減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分數(shù)的大小。如果兩個數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等，商越小，除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。除了將比較大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點將它作適當?shù)淖冃魏笤龠M行判斷。典例分析典例分析【典例分析01】比較EQ\F(777773,777778)和EQ\F(888884,888889)的大小。這兩個分數(shù)的分子與分母各不相同，不能直接比較大小，使用通分的方法又太麻煩。由于這里的兩個分數(shù)都接近1，所以我們可先用1分別減去以上分數(shù)，再比較所得差的大小，然后再判斷原來分數(shù)的大小。因為1－EQ\F(777773,777778)=EQ\F(5,777778)，1－EQ\F(888884,888889)=EQ\F(5,888889)EQ\F(5,777778)＞EQ\F(5,888889)所以EQ\F(777773,777778)＜EQ\F(888884,888889)?！镜淅治?2】比較EQ\F(111,1111)和EQ\F(1111,11111)哪個分數(shù)大？可以先用1分別除以這兩個分數(shù)，再比較所得商的大小，最后判斷原分數(shù)的大小。因為1÷EQ\F(111,1111)＝EQ\F(1111,111)＝10EQ\F(1,111)1÷EQ\F(1111,11111)＝EQ\F(11111,1111)＝10EQ\F(1,1111)10EQ\F(1,111)＞10EQ\F(1,1111)所以EQ\F(111,1111)＜EQ\F(1111,11111)【典例分析03】比較EQ\F(12345,98761)和EQ\F(12346,98765)的大小。兩個分數(shù)中的分子與分子、分母與分母都較為接近，可以根據(jù)通分的原理，用交叉相乘法比較分數(shù)的大小。因為12345×98765＝12345×98761+12345×4＝12345×98761+4938012346×98761＝12345×98761+98760而98761＞49380所以12346×98761＞12345×98765則EQ\F(12345,98761)＜EQ\F(12346,98765)【典例分析04】已知A×15×1EQ\F(1,99)＝B×EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15＝C×15.2÷EQ\F(4,5)＝D×14.8×EQ\F(73,74)。A、B、C、D四個數(shù)中最大的是_______.求A、B、C、D四個數(shù)中最大的數(shù)，就要找15×1EQ\F(1,99)，EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15，15.2÷EQ\F(4,5)，14.8×EQ\F(73,74)中最小的。15×1EQ\F(1,99)＞1515.2÷EQ\F(4,5)＞15EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15＝13EQ\F(1,3)14.8×EQ\F(73,74)＝14.6答：因為EQ\F(2,3)÷EQ\F(3,4)×15的積最小，所以B最大?！镜淅治?5】有兩個紅色的正方形，兩個藍色的正方形，它們的面積已在圖中標出（單位：平方厘米）。問：紅色的兩個正方形面積大還是藍色的兩個正方形面積大？199619962199219922紅藍199719972199319932紅藍通過計算結(jié)果再比較大小自然是可以，但比較麻煩。我們可以采取間接比較的方法。19972－19972＝（1997+1966）×（1997－1996）＝399319932－19922＝（1993+1992）×（1993－1992）＝3985因為19972－19972＞19932－19922所以19972+19972＞19932+19922真題演練真題演練一．選擇題（共5小題，滿分10分，每小題2分）1．（2分）A＝87654×76543，B＝87653×76544，A與B的關系是（）A．A＝B B．A＞B C．A＜B D．無法確定【思路點撥】應用乘法分配律，將A和B轉(zhuǎn)化為相同部分加不同部分，只比較不同部分大小?！疽?guī)范解答】解：A＝87654×76543＝（87653+1）×76543＝87653×76543+76543；B＝87653×76544＝87653×（76543+1）＝87653×76543+87653；76543＜87653，所以A＜B。故選：C。【考點評析】這道題解題的關鍵是要熟練掌握并運用乘法分配律。2．（2分）＝c＝d÷50%（a，b，c，d為非0自然數(shù)），下面不等式成立的是（）A．a(chǎn)＞c＞b＞d B．d＞b＞c＞a C．a(chǎn)＞b＞c＞d D．c＞d＞b＞a【思路點撥】把式子都轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)：兩個非0因數(shù)相乘，積相等，一個因數(shù)大，則另一個因數(shù)?。粨?jù)此比較即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：＝c＝d÷50%（a，b，c，d為非0自然數(shù)），則a×＝b×＝c×1＝d×2（a，b，c，d為非0自然數(shù)），因為2＞＞1＞，所以d＜b＜c＜a；故選：A．【考點評析】把式子都轉(zhuǎn)化為乘法，明確兩個非0因數(shù)相乘，積相等，一個因數(shù)大，則另一個因數(shù)小，是解答此題的關鍵．3．（2分）如果：a÷0.23＝b×0.23＝c÷1，那么a、b、c三個數(shù)的關系式是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【思路點撥】假設a÷0.23＝b×0.23＝c÷1＝1，分別求出a、b、c的值，再比較大小即可得解．【規(guī)范解答】解：假設a÷0.23＝b×0.23＝c÷1＝1，a÷0.23＝1，所以a＝0.23b×0.23＝1，所以b≈4.35c÷1＝1，所以c＝14.35＞1＞0.23即a＜c＜b故選：D．【考點評析】本題重點是假設出算式的數(shù)值，求出a，b，c的值．4．（2分）a、b都大于0，且b＜1．下列結(jié)果最大的是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)÷b C．a(chǎn)﹣b D．0÷a×b【思路點撥】因為a、b都大于0，且b＜1，所以a和b的大小無法確定，即無法比較大??；a÷b＞a，a﹣b＜a，0÷a×b＝0＜a，由此即可判斷．【規(guī)范解答】解：由分析可知：a、b都大于0，且b＜1．下列結(jié)果最大的是a÷b；故選：B．【考點評析】此題考查了比較大小，應先確定每個算式與a的大小，以a為中間量，然后即可得出結(jié)論．5．（2分）如，則A與B的關系為（）A．A＞B B．A＜B C．A＝B【思路點撥】兩個數(shù)擴大2倍之后，跟1相減得出2A與2B的大小，由此進行比較A和B大?。疽?guī)范解答】解：2A＝×2＝；2B＝×2＝；1﹣2A＝1﹣＝；1﹣2B＝1﹣＝；因為＞；所以2B比2A更接近1，即2B＞2A，得到B＞A．故選：B．【考點評析】此題考查了比較兩個數(shù)大小的方法．二．填空題（共9小題，滿分18分，每小題2分）6．（2分）在橫線里填上＞、＜或＝．90×1.1＞906.5÷0.1＞6.536×0.7＜36÷0.70.35÷3.5＜3.5÷0.35．【思路點撥】①根據(jù)“一個數(shù)乘一個大于1的數(shù)，積就大于這個數(shù)”，進行解答；②根據(jù)“一個數(shù)除以一個小于0的數(shù)，商就大于這個數(shù)”，進行解答；③根據(jù)“一個數(shù)乘一個小于1的數(shù)，積就小于這個數(shù)”以及“一個數(shù)除以一個小于1的數(shù)，商就大于這個數(shù)”解答即可；④此題應分別算出各算式的結(jié)果，再進行比較．【規(guī)范解答】解：90×1.1＞90；6.5÷0.1＞6.5；36×0.7＜36÷0.7；0.35÷3.5＜3.5÷0.35；故答案為：＞，＞，＜，＜．【考點評析】此題解答的關鍵是掌握“一個數(shù)乘一個大于或小于1的數(shù)，積與這個數(shù)的關系”．7．（2分）把分數(shù)按從大到小排列起來。?！舅悸伏c撥】先把5個分數(shù)化為小數(shù)，再比較小數(shù)的大小即可?！疽?guī)范解答】解：≈0.294；≈0.316；≈0.441；≈0.465；≈0.508因為0.294＜0.316＜0.441＜0.465＜0.508故答案為：【考點評析】先把5個分數(shù)化為小數(shù)，是解答此題的關鍵。8．（2分）比較大?。海?。【思路點撥】把化成1﹣＝1﹣＝1﹣；＝1﹣；比較和1﹣大小，再進一步判斷即可解答?！疽?guī)范解答】解：＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝1﹣＜所以＞。故答案為：＞?！究键c評析】此題考查了分數(shù)的大小比較方法。9．（2分）比較大小。＜＜999÷0.999＞999【思路點撥】第一個空，先通分再比較；第二個空，分別求出求出與1的差，差越小原數(shù)越大；第三個空，一個數(shù)（0除外），除以小于1的數(shù)，商比原數(shù)大?！疽?guī)范解答】解：因為＜，＜；因為，，所以＜；因為0.999＜1，所以999÷0.999＞999。＜＜999÷0.999＞999故答案為：＜、＜、＞?！究键c評析】本題主要考查了分數(shù)、小數(shù)比較大小的方法，要熟練掌握。10．（2分）在橫線里填上“＞”、“＜”或“＝”．5.5×0.1＝5.5÷104.63÷0.999＞4.630.89＜0.91÷0.001＞10．【思路點撥】（1）因為5.5×0.1＝0.55，5.5÷10＝0.55，所以5.5×0.1＝5.5÷10；（2）因為0.999＜1，根據(jù)商的變化規(guī)律，可得4.63÷0.999＞4.63；（3）因為個位數(shù)字相同，十分位上8＜9，所以0.89＜0.9；（4）1÷0.001＝1000，1000＞10，所以＞10；據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)分析可得，5.5×0.1＝5.5÷104.63÷0.999＞4.630.89＜0.91÷0.001＞10．故答案為：＝，＞，＜，＞．【考點評析】本題靈活考查了數(shù)的大小比較以及商的變化規(guī)律：兩個非零的數(shù)相除，當除數(shù)大于1，商小于被除數(shù)；當除數(shù)小于1，商大于被除數(shù)；當除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)．11．（2分）如果0.5×A＝0.48×B那么A與B的大小關系是A＜B．【思路點撥】因為0.5×A的積和0.48×B的積相等，又因為0.5＞0.48，即一個因數(shù)變小，要使積不變，另一個因數(shù)需要變大，所以A＜B；據(jù)此解答．【規(guī)范解答】解：根據(jù)分析可得，如果0.5×A＝0.48×B那么A與B的大小關系是A＜B．故答案為：＜．【考點評析】本題還可以利用賦值法，令0.5×A＝0.48×B＝1，根據(jù)倒數(shù)的意義求出A和B的值，再比較大?。?2．（2分）如果a＝，b＝，c＝，那么a，b，c中最大的是c，最小的是a．【思路點撥】通過觀察所給的三個分數(shù)，可發(fā)現(xiàn)b的分子和分母是a的分子和分母各加上了1，c的分子和分母是b的分子和分母各加上了1，由于這三個分數(shù)的分子和分母都比較大，不容易比較；所以我們可以從簡單的分數(shù)入手分析并比較，如：和，是的分子和分母各加上1所得，＞；再如：和，是的分子和分母各加上1所得，＞；由此我們發(fā)現(xiàn)有這么一個規(guī)律：真分數(shù)（正數(shù)）的分子和分母同時加上一個相等的數(shù)，分數(shù)值會變大；據(jù)此進行比較．【規(guī)范解答】解：通過分析，可知此類型的分數(shù)有這么一個規(guī)律：真分數(shù)（正數(shù)）分子分母同時加上一個相等的數(shù)，分數(shù)值會變大，所以c＞b＞a，最大的是c最小是a；故答案為：c，a．【考點評析】解決此題關鍵是從簡單的分數(shù)入手分析并比較，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．13．（2分）比較大?。海荆ㄌ睿荆?，＝）【思路點撥】運用乘法的分配律進行比較分子和分母的大小，再根據(jù)假分數(shù)大于或等于1，真分數(shù)小于1，進行解答即可．【規(guī)范解答】解：12345×67890＝（12340+5）×67890＝12340×67890+5×67890，12340×69895＝12340×（67890+5）＝12340×67890+5×12340，5×67890＞5×12340，12340×67890+5×67890＞12340×67890+5×12340，12345×67890＞12340×69895，分子大于分母，所以＞1，＜1，故＞；故答案為：＞．【考點評析】此題考查了整數(shù)乘法的分配律的運用，真、假分數(shù)的意義．14．（2分）比較下面兩個乘積的大?。篴＝57128463×87596512，b＝57128460×87596515．則a＞b．【思路點撥】對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應因數(shù)很相似，但并不完全相同．直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很麻煩的，仔細觀察兩組對應因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即57128463+87596512＝57128460+87596515．因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)結(jié)論1可得a＞b．【規(guī)范解答】解：因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即57128463+87596512＝57128460+87596515．因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)和相等，兩個數(shù)越接近，這兩個數(shù)的積越大；可得a＞b．故答案為：＞．【考點評析】此題應明確：兩因數(shù)之和相等，兩個數(shù)越接近，這兩個數(shù)的積越大．三．判斷題（共5小題，滿分10分，每小題2分）15．（2分）如果＜（a、b都是非零自然數(shù)）那么10﹣a＞10﹣b．×．【思路點撥】由＜（a、b都是非零自然數(shù)），根據(jù)同分子分數(shù)大小的比較方法可知a＞b；再根據(jù)被減數(shù)相同，減數(shù)小的差就大，進而判斷．【規(guī)范解答】解：由題意和同分子分數(shù)大小的比較方法可知：a＞b；根據(jù)被減數(shù)相同，減數(shù)小的差就大可得：10﹣a＜10﹣b．所以如果＜（a、b都是非零自然數(shù)）那么10﹣a＞10﹣b是錯誤的．故答案為：×．【考點評析】此題利用了同分子分數(shù)大小的比較方法和被減數(shù)相同，減數(shù)小的差就大兩方面的知識解答．16．（2分）若m＝2009×2013，n＝2010×2012，那么n＞m．√．（判斷對錯）【思路點撥】m＝2009×2013＝2009×（2012+1）＝2009×2012+2009，n＝2010×2012＝（2009+1）×2012＝2009×2012+2012，由此即可進行比較．【規(guī)范解答】解：m＝2009×2013＝2009×（2012+1）＝2009×2012+2009，n＝2010×2012＝（2009+1）×2012＝2009×2012+2012，因為2009×2012+2012＞2009×2012+2009，所以n＞m，所以若m＝2009×2013，n＝2010×2012，那么n＞m說法正確．故答案為：√．【考點評析】靈活掌握乘法分配律，是解答此題的關鍵．17．（2分）因為x＞y（x，y都是非0自然數(shù)），所以．×．（判斷對錯）【思路點撥】由于x＞y，則，又在除法算式中，被除數(shù)相同的情況下，除數(shù)越小，商就越大，所以10÷＞10．【規(guī)范解答】解：由于x＞y，則，所以10÷＞10．故答案為：×．【考點評析】分子相同，分母越大，分數(shù)值就越?。?8．（2分）將7.141，71.4%，0.1，7從大到小排列，排在第三位的是71.4%．×（判斷對錯）【思路點撥】先把百分數(shù)、分數(shù)都化成小數(shù)，然后根據(jù)小數(shù)比較大小的方法，把這些數(shù)按照從大到小排列，找出處于第三位的數(shù)，從而判斷．【規(guī)范解答】解：71.4%＝0.7140.1＝0.714714714……7＝7.27.2＞7.141＞0.714714714……＞0.714即：7＞7.141＞0.1＞71.4%排在第三位的是0.1，不是71.4%，原題說法錯誤．故答案為：×．【考點評析】解決有關小數(shù)、百分數(shù)、分數(shù)之間的大小比較，一般都把分數(shù)、百分數(shù)化為小數(shù)再進行比較，從而解決問題．19．（2分）a、b都是非0的自然數(shù)，如果a÷＝b×，那么a＞b．×．（判斷對錯）【思路點撥】利用舉數(shù)字的方法，假設a÷＝b×＝1，分別算出a、b，比較數(shù)值得出答案即可．【規(guī)范解答】解：假設a÷＝b×＝1，則a＝，b＝4；＜4，所以a＜b．因此原題a＞b是錯誤的．故答案為：×．【考點評析】運用舉例的方法解決問題，也是數(shù)學中常用的解題方法，注意字母的取值技巧．四．計算題（共3小題，滿分18分，每小題6分）20．（6分）先通分，再比較下面每組分數(shù)的大小。（1）、和（2）、和【思路點撥】找出每組分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，再根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把它們變成分母是它們最小公倍數(shù)而分數(shù)值大小不變的分數(shù)，然后再根據(jù)分母相同，分子大的數(shù)就大進行比較大小?！疽?guī)范解答】解：（1）（2）【考點評析】本題主要考查了學生對通分知識的掌握情況，以及根據(jù)通分的知識比較分數(shù)大小的方法。21．（6分）比較和的大小．【思路點撥】＝，兩數(shù)和比1分別小、，而分子相同時，分母大的反而小，所以＜，據(jù)此解答。【規(guī)范解答】解：＝，兩數(shù)和比1分別小、，因為＜，所以＞，故答案為：＞。【考點評析】本題主要考查分數(shù)的大小比較，發(fā)現(xiàn)分數(shù)與1的關系是解本題的關鍵。22．（6分）計算：已知A＝×××…××，B＝×××…××，C＝，試求A、B、C三者大小關系．【思路點撥】利用分數(shù)乘法的性質(zhì)，分子乘分子做積的分子，分母乘分母做積的分母．A＝，B＝，A×B＝（A和B的分子分母約分后可得）【規(guī)范解答】解：A＝∧×．B＝∧×．比較發(fā)現(xiàn)A和B的前49項，A的每一項都比B的每一項小，A的第五十項又小于1，因此得出A＜B．C×．得：A＜C＜B．答：A、B、C三者大小關系為：A＜C＜B．．【考點評析】本題幫助解題的兩點在于：①分數(shù)乘法的性質(zhì)，分子乘分子做積的分子，分母乘分母做積的分母．②一個數(shù)乘以小于一的數(shù)后比原來?。澹獯痤}（共7小題，滿分44分）23．（6分）a，b互為倒數(shù)，如果A＝+，B＝+，那么試著比較A、B的大小?！舅悸伏c撥】計算B﹣A，如果A﹣B＞0，則A＞B；如果A﹣B＝0，則A＝B；如果A﹣B＜0，則A＜B，據(jù)此解答即可?！疽?guī)范解答】解：A﹣B＝+﹣（+）＝+﹣﹣＝＝＝因為a，b互為倒數(shù)，所以ab＝1＝0所以A＝B?！究键c評析】本題主要考查了比較大小，關鍵是明確用做差法比較兩個數(shù)的大小。24．（6分）比較和的大?。舅悸伏c撥】觀察這兩個分數(shù)，它們的分子都比分母小1，所以可以用1減去這兩個分數(shù)，進而得到兩個分子是1的分數(shù)，分數(shù)的分子相同，分母小的分數(shù)大，所得的分數(shù)結(jié)果越大，用1減掉的那個分數(shù)越小，據(jù)此作答即可．【規(guī)范解答】解：1﹣＝1﹣＝＞所以，＞故答案為：＞．【考點評析】某些分子分母之間的關系相差不大的分數(shù)作比較時，如果分數(shù)結(jié)構復雜不適合通分解決，取它們的與1的差是比較有效的方法，但必須對分數(shù)有特定要求．25．（6分）下面兩個算式誰大誰小？1995+19941996+1993【思路點撥】計算兩個算式的差，如果兩個算式的差等于0，則兩個算式相等；根據(jù)兩個算式的差判斷即可?！疽?guī)范解答】解：經(jīng)分析可列式：（1995+1994）﹣（1996+1993）＝（1995++1994+）﹣（1996++1993+）＝（1995+1994﹣1996﹣1993）+（+﹣﹣）＝0答：這兩個算式大小相等?！究键c評析】本題考查異分母分數(shù)大小比較，需要掌握異分母分數(shù)大小比較方法。26．（6分）比較下面每組分數(shù)的大小。