第三講-絕對(duì)值及其應(yīng)用

第三講絕對(duì)值及其應(yīng)用001課堂目標(biāo)知識(shí)1.掌握絕對(duì)值的含義；2.掌握正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的絕對(duì)值的算法.方法1.靈活應(yīng)用絕對(duì)值比較大?。?.靈活掌握絕對(duì)值在解題中的應(yīng)用；2.掌握非負(fù)數(shù)的應(yīng)用.002知識(shí)梳理1.一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作.【答案】原點(diǎn)；2.正數(shù)的絕對(duì)值是，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是，0的絕對(duì)值是.即當(dāng)a＞0時(shí)，；當(dāng)a＜0時(shí)，；當(dāng)a=0時(shí)，.【答案】它本身；它的相反數(shù)；0【注意】：絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是__________.所以若，那么a就是非負(fù)數(shù)；若，那么a就是非正數(shù).【答案】正數(shù)和0003例題精析絕對(duì)值的定義絕對(duì)值的定義題型一例1例1①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于本身的數(shù)只有正數(shù)；③不相等的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值不相等；④絕對(duì)值相等的兩數(shù)一定相等；⑤只有負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；⑥任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)．

其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，故①正確；

②絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤；

③不相等的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值可能相等，如2與2，故③錯(cuò)誤；

④絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，故④錯(cuò)誤；

⑤負(fù)數(shù)和0的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；

⑥任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)，故⑥正確；

綜上所述，①⑥正確，正確的個(gè)數(shù)為2，

故選：C．例2下列說法中正確的是例2A．若|a|=|b|，則a=bB．若|a|=|b|，則a，b互為相反數(shù) C．a(chǎn)的絕對(duì)值一定是負(fù)數(shù)D．若一個(gè)數(shù)小于它的絕對(duì)值，則這個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)【答案】D變式1在數(shù)軸上，下面說法中不正確的是（變式1A．兩個(gè)有理數(shù)，絕對(duì)值小的離原點(diǎn)近B．大數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)在右邊 C．兩個(gè)負(fù)數(shù)，較大的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離原點(diǎn)近D．兩個(gè)有理數(shù)，大數(shù)離原點(diǎn)近【答案】D變式2下列說法中，正確的有變式2①負(fù)數(shù)沒有絕對(duì)值；②絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0；③任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以（1）錯(cuò)誤；絕對(duì)值最小的有理數(shù)是0，所以（2）正確；任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，所以（3）正確；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，所以（4）正確．

故選：C．絕對(duì)值的計(jì)算絕對(duì)值的計(jì)算題型二例1計(jì)算：______；______；______；______；______.例1【答案】3.7；0；3.3；0.75；0.75變式1寫出下列各數(shù)的絕對(duì)值：6，3.5，0，，，4，1.2，π.變式1【答案】6；3.5；0；；；1.2；π例2若|x|=5，|y|=2且x＜0，y＞0，則x+y=例2A．7 B．7 C．3 D．3 【答案】D【分析】由絕對(duì)值的定義，得x=±5，y=±2，再根據(jù)x＜0，y＞0，確定x、y的具體對(duì)應(yīng)值，最后代入計(jì)算x+y的值．【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，

∴x=±5，y=±2，

∵x＜0，y＞0，

∴x=5，y=2，

∴x+y=3．

故選：D．例3如果|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b，則ab的值是例3【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先根據(jù)絕對(duì)值的意義求得a，b的值，再由|a+b|=a+b確定出a與b的對(duì)應(yīng)值有兩種可能性，然后分別代入ab，根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：∵|a|=4，|b|=2，

∴a=±4，b=±2，

∵|a+b|=a+b，

∴a+b＞0，

∴a、b同正即a=4，b=2，或a=4，b=2．

當(dāng)a=4，b=2時(shí)，ab=42=2；

當(dāng)a=4，b=2時(shí)，ab=4（2）=4+2=6．

故ab的值為：2或6．變式2若，，則_________.變式2【答案】4或2或4或2【解答】解：∵|x|=3，|y|=1，

∴x=±3，y=±1，

∴x+y=4或2或4或2，

故x+y的值為：4或2或4或2．變式3若，是5的相反數(shù)，則_________.變式3【答案】1或9變式4若m滿足，則m的取值是_________.變式4【答案】1或5例4如果，則a一定是（）例4A．非正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．正數(shù) 【答案】A【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：∵|3a|=3a，

∴3a≥0，

∴a≤0，

即a一定是非正數(shù)．

故選：A．變式5若|a|=a，則a的值不可以是變式5A．2 B．5 C．0 D．0.5 【答案】A【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：因?yàn)閨a|≥0，

所以|a|的值是非負(fù)數(shù)．

|a|=a，a是非負(fù)數(shù)，所以a是負(fù)數(shù)或零．

故選：A．比較大小比較大小題型三例1在有理數(shù)，1，0，2中，最小的數(shù)是（）例1A．0 B． C．1 D．2 【答案】C例2下列比較有理數(shù)的大小，正確的是例2A． B． C． D． 【答案】C變式1下列各數(shù)中，比2021小的是變式1A．2022 B．2021 C．0 D．0.1 【答案】A例3已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，則下列關(guān)系正確的是例3A．b<﹣a<a<﹣b B．﹣a<b<a<﹣b C．﹣a<b<﹣b<a D．b<a<﹣b<﹣a 【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】比較大小我們可以使用代值的方法.【答案】A【分析】根據(jù)：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，可得：a＜0，b＞0，a＜b，據(jù)此判斷出a、a、b、b的大小關(guān)系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，

∴a＜0，b＞0，a＜b，

∴b＜a＜a＜b．

故選：A．變式2有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，把a(bǔ)、b、a、b、0按照從小到大的順序排列，正確的是變式2A．a(chǎn)<a<0<b<b B．a(chǎn)<a<0<b<b C．b<a<0<a<b D．a(chǎn)<0<a<b<b 【答案】C【分析】根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)和0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，即可解答．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，

則b＜a＜0＜a＜b．

故選：C．變式3若0＜m＜1，m、m2、1m變式3A． B． C． D． 【答案】B絕對(duì)值的化簡(jiǎn)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)題型四例1已知1≤x≤2，則化簡(jiǎn)代數(shù)式3|x2||x+1|的結(jié)果是例1A．4x+5 B．4x+5 C．4x5 D．4x5 【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】絕對(duì)值的化簡(jiǎn)主要是看絕對(duì)值內(nèi)的正負(fù)性，若為正則直接去絕對(duì)值，若為負(fù)則加上負(fù)號(hào).【答案】A【分析】由于1≤x≤2，根據(jù)不等式性質(zhì)可得：x2≤0，x+1≥0，再依據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵1≤x≤2，

∴x2≤0，x+1≥0，

∴3|x2||x+1|=3（2x）（x+1）=4x+5；

故選：A．變式1當(dāng)1＜x＜5時(shí)，化簡(jiǎn)|x1|+|x6|=變式1【答案】5．【分析】先運(yùn)用不等式性質(zhì)得出：x1＞0，x6＜0，再運(yùn)用絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵1＜x＜5，

∴x1＞0，x6＜0，

∴|x1|+|x6|=x1（x6）=5；

故答案為：5．例2如圖，化簡(jiǎn)代數(shù)式|ba||a1|+|b+2|的結(jié)果是例2【方法總結(jié)】在數(shù)軸上，左右【方法總結(jié)】在數(shù)軸上，左右<0，右左>0.【分析】根據(jù)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，可以得出ba，a1、b+2的符號(hào)，進(jìn)而化簡(jiǎn)即可．【解答】解：由有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置，可得，1＜b＜0，1＜a＜2，

所以有ba＜0，a1＞0，b+2＞0，

因此|ba||a1|+|b+2|=ab（a1）+（b+2）=aba+1+b+2=3，

故答案為：3．例3有理數(shù)a，b，c例3化簡(jiǎn)：|a+b||b1||ac||1c|=_______.【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：b＜a＜0＜c＜1，

∴a+b＜0，b1＜0，ac＜0，1c＞0，

則原式=ab+b1+ac1+c=2．變式2已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡(jiǎn)|a+c||ab|結(jié)果是變式2【答案】c+b．【分析】先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定它們所表示的數(shù)的和的大小關(guān)系，再根據(jù)有理數(shù)的加減法法則，判斷a+c、ab的正負(fù)，利用絕對(duì)值的意義化去絕對(duì)值符號(hào)，加減得結(jié)論．【解答】解：由數(shù)軸知：b＜a＜0＜c，c＞|a|，

∴a+c＞0，ab＞0，

所以|a+c||ab|

=a+ca+b

=c+b，

故答案為：c+b．變式3數(shù)軸上，有理數(shù)a、b、a、c的位置如圖，則化簡(jiǎn)|a+c|+|a+b|+|cb|的結(jié)果為（）變式3A． B． C． D． 【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上a、b、a、c的位置去掉絕對(duì)值符號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：由圖可知a＜0＜b＜a＜c，

∴a+c＞0，a+b＜0，cb＞0，

∴|a+c|+|a+b|+|cb|=a+cab+cb=2c2b．

故選：C．變式4已知a、b、c的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+b||ca|+|b+2c|=變式4【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由圖可知：c＜a＜b，|a+b||ca|+|b+2c|=b+a（ac）（b+2c）=c．【解答】解：由圖可知：c＜a＜b，

∴|a+b||ca|+|b+2c|=b+a（ac）（b+2c）=c，

故答案為c．絕對(duì)值的應(yīng)用絕對(duì)值的應(yīng)用題型五例1代數(shù)式|x+2|+|2|的最小值等于例1【答案】2．【分析】|x+2|≥0，|2|=2，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵|x+2|≥0，|2|=2，

∴|x+2|+|2|的最小值2．

故答案為：2．例2若a為有理數(shù)，則|a3|+|a+4|的最小值是_______，|a+2||a1|的最大值是_______例2【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1.|xa|+|xb|有最小值，可以看做是數(shù)軸上的點(diǎn)到a、b的距離之和，那么當(dāng)介于a、b之間時(shí)，就有最小值|a|+|b|.2.|xa||xb|有最大值，可以看做是數(shù)軸上的點(diǎn)到a、b的距離之差，那么當(dāng)位于a、b之外時(shí)，就有最大值|ab|.【答案】7；3變式1|x6|+|x1|的最小值是變式1【答案】5變式2求|x2|+|x7|的最小值是_______；|x2||x7|的最大值是變式2【答案】5；5變式3求|x1|+|x+4|的最小值是變式3【答案】5例3若ab≠0，那么的取值不可能是（）例3A．2 B．0 C．1 D．2 【答案】C例4已知a，b，c為有理數(shù)且abc≠0，則_______.例4【答案】3或3或1或1變式4已知a，b為非零有理數(shù)，則的值為（）變式4A．±2 B．0 C．±2或0 D．2 【答案】C變式5已知，那么_______.變式5【答案】1或3絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用題型六例5已知，則______，______.例5【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】非負(fù)數(shù)+非負(fù)數(shù)=0，那么它們應(yīng)該都等于0.【答案】1；2例6已知，則______，______.例6【答案】3；6例7已知與互為相反數(shù)，則______.例7【答案】4變式6已知，則______，______.變式6【答案】1；2變式7已知與互為相反數(shù)，則______.變式7【答案】8第三講絕對(duì)值及其應(yīng)用作業(yè)作業(yè)作業(yè)一絕對(duì)值的定義1.下列說法正確的是（）A．最小的正整數(shù)是1B．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小C．絕對(duì)值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)D．一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定比0大【答案】A【分析】A：根據(jù)整數(shù)的特征，可得最小的正整數(shù)是1，據(jù)此判斷即可．

B：負(fù)數(shù)的相反數(shù)比它本身大，0的相反數(shù)等于它本身，據(jù)此判斷即可．

C：絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0，據(jù)此判斷即可．

D：一個(gè)非零數(shù)的絕對(duì)值比0大，0的絕對(duì)值等于0，據(jù)此判斷即可．【解答】解：∵最小的正整數(shù)是1，

∴選項(xiàng)A正確；

∵負(fù)數(shù)的相反數(shù)一定比它本身大，0的相反數(shù)等于它本身，

∴選項(xiàng)B不正確；

∵絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)或0，

∴選項(xiàng)C不正確；

∵一個(gè)非零數(shù)的絕對(duì)值比0大，0的絕對(duì)值等于0，

∴選項(xiàng)D不正確．

故選：A．2.下列說法不正確的是（）A．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)B．0的絕對(duì)值是0C．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)D．1是絕對(duì)值最小的正數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，以及絕對(duì)值得性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0，進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，說法正確；

B、0的絕對(duì)值是0，說法正確；

C、一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，說法正確；

D、沒有絕對(duì)值最小的正數(shù)，原來的說法錯(cuò)誤．

故選：D．3.一個(gè)負(fù)數(shù)在增大時(shí)，它的絕對(duì)值在______（填“增大”或“減小”）；一個(gè)正數(shù)在增大時(shí)，它的絕對(duì)值在______（填“增大”或“減小”）.【答案】增大；增大作業(yè)二作業(yè)二絕對(duì)值的計(jì)算1.的絕對(duì)值是（）A．B．C．D．【答案】B2.等于（）A．B．C．D．【答案】A3.的相反數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】B4.若|x|=1，|y|=5，且x>0，y<0，則x+y=_______.【答案】45.若|x|=1，|y|=5，則x+y=_______.【答案】±6或±46.若|x|=2，|y|=3，且xy>0，則x+y=_______.【答案】±57.如果，則x一定是（）A．非正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．正數(shù) 【答案】A8.如果，則a+1一定是（）A．非正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．正數(shù) 【答案】C作業(yè)三作業(yè)三比較大小1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】A2.下列各數(shù)，依照從大到小順序排列的是（）A．20，6，2.13B．13，2.6，20C．2.6，13，20D．20，13.6，2【答案】B3.如果a、b都是實(shí)數(shù)，且a＜b，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A． B． C． D． 【答案】B4.如圖，數(shù)a在原點(diǎn)的左邊，則a、a、0的大小關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＜0＜a B．a(chǎn)＜a＜0C．a(chǎn)＜0＜a D．a(chǎn)＜a＜0【答案】C【分析】根據(jù)圖示，可得：a＜0，a＞0，據(jù)此判斷出a、a、0的大小關(guān)系即可．【解答】解：根據(jù)圖示，可得：a＜0，a＞0，

∴a＜0＜a．

故選：C．5.a，b在數(shù)軸上位置如圖所示，則a，b，a，b的大小順序是（）A．a(chǎn)＜b＜a＜b B．b＜a＜b＜a C．a(chǎn)＜b＜b＜a D．b＜a＜a＜b 【答案】D【分析】從數(shù)軸上a、b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出a＜0，a＞b，b＞0，b＞a，根據(jù)以上結(jié)論即可得出答案．【解答】解：從數(shù)軸上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，

∴a＜0，a＞b，b＞0，b＞a，

即b＜a＜a＜b，

故選：D．作業(yè)四作業(yè)四絕對(duì)值的化簡(jiǎn)1.數(shù)a的位置如圖，化簡(jiǎn)|a|+|a+4|=______.【答案】4．【