五年級上冊數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第23講數(shù)陣圖

第23講數(shù)陣圖知識與方法數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，需要綜合運用各種數(shù)學(xué)知識來解決問題，而往往同學(xué)們喜歡毫無順序的“瞎試”，本講要介紹一些通用的方法。所以，一般是先用公式法分析出重復(fù)數(shù)，再用嘗試法進行試填。方法一：嘗試法：所給的是一個等差數(shù)列，并且每條線上的數(shù)是奇數(shù)個時，中間數(shù)只能填最大數(shù)、最小數(shù)或中間數(shù)，因此可以依據(jù)這個規(guī)律進行嘗試。方法二：公式法：線和×線數(shù)＝數(shù)字和＋重復(fù)數(shù)×重復(fù)次數(shù)初級挑戰(zhàn)1將1～7分別填入下圖的7個○內(nèi)，使每條線段上三個○內(nèi)數(shù)的和相等。思維點撥：觀察發(fā)現(xiàn)，每條線上的三個數(shù)之和相等，而這三條線相交剛好重復(fù)了一個數(shù)，我們叫做重復(fù)數(shù)。除去重復(fù)數(shù)，三條線上其他兩數(shù)之和應(yīng)相等。1～7中，找出三組和相等的六個數(shù)即可，剩下的一個數(shù)填中間。答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分別填入下圖的○內(nèi)，使每條線段上3個○內(nèi)數(shù)的和相等。答案：中間重復(fù)數(shù)為1或6或11。給出一種填法：（答案不唯一）初級挑戰(zhàn)2將數(shù)字1～8填入圖中，使橫行方框中的數(shù)之和與豎列方框中的數(shù)之和相等且為19。思維點撥：本題的關(guān)鍵在于先確定中間重復(fù)數(shù)。橫行和豎列的和為19×2＝38，而實際上所有方框中的數(shù)之和為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出來的2正好是中間重復(fù)的數(shù)。答案：（答案不唯一）能力探索2將2～8填入下圖的方框中，使橫行、豎列的和相等且為20。答案：中間重復(fù)數(shù)：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。（答案不唯一）中級挑戰(zhàn)1將1～10這十個自然數(shù)填入下圖的○中，使每個圓上六個數(shù)的和為29。思維點撥：兩個大圓圈的和為29×2＝58，而圓圈上所有的數(shù)之和為：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中間兩個圓圈數(shù)（重復(fù)數(shù)）的和為58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中間的兩個圓圈數(shù)分別為1和2，再兩兩配對填出其它數(shù)即可。答案：（答案不唯一）能力探索3把數(shù)字1～8分別填入下圖的小圓圈內(nèi)，使每個五邊形上5個數(shù)的和都等于20。答案：中間兩數(shù)之和：20×2－（1＋2＋3＋…＋8）＝4。4＝1＋3，因此中間兩數(shù)分別為1和3。（答案不唯一）中級挑戰(zhàn)2將1～6填入下圖的○內(nèi)，使三角形的每條邊上的三個○內(nèi)的數(shù)的和都等于9。思維點撥：由題意可知：三條線和為9×3＝27，而6個圓圈內(nèi)的數(shù)的和為1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，因為三角形三個頂點處的數(shù)分別都算了2次，因此可算出三個頂點處的數(shù)之和為27－21＝6。而6＝1＋2＋3，由此可先確定三個頂點處的數(shù)為1、2、3，再嘗試求出結(jié)果。答案：（答案不唯一）能力探索4將1～6填入下圖的○內(nèi)，使三角形的每條邊上的三個○內(nèi)的數(shù)的和都等于12。答案：先算出三個頂點數(shù)之和為：12×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝15，因為15＝4＋5＋6，因此三個頂點的數(shù)為4、5、6，具體填法如下：（答案不唯一）聰明泉李善蘭十九世紀(jì)六十至九十年代，一批近代科學(xué)家脫穎而出，浙江海寧人李善蘭就是其中的佼佼者。李善蘭字壬叔，號秋紉，浙江海寧人，出生于一個書香門第，少年時代便喜歡數(shù)學(xué)。十歲那年，李善蘭在讀家塾時，從書架上“竊取”中國古代數(shù)學(xué)名著——《九章算術(shù)》“閱之”，僅靠書中的注解，竟將全書426個數(shù)字應(yīng)用題全部解出，在中國近代史上，李善蘭以卓越的數(shù)學(xué)研究引人矚目。他編輯的《則古昔齋算學(xué)》中包括數(shù)學(xué)著作13種，李善蘭早期研究的數(shù)學(xué)課題，主要是我國明清以來的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)。比較突出的是他對“尖錐術(shù)”的獨立研究。他在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)垛積術(shù)的極限方法基礎(chǔ)上，發(fā)明了尖錐術(shù)，創(chuàng)立了各種三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式，以及幾個重要積分公式的雛形，李善蘭在創(chuàng)造“尖錐術(shù)”的時候，還沒有接觸到微積分，但他實際上具有解析幾何思想和微積分思想。拓展挑戰(zhàn)把1～10各數(shù)填入“六一”的10個空格里，使在同一直線的各數(shù)的和都是12。思路引領(lǐng)：圖形中一共有五條直線，這五條直線的和為12×5＝60，而所有數(shù)之和為1＋2＋…＋10＝55，因此可先確定重復(fù)數(shù)為5。再根據(jù)同一直線的各數(shù)的和都是12，嘗試填出其它數(shù)即可。給出一種具體填法如下：能力探索5把1～9各數(shù)填入“七一”的9個空格里，使在同一直線的各數(shù)的和都是13。答案：因為同一直線上的數(shù)相加的和都是13，所以圖中4條直線相加的和應(yīng)是13×4＝52，重復(fù)了兩個數(shù)。而1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，所以重復(fù)兩數(shù)的和為52－45＝7,1＋6＝7,2＋5＝7,3＋4＝7。當(dāng)重復(fù)數(shù)為3和4時，有如下答案（答案不唯一）：課堂小測1、將1～7七個自然數(shù)分別填入圖中圓圈里，使每條線上三個數(shù)的和相等。答案：（答案不唯一）2、用數(shù)字1、3來填數(shù)，使正方形每邊的和為7，四邊的和為18。答案：正方形每邊的和為7，只能是3＋3＋1＝7，四邊的和為18，即8個數(shù)的和為18，可以用5個3和3個1。3、把5、6、7、8、9、10這六個數(shù)填入下圖中三條邊的○內(nèi)，使得每條邊上的三個數(shù)之和是21。答案：6個數(shù)的和：5＋6＋7＋8＋9＋10＝45，三條邊上的和：21×3＝63，三個頂點上重復(fù)數(shù)之和：63－45＝18，18＝5＋6＋7，因此，三個頂點上的數(shù)為：5、6、7。嘗試得出一種填法：※4、將4、5、6、7、8、9、10、11八個數(shù)分別填在圖中，使每一橫行、每一豎列的三個數(shù)的和都相等。答案：如果每一橫行、每一豎列的數(shù)分別加起來，左圖中間位上的數(shù)就加了兩次，是本題的重復(fù)數(shù)，假設(shè)這個重復(fù)數(shù)為A，每一橫行或豎列的和為B，那么：B×3＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋A＝60＋A。因為B×3是3的倍數(shù)，所以60＋A也是3的倍數(shù)，所以，A可能是6或9，不可能是4、5、7、8、10、11。如果重復(fù)數(shù)A為6，根據(jù)每行、每列的三個數(shù)之和都相等，則每行或每列的三個數(shù)之和是66÷3＝22。經(jīng)過嘗試，得出以下的解：如果A＝9，則每行或每列的三個數(shù)之和是69÷3＝23。經(jīng)過嘗試，得出以下的解：課后作業(yè)1、將1、3、5、7、9這五個數(shù)分別填入下圖的各正方形中，組成一個“十字型數(shù)陣圖”，使圖中橫行三個數(shù)的和與豎列三個數(shù)的和相等。答案：中間數(shù)為1或5或9，給出一種填法如下：（答案不唯一）2、將