專題862線面垂直的判定與性質(zhì)線面角

【專題8.6.18.6.2空間直線與平面的垂直】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【題型1：異面直線的夾角問(wèn)題】知識(shí)講解知識(shí)講解【考向1：求異面直線的夾角】例題精選例題精選【例題1】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）在四面體中，已知，分別是，的中點(diǎn)，若，，，則與所成角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·遼寧遼陽(yáng)·一模）如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，且，、、分別為、、的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高三下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）在正四棱柱中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則直線與所成夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，和是異面直線，，分別為線段上的點(diǎn)，且，則與所成角的大小為．【相似題3】（2425高三上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別是棱，BC，的中點(diǎn)，則異面直線AD與EF所成角的余弦值為．【考向2：已知異面直線的夾角求其他量】例題精選例題精選【例題1】（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知在正四棱臺(tái)中，．若異面直線與所成角的余弦值為，則正四棱臺(tái)的體積為．【例題2】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，異面直線與所成角的余弦值為，則的值為．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在空間四面體中，若棱與成60°角，且，則連接、、、四條棱的中點(diǎn)E、F、G、H所得的四邊形的面積等于.

【相似題2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四面體中，E、F分別是的中點(diǎn).若所成的角為，且，求的長(zhǎng).【相似題3】（2425高一下·全國(guó)·課堂例題）如圖，已知分別是三棱錐的棱的中點(diǎn)，與所成的角為60°，且，求EG的長(zhǎng)．

【題型2：線面垂直定理的理解】知識(shí)講解知識(shí)講解1.線面垂直的定義 若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱直線與平面垂直，記作。其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。 該定義強(qiáng)調(diào)“任意一條直線”，意味著無(wú)論在平面內(nèi)如何選取直線，都與直線垂直，這是線面垂直最本質(zhì)的特征，也是判斷線面垂直的理論基礎(chǔ)，但在實(shí)際證明中，直接用定義判定不太方便，因?yàn)楹茈y窮舉平面內(nèi)所有直線。2.線面垂直的判定定理 定理內(nèi)容：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。 理解要點(diǎn)： 必須是平面內(nèi)的兩條相交直線，僅有一條直線垂直，或兩條平行直線垂直，都不能得出線面垂直的結(jié)論。例如在長(zhǎng)方形桌面$ABCD$中，，但$AD$與桌面所在平面不垂直；若，直線且，也不能直接得出垂直于桌面所在平面。 該定理將“線面垂直”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”的問(wèn)題，是證明線面垂直的重要方法。比如在正方體中，證明平面$ABCD$，可通過(guò)證明且，，從而得出結(jié)論。3.線面垂直的性質(zhì) 性質(zhì)一：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。即若，，則。這是線面垂直定義的逆用，也是證明線線垂直的重要依據(jù)，將線面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線垂直關(guān)系。 性質(zhì)二：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。若，，則。此性質(zhì)揭示了“線面垂直”與“線線平行”之間的聯(lián)系，常用于證明空間中兩條直線平行。例如在建筑工程中，兩根垂直于地面的立柱是相互平行的。 性質(zhì)三：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么經(jīng)過(guò)這條直線的所有平面都垂直于這個(gè)平面。即若，，則。這體現(xiàn)了線面垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。例題精選例題精選【例題1】（2425高一下·天津·期中）已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【例題2】（2425高一下·河南·期中）若m，n為空間中兩條直線，，為平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．，，，則D．若m，n是異面直線，則m，n在內(nèi)的射影為兩條相交直線相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·福建廈門(mén)·一模）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【相似題2】多選題（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列命題為真命題的有（

）A．平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線m垂直 B．過(guò)直線m有無(wú)數(shù)個(gè)平面與垂直C．與直線m垂直的直線可能與平面平行 D．與直線m平行的平面可能與平面垂直【相似題3】【多選】（2425高二下·山東濰坊·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)、為兩個(gè)平面，、為兩條直線，且，則下述四個(gè)命題是真命題的是（

）A．若，則或 B．若，則或C．若且，則 D．若與，所成的角相等，則【題型3：線面垂直的判定】知識(shí)講解知識(shí)講解【考向1：線面垂直的證明】例題精選例題精選【例題1】（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面為菱形，.(1)求證：平面BDS；(2)若，求四棱錐的體積.【例題2】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知矩形，過(guò)點(diǎn)作平面，再過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若平面交于點(diǎn)．求證：．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2324高一下·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求三棱錐的體積.【相似題2】（2425高二下·甘肅酒泉·階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求證：平面.【相似題3】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，平面，底面為矩形，于點(diǎn)．求證：平面；【考向2：由垂直確定點(diǎn)的位置】例題精選例題精選【例題1】（2223高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱均與底面垂直，側(cè)棱長(zhǎng)為2，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面（含邊界）上的動(dòng)點(diǎn).要使平面，則線段的長(zhǎng)的最大值為（

）

A． B． C． D．【例題2】（2223高一下·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖，直三棱柱，，分別是，的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使平面.如果存在，求出點(diǎn)的位置，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高三上·山西大同·期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，且分別為棱的中點(diǎn)，平面與平面交于直線.(1)求證：；(2)若與底面所成角為，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，平面.【相似題2】（2223高二下·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn).

(1)若，求三棱柱的體積；(2)證明：平面；(3)請(qǐng)問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，平面，試證明你的結(jié)論.【相似題3】（2223高一下·山東青島·期中）如圖，在四棱錐中，面，，，，，為線段上的點(diǎn)．(1)證明：面；(2)若滿足面，求的值．【題型4：線面垂直的性質(zhì)】知識(shí)講解知識(shí)講解線面垂直的性質(zhì) 性質(zhì)一：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。即若，，則。這是線面垂直定義的逆用，也是證明線線垂直的重要依據(jù)，將線面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線垂直關(guān)系。 性質(zhì)二：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。若，，則。此性質(zhì)揭示了“線面垂直”與“線線平行”之間的聯(lián)系，常用于證明空間中兩條直線平行。例如在建筑工程中，兩根垂直于地面的立柱是相互平行的。 性質(zhì)三：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么經(jīng)過(guò)這條直線的所有平面都垂直于這個(gè)平面。即若，，則。這體現(xiàn)了線面垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系例題精選例題精選【例題1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2．證明：．【例題2】（2425高二上·重慶長(zhǎng)壽·期末）如圖，在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，且．

(1)求的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求證：．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中，，D，E分別是棱BC，上的點(diǎn)（點(diǎn)不同于點(diǎn)），且平面，F(xiàn)為的中點(diǎn)．求證：直線平面．【相似題2】（2324高一下·江蘇淮安·期中）已知三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為的重心，(1)求證：；(2)已知平面，且平面．求證：．【相似題3】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2．，分別為與上的點(diǎn)，且，．求證：；【題型5：直線與平面的夾角】知識(shí)講解知識(shí)講解【考向1：直接法】例題精選例題精選【例題1】（2425高二上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖，底面是正方形的直棱柱中，，.(1)求直線與平面ABCD所成角的正切值；(2)求證：.【例題2】（2425高二上·廣東·期末）如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，，.(1)求證：;(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正切值.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2324高一下·上海嘉定·期末）如圖，底面ABCD為菱形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，且平面ABCD，E、F分別是為PD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAB；(2)若，，，求直線BE與平面ABCD所成角的大?。鞠嗨祁}2】（2324高一下·吉林長(zhǎng)春·期末）在四棱錐中，平面ABCD，，∥，，，E為PD中點(diǎn)．(1)求證：∥平面PAB；(2)求直線CE與平面PAD所成的角的正弦值．（要求用幾何法解答）【相似題3】（2324高一下·浙江寧波·期末）如圖，已知在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，.(1)證明：面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【考向2：等體積法】例題精選例題精選【例題1】（2425高三上·浙江金華·期末）在斜三棱柱中，，，且.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【例題2】（2324高一下·安徽馬鞍山·期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，，分別為線段的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)證明：平面；(3)若，，記與平面所成角為，求的最大值.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2324高一下·廣東廣州·期末）如圖，是半球O的直徑，P是半球底面圓周上一點(diǎn)，Q是半球面上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若,求直線與平面所成角的正弦值．【相似題2】（2324高一下·貴州六盤(pán)水·期末）如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【相似題3】（2324高一下·山東日照·期末）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)．將沿DE翻折到，沿EF翻折到．(1)求證：平面；(2)若F是邊BC上的中點(diǎn)，求點(diǎn)S到平面的距離；(3)若，連接DF，設(shè)直線SE與平面所成角為，求的最大值．課后針對(duì)訓(xùn)練課后針對(duì)訓(xùn)練一、單選題1．（2324高二上·福建福州·期末）已知不重合的直線和平面，則下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．（2024·湖北荊州·三模）已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，體積為，則正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．3．（2324高一下·福建福州·期末）在正三棱柱中，，，分別是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2324高二上·福建泉州·期末）棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值為（

）A．4 B．6 C． D．二、多選題5．（2324高一下·福建南平·期中）如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，，點(diǎn)C是圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)，D，E分別是PA、PC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面DEBC．三棱錐外接球的表面積是D．若，則直線BD與平面PAC所成角的余弦值為6．（2425高二上·福建莆田·期末）已知正四面體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．C． D．與所成角為三、填空題7．（2122高一下·福建福州·期末）如圖，在三棱柱中，已知平面，當(dāng)?shù)酌鏉M足條件時(shí)，有.8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，平面ABC，且，E為PB中點(diǎn)，于點(diǎn)F，寫(xiě)出圖中一條一定與EF垂直的線段為.

四、解答題9．（2223高二下·福建泉州·期末）如圖，在五面體中，平面，，，.

(1)若為線段的中點(diǎn)，證明平面(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值.10．（2024·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，為的中點(diǎn).(1)設(shè)平面與直線相交于點(diǎn)，求證：；(2)若，，，求直線與平面所成角的大小.11．（2324高一下·浙江衢州·期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面，，是線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積；(