凸顯運(yùn)算意義培養(yǎng)運(yùn)算能力

【摘要】“數(shù)與運(yùn)算”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在“10以內(nèi)的加法和減法”單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生首次接觸“運(yùn)算”——認(rèn)識(shí)加法減法兩種運(yùn)算及進(jìn)行運(yùn)算應(yīng)用。該部分內(nèi)容抽象，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。文章通過對(duì)三種版本的數(shù)學(xué)教材的橫向比較，確定了“意義驅(qū)動(dòng)下的運(yùn)算應(yīng)用”這一單元教學(xué)主線，再分課時(shí)實(shí)施，以切實(shí)有效地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。【關(guān)鍵詞】加法和減法運(yùn)算意義運(yùn)算能力《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域，在小學(xué)階段，“數(shù)與代數(shù)”包括“數(shù)與運(yùn)算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)主題。蘇教版數(shù)學(xué)教材中，“10以內(nèi)的加法和減法”這一單元承載著認(rèn)識(shí)加法、減法及初步感知加法模型的重要學(xué)習(xí)任務(wù)，具體包括加法和減法的含義、10以內(nèi)加法和減法的口算及解決簡單的加法、減法實(shí)際問題等內(nèi)容，這些內(nèi)容對(duì)學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及生活都有重要的影響。教師作為學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者，針對(duì)這一單元內(nèi)容如何開展有效的教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升呢？本文主要從以下三個(gè)方面進(jìn)行探究。一、橫向梳理——明晰單元教學(xué)主線“10以內(nèi)的加法和減法”與“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”有著密切的關(guān)聯(lián)，人教版、蘇教版和北師大版三種數(shù)學(xué)教材均對(duì)此做了相關(guān)編排。人教版數(shù)學(xué)教材將數(shù)的認(rèn)識(shí)、分與合、相關(guān)的加減法等內(nèi)容編排在一起，前后再分成兩個(gè)獨(dú)立單元，如“1～5的認(rèn)識(shí)和加減法”單元按“認(rèn)識(shí)1～5各數(shù)→分與合→5以內(nèi)的加減法”的順序編排；蘇教版和北師大版數(shù)學(xué)教材將“認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)”和“10以內(nèi)的加法和減法”分成兩個(gè)獨(dú)立的單元，但北師大版數(shù)學(xué)教材中沒有單獨(dú)的“分與合”的內(nèi)容。通過比較，發(fā)現(xiàn)三種教材都是在認(rèn)識(shí)數(shù)的意義的基礎(chǔ)上再學(xué)習(xí)相應(yīng)的加減法；蘇教版和北師大版數(shù)學(xué)教材是集中長距式地幫助學(xué)生感受加法和減法的運(yùn)算意義；人教版和蘇教版數(shù)學(xué)教材更注重加減法口算的算法指導(dǎo)——想分合式。加法和減法概念較為抽象，因而加法和減法概念的形成需要一個(gè)較長的過程。三種版本的數(shù)學(xué)教材都注重讓學(xué)生在多樣情境中感受加法、減法的意義及它們之間的相互關(guān)系，因而都含有“連加、連減”“加減混合”“一圖多式”等內(nèi)容。其中關(guān)于“一圖多式”的內(nèi)容，蘇教版數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了“一圖一式→一圖二（加法）式→一圖二（減法）式→一圖四式”的遞進(jìn)式編排。對(duì)一年級(jí)學(xué)生來說，減法概念比加法概念更難理解。三種數(shù)學(xué)教材都有求部分?jǐn)?shù)的內(nèi)容安排，人教版和蘇教版數(shù)學(xué)教材采用了“括線”這一形象直觀的數(shù)學(xué)符號(hào)，再加上“？”就是完整簡單的實(shí)際問題，而北師大版數(shù)學(xué)教材用語言描述和“？”表示求部分?jǐn)?shù)這一簡單實(shí)際的問題；蘇教版數(shù)學(xué)教材又單獨(dú)安排了“求未知加數(shù)”這一內(nèi)容，既為后續(xù)的“20以內(nèi)的進(jìn)位加法”做鋪墊，又讓學(xué)生在求未知加數(shù)的過程中，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)減法運(yùn)算意義的理解。通過整體研究單元教學(xué)內(nèi)容，教師基于教材將加法和減法的含義、10以內(nèi)加法和減法的口算，以及解決簡單的加法、減法實(shí)際問題等內(nèi)容放在一起編排的意圖，確定了“意義驅(qū)動(dòng)下的運(yùn)算應(yīng)用”這一單元教學(xué)主線，在教學(xué)過程中關(guān)注運(yùn)算意義和運(yùn)算應(yīng)用的整體聯(lián)系。二、整體建構(gòu)——落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)“教材素材的選取應(yīng)盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過程，發(fā)展抽象能力、推理能力”。教學(xué)“10以內(nèi)加、減法”的可用資源就來源于現(xiàn)實(shí)——很多學(xué)生在生活中遇到過物品增加、減少的情境并進(jìn)行過簡單的加、減計(jì)算，這是學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，即學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)；學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了10以內(nèi)的數(shù)，并掌握了這些數(shù)的分與合，這是學(xué)生已積累的數(shù)學(xué)知識(shí)，即學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。在教學(xué)中，教師要充分尊重和運(yùn)用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，但也要意識(shí)到經(jīng)驗(yàn)是碎片化的、片面化的。通過單元整體教學(xué)，幫助學(xué)生逐漸擺脫部分生活經(jīng)驗(yàn)的誤導(dǎo)，進(jìn)而理解加法和減法運(yùn)算的意義。（一）動(dòng)態(tài)中初步感知蘇教版數(shù)學(xué)教材關(guān)于認(rèn)識(shí)加法、減法的例題都選用了動(dòng)態(tài)化情境，便于學(xué)生直觀感受數(shù)量的增加或減少，初步感知數(shù)量增加與“加法”、數(shù)量減少與“減法”的對(duì)應(yīng)一致性。教師基于學(xué)生的初步感知，不斷變化現(xiàn)實(shí)情境（圖1），引導(dǎo)學(xué)生找出這些情境中的共同點(diǎn)，進(jìn)而小結(jié)“只要是‘從總數(shù)5中去掉2，還剩下3’就可以用算式5-2=3表示”，再鼓勵(lì)學(xué)生為“5-2=3”這一算式講一個(gè)故事。學(xué)生在交流中忍不住發(fā)出“一個(gè)算式能講出這么多故事??！”的感慨。這樣的學(xué)習(xí)既初步培養(yǎng)了學(xué)生的模型意識(shí)和符號(hào)意識(shí)，又讓他們感受到數(shù)學(xué)簡約而不簡單的美妙，激發(fā)了學(xué)生積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感。如前文所述，加法、減法概念的形成需要一個(gè)較長的過程。若一直停留在動(dòng)態(tài)情境的初步感知水平，學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)就易形成思維定式，如看到“飛來”等類似題目就用加法，看到“吃掉”等就用減法，而這種解題策略往往不都奏效。為了讓學(xué)生深刻體會(huì)加法、減法兩種運(yùn)算的意義，教師還需引導(dǎo)學(xué)生在靜態(tài)的情境圖中進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)。（二）靜態(tài)中深化聯(lián)系學(xué)生在生活中積累的加法、減法經(jīng)驗(yàn)常是直覺性的，他們往往知其然而不知其所以然。如盒子里有2個(gè)蘋果，盒子外面有3個(gè)蘋果，能用算式“2+3=5”表示蘋果的總數(shù)；若告訴學(xué)生一共有5個(gè)蘋果，盒子外面有3個(gè)，讓他們說出盒子里面有幾個(gè)，他們知道答案“2”，卻仍會(huì)用算式“2+3=5”表示。這既說明學(xué)生對(duì)算式“2+3=5”的含義認(rèn)識(shí)模糊，也說明減法概念更為抽象。因而，在靜態(tài)情境中進(jìn)一步深化運(yùn)算意義的理解極有必要。教材中首次出現(xiàn)靜態(tài)情境圖寫算式是在認(rèn)識(shí)加法、減法后的練習(xí)中（圖2）：小朋友分成了兩部分，3人在跳繩，2人在旁邊看；小花分成了兩部分，左邊有2朵，右邊有2朵。學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，大多能將其合并成總數(shù)，并說出算式的含義。教材緊接著又專門編排了“得數(shù)是6、7的加法——一圖二（加法）式”的內(nèi)容，這幫助學(xué)生進(jìn)一步理解加法的運(yùn)算意義——加法就是把兩部分合起來的運(yùn)算。考慮到減法概念的抽象性，教材在“6、7減幾——一圖二（減法）式”的編排中以“扶”為主，例題后的看圖寫算式中都給出了減號(hào)前面的數(shù)（圖3），幫助學(xué)生逐步理解減法的運(yùn)算意義——減法就是從總數(shù)中去掉一部分求剩下多少的運(yùn)算。之后，關(guān)于8、9、10的加減法的教學(xué)則以“一圖四式”的形式展開。從“一圖一式”到“一圖多式”，不只是算式數(shù)量的簡單增加，而應(yīng)讓學(xué)生不斷發(fā)展對(duì)加法和減法運(yùn)算意義的認(rèn)識(shí)，感受加法算式之間、減法算式之間、加法減法算式之間的聯(lián)系，并體會(huì)到“減法是加法的逆運(yùn)算”。（三）需要中優(yōu)化算法認(rèn)識(shí)加法、減法的例題及部分練習(xí)都配有生動(dòng)有趣的情境圖，大大激發(fā)了學(xué)生觀察、想象、表達(dá)的積極性。教師因勢利導(dǎo)讓學(xué)生多表達(dá)，算式也在學(xué)生的主動(dòng)表達(dá)中脫口而出。這樣的教學(xué)弱化了“算”，而重在數(shù)和說。加、減法口算是本單元的重要內(nèi)容，教師應(yīng)適時(shí)讓學(xué)生感受到“算”的需要，進(jìn)而掌握算法。先出示算式“4-3”，引導(dǎo)學(xué)生說出“4-3表示從4個(gè)里面去掉3個(gè)”，沒有圖可以數(shù)出剩下的個(gè)數(shù)，引發(fā)學(xué)生自己畫圖表示“4-3”的需求。交流中發(fā)現(xiàn)可以畫圓圈、三角形或短豎線，這些圖有什么共同特點(diǎn)呢？都是把總數(shù)4分成了兩部分，一部分是去掉的3個(gè)，還有一部分是剩下的。課件相機(jī)出現(xiàn)分合式（圖4），進(jìn)而小結(jié)方法：口算4-3的得數(shù)，可以想4的分合式，4分成3和1，得數(shù)就是1。在學(xué)生需要的驅(qū)動(dòng)下探索算法、優(yōu)化算法，既尊重了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，便于他們將這一通法遷移到其他口算中，又是對(duì)運(yùn)算意義的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。本單元共有90道加減法算式（不含與0有關(guān)的加減法），想分合式是口算這些算式得數(shù)的通法，但是仍給學(xué)生記憶帶來了一定的負(fù)擔(dān)。怎樣才能算得又對(duì)又快？“一圖四式”可以有效激發(fā)學(xué)生的口算興趣，在課堂口算練習(xí)后（圖5），教師引導(dǎo)學(xué)生從中找出有聯(lián)系的算式。在數(shù)感較好的學(xué)生的帶動(dòng)下，他們把這12道算式分成了3組（圖6），而每組中的第一道算式又是按順序變化的，其中蘊(yùn)含著函數(shù)思想及和與差的變化規(guī)律。在單元整理練習(xí)中，學(xué)生將整個(gè)單元的90道算式調(diào)整為25組，只要記住其中一道算式的得數(shù)就能快速推算出余下3道（或1道）算式的得數(shù)，口算方法得到進(jìn)一步的優(yōu)化。優(yōu)化算法的過程，既幫助了學(xué)生感悟運(yùn)算之間的聯(lián)系，又培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。三、分層練習(xí)——滿足個(gè)性發(fā)展需求擁有運(yùn)算能力，首先表現(xiàn)為“能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法和算理之間的關(guān)系”，這是正確進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)；其次表現(xiàn)為“能夠理解運(yùn)算的問題，選擇合理簡潔的運(yùn)算策略解決問題”，這是對(duì)運(yùn)算的應(yīng)用。前文主要分析了加法和減法運(yùn)算意義的內(nèi)化及口算方法的優(yōu)化，并沒有提及解決簡單實(shí)際問題，主要是因?yàn)楸締卧臃ê蜏p法運(yùn)算意義的教學(xué)也是解決簡單實(shí)際問題的教學(xué)。在練習(xí)中則應(yīng)包含適當(dāng)?shù)暮唵螌?shí)際問題，以了解學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的掌握情況?？紤]到學(xué)生認(rèn)知水平的差異，教師設(shè)計(jì)了分層作業(yè)，使不同的學(xué)生獲得應(yīng)有的發(fā)展。分層作業(yè)中有基礎(chǔ)題，如口算和看圖寫算式；有提高題，如考查算式聯(lián)系，1＋5＝6→2＋5＝（）→（）＋5＝（）→（）＋（）＝（）；有拓展題，如為算式畫一個(gè)故事圖，既可以是“5-2=3”這樣單個(gè)算式的故事，也可以是“5（）（）”算式接龍式的連環(huán)畫。其中，“為算式畫故事圖”的作業(yè)形式很受學(xué)生喜愛，畫故事讓學(xué)生的創(chuàng)造性得以充分展現(xiàn)，