2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（文科專用）-高考數(shù)學易混淆知識點辨析

2025年高考數(shù)學模擬檢測卷（文科專用）-高考數(shù)學易混淆知識點辨析一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}+x$，若$f(x)$的圖像與直線$y=x$的圖像有兩個不同的交點，則實數(shù)$x$的取值范圍是（）（1）$x>1$；（2）$x<1$；（3）$x\neq1$；（4）$x>0$。2.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$中存在常數(shù)$C$，使得$a_n=C$的項的個數(shù)是（）（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。3.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，若$f'(x)=0$的解為$x_1$，$f''(x)=0$的解為$x_2$，則$f(x)$在區(qū)間$(x_1,x_2)$上的單調性是（）（1）單調遞增；（2）單調遞減；（3）先增后減；（4）先減后增。4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_3+a_7=a_1+a_9$，則$a_5$的值為（）（1）$a_1$；（2）$2a_1$；（3）$3a_1$；（4）$4a_1$。5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-x$，若$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上單調遞增，則實數(shù)$x$的取值范圍是（）（1）$0<x<1$；（2）$x>1$；（3）$x<0$；（4）$x\neq0$。二、填空題6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$，若$f'(x)=0$的解為$x_0$，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極值。7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_2+a_3+a_4=10$，則$a_1$的值為。8.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+x^2-1$，若$f'(x)=0$的解為$x_0$，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極值。三、解答題9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3}{x-1}$，求$f(x)$的單調區(qū)間。10.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是單調遞增數(shù)列。四、解答題11.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$的極值點及對應的極值。12.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n^2+2$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是單調遞增數(shù)列。五、解答題13.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，求$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$，并分析$f(x)$的單調性。14.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_1+a_2+a_3=21$，$a_2+a_3+a_4=63$，求$a_1$和$q$的值。六、解答題15.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$，求$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$，并分析$f(x)$的極值情況。16.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，并求出公比。本次試卷答案如下：一、選擇題1.【答案】（2）$x<1$。【解析】函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}+x$的圖像與直線$y=x$的圖像有兩個不同的交點，意味著存在兩個不同的$x$值使得$f(x)=x$。即$\frac{1}{x-1}+x=x$，解得$x=1$，但這不滿足$x<1$的條件。因此，$x<1$。2.【答案】（1）1?！窘馕觥繑?shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-1$。由于$a_1=1$，代入遞推公式得$a_2=0$。再代入得$a_3=0$，以此類推，可以得到$a_n=0$對所有$n$成立，因此只有一個常數(shù)$C=0$。3.【答案】（1）單調遞增?！窘馕觥亢瘮?shù)$f(x)=\lnx+2x-3$，求導得$f'(x)=\frac{1}{x}+2$。由于$x>0$，$\frac{1}{x}>0$，因此$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$(x_1,x_2)$上單調遞增。4.【答案】（2）$2a_1$?！窘馕觥坑傻炔顢?shù)列的性質，$a_3=a_1+2d$，$a_7=a_1+6d$，$a_9=a_1+8d$。根據(jù)題意，$a_3+a_7=a_1+a_9$，即$2a_1+8d=2a_1+8d$，這個等式對于任何$a_1$和$d$都成立，所以$a_5=a_1+4d=2a_1$。5.【答案】（1）$0<x<1$。【解析】函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-x$，求導得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-1$。由于$x>0$，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在$(0,1)$上單調遞減，因此在$(0,1)$上沒有極值點。二、填空題6.【答案】$x_0=1$?！窘馕觥壳髮У?f'(x)=\frac{-x^2+x}{(x+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x^2-x=0$，解得$x=0$或$x=1$。由于$x+1\neq0$，$x_0=1$。7.【答案】$a_1=2$?！窘馕觥坑傻炔顢?shù)列的性質，$a_1+a_2+a_3+a_4=4a_1+6d=10$，解得$a_1=2$。8.【答案】$x_0=1$?！窘馕觥壳髮У?f'(x)=\frac{1}{x}+2x$，令$f'(x)=0$得$x^2+1=0$，由于$x^2+1>0$對所有$x$成立，所以$f'(x)$沒有零點，即$f(x)$沒有極值。三、解答題9.【答案】$f(x)$在$x=0$處取得極小值$f(0)=0$，在$x=1$處取得極大值$f(1)=1$?！窘馕觥壳髮У?f'(x)=\frac{3x^2-x^3}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x(x^2-3x)=0$，解得$x=0$或$x=3$。通過一階導數(shù)的符號變化判斷，$x=0$是極小值點，$x=3$是極大值點。10.【答案】由數(shù)學歸納法可得數(shù)列$\{a_n\}$是單調遞增數(shù)列?！窘馕觥渴紫?，$a_1=1>0$，假設對于某個正整數(shù)$k$，$a_k>0$，那么$a_{k+1}=a_k^2-a_k=a_k(a_k-1)>0$，因為$a_k>0$且$a_k-1>0$。由數(shù)學歸納法可知，數(shù)列$\{a_n\}$是單調遞增數(shù)列。四、解答題11.【答案】$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=2$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=1$?！窘馕觥壳髮У?f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x^2-2x+4/3=0$，解得$x=1$或$x=2$。通過一階導數(shù)的符號變化判斷，$x=1$是極大值點，$x=2$是極小值點。12.【答案】由數(shù)學歸納法可得數(shù)列$\{a_n\}$是單調遞增數(shù)列，公比為$2$?！窘馕觥渴紫龋?a_1=1>0$，假設對于某個正整數(shù)$k$，$a_k>0$，那么$a_{k+1}=2a_k+1>0$，因為$a_k>0$。由數(shù)學歸納法可知，數(shù)列$\{a_n\}$是單調遞增數(shù)列。又因為$a_2=2a_1+1=3$，所以公比為$2$。五、解答題13.【答案】$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$，$f(x)$在$x=1$處無定義，但在$x=1$的左右兩側單調遞增。【解析】求導得$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$，由于$x\neq1$，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$x=1$的左右兩側單調遞增。14.【答案】$a_1=3$，$q=3$。【解析】由等比數(shù)列的性質，$a_1+a_2+a_3=3a_1q^2=21$，$a_2+a_3+a_4=3a_1q^3=63$。解得$q=3$，$a_1=3$。六、解答題15.【答案】$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，$f(x)$在$x=1$處取得極小值$f(1)=-1$。【解析】求導得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=1$。通過一階導數(shù)的符號變化判斷，