福建省福州市閩侯縣第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2024—2025學(xué)年第二學(xué)期高一年期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答．在試題卷上作答，答案無(wú)效．3．考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回．第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可判斷.【詳解】的實(shí)部為虛部為，故選：C.2.下列命題中正確的是（）A.直四棱柱是長(zhǎng)方體B.正六棱錐的側(cè)面都是正三角形C.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)D.以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐【答案】C【解析】【分析】由正棱柱、正棱錐的概念判斷A、B；由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征判斷C、D．【詳解】對(duì)于A，長(zhǎng)方體是底面為矩形的直四棱柱，故A不正確；對(duì)于B，正棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，所以正六棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，故B不正確；對(duì)于C，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái),故C正確；對(duì)于D，以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐，故D不正確.故選：C.3.在中，點(diǎn)D在邊上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量基本定理得到答案.【詳解】.故選：A4.如圖，四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為菱形，且，則四邊形的面積為（）A.16 B.8 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則即可求解.【詳解】由斜二測(cè)法的規(guī)則得：在坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，由有，所以矩形的面積為.故選：B.5.已知圓錐的高為6，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.12 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)側(cè)面的展開(kāi)圖，可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，則，故，因此圓錐的高為，故，所以母線長(zhǎng)為，故選：B6.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】將切化弦，再結(jié)合正弦定理得到，進(jìn)而有，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得∴，∵，∴，所以是等腰三角形故選：A.7.用一個(gè)平行于正三棱錐底面的平面去截該棱錐，底面與截面之間那部分的多面體是一個(gè)高為2的三棱臺(tái)，且，則該三棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出上下底面面積，利用棱臺(tái)體積公式進(jìn)行求解.【詳解】由題，，所以該三棱臺(tái)的體積為.故選：B8.某校為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，在校內(nèi)的空地上修建一塊形狀為平面四邊形的勞動(dòng)基地，如圖所示，其中米，米，，且，則當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】這道題考查的是余弦定理和三角形面積公式的綜合運(yùn)用.【詳解】如圖，連接，設(shè)米.因?yàn)?，所以為等邊三角形，則，在中，由余弦定理可得，即，由輔助角公式可知，，故當(dāng)，即時(shí)面積最大，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先由，且得到為等邊三角形，再利用余弦定理找到與的關(guān)系，列出面積公式后用輔助角公式化簡(jiǎn)求值即可.方法點(diǎn)睛：輔助角公式，.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題中，熟練運(yùn)用三角形面積公式與輔助角公式是關(guān)鍵,二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)和對(duì)應(yīng)的向量分別是，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)記為z，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由向量的運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】∵，∴，所以，，，，因此BC正確，AD錯(cuò)誤，故選：BC．10.如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.與平行 B.與是異面直線C.與相交 D.與是異面直線【答案】ABD【解析】【分析】把平面圖還原正方體，由正方體結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】把正方體的平面展開(kāi)圖還原原正方體如圖，在正方體中，與平行，故A正確；由異面直線定義可得，與是異面直線，故B正確；與是異面直線，故C錯(cuò)誤；由異面直線定義可得，與是異面直線，故D正確；故選：ABD.11.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記．設(shè)，則（）A. B.C. D.在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解A,根據(jù)向量的加法運(yùn)算即可求解B，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解C，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解D.【詳解】對(duì)于A，由于則，故A正確，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C,，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,在方向上的投影向量為，故D正確，故選：BD第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則_______．【答案】【解析】【分析】先由方程復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)可得為另外一個(gè)根，再用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】根據(jù)方程復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，可得為另外一個(gè)根.利用韋達(dá)定理結(jié)合復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算可知，故答案為：.13.一質(zhì)點(diǎn)在力的共同作用下，由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，則的合力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為_(kāi)______．【答案】6【解析】【分析】利用向量運(yùn)算法則得到，，從而利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意得：，，則合力對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為.故答案為：6.14.在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且，則_______，邊長(zhǎng)c的取值范圍為_(kāi)______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用余弦定理得到，求出，由正弦定理得到，根據(jù)為銳角三角形，得到，求出，得到答案.【詳解】，，故，所以，又為銳角三角形，，故，由正弦定理得，即，所以，為銳角三角形，，，解得，又，所以，所以，，，所以.故答案為：，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，且是實(shí)數(shù)．（1）求；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的定義，列式計(jì)算求得即可得；（2）利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗杂墒菍?shí)數(shù)，得，∴，【小問(wèn)2詳解】由（1）知，∴，∵復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.已知向量．（1）若單位向量與共線，求向量的坐標(biāo)；（2）若，求實(shí)數(shù)m的值；（3）求與夾角的余弦值．【答案】（1）或；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用共線及單位向量的意義直接求解.（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列式求出.（3）求出的坐標(biāo)，再利用夾角公式求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，則與共線的單位向量為，所以或.【小問(wèn)2詳解】依題意，，，由，得，即，所以.【小問(wèn)3詳解】依題意，，所以.17.如圖，在矩形和四分之一的拼接的平面圖形中，，，將該圖形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體記為．（1）求的體積；（2）求的表面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)球體與柱體的體積公式直接求解；（2）根據(jù)球體與柱體的表面積公式直接求解.【小問(wèn)1詳解】依題意得，旋轉(zhuǎn)體的上方是一個(gè)半球體，下方是一個(gè)圓柱，如圖所示．，，，，，所以的體積為．【小問(wèn)2詳解】，，，，．所以的表面積為．18.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求B；（2）若，且為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：由正弦定理邊化角，誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式即可求解；法二：由余弦定理邊化角即可求解；（2）法一：由余弦定理求得，再求得，在中由余弦定理即可求解；法二：由余弦定理求得，在中由列出方程即可求解；法三：由余弦定理求得，再根據(jù)及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解；法四：由余弦定理求得，求得，在由列出方程即可求解．【小問(wèn)1詳解】法一：因，由正弦定理得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，因，所以．法二：因?yàn)?，由余弦定理得，，得，則，因?yàn)椋裕拘?wèn)2詳解】法一：由（1）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），所以，在中，因?yàn)镈為邊的中點(diǎn)，所以，由余弦定理得，，所以．法二：由（1）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），因?yàn)镈為邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，解得．法三：由?）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），因?yàn)椋?，所以．法四：由?）知，，在中，，由余弦定理得，，所以，整理得，解得，或（舍去），所以，在中，因?yàn)镈為邊的中點(diǎn)，所以，由余弦定理得，，所以．19.在正方體中．（1）如圖1，若平面，求證：三點(diǎn)共線；（2）分別為和的中點(diǎn)，分別為和的一個(gè)三等分點(diǎn)（都靠近C端）．①如圖2，求證：三線共點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)作該正方體的截面，在圖3中畫(huà)出這個(gè)截面（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由，但要保留作圖痕跡）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①證明見(jiàn)解析；②答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平面的基本事實(shí)3