福建省廈門市杏南中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)廈門市杏南中學(xué)2024-2025學(xué)年學(xué)年下學(xué)期期中階段練習(xí)卷高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位），則的虛部是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部概念求解.【詳解】z的虛部是.故選：B.2.中，若，則的面積為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，又所以的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式.屬于容易題.3.在中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以所以故選：D.4.已知向量滿足，則（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C.5.向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的求解公式即可求解.【詳解】在向量上的投影向量為.故選：B6.設(shè)m、n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】利用線線位置、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，，得或是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，得或相交，或是異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C；由，，得或或與相交，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，D正確.故選：D7.如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國(guó)彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一．圖2是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為和，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為和，則該花燈的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出輔助線，求出正六棱臺(tái)的側(cè)高，從而求出正六棱臺(tái)的側(cè)面積，再求出正六棱臺(tái)的下底面面積，圓柱的側(cè)面積和底面積，相加得到該花燈的表面積.【詳解】正六棱柱的六個(gè)側(cè)面面積之和為，

正六棱柱的底面面積為，如圖所示，正六棱臺(tái)中，，過點(diǎn)分別作垂直于底面于點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)，則分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，則為正六棱臺(tái)的斜高，其中，，，由勾股定理得，故，所以正六棱臺(tái)的斜高為，故正六棱臺(tái)的側(cè)面積為，又正六棱臺(tái)的下底面面積為，所以該花燈的表面積為．故選：A．8.已知某圓錐的底面圓半徑為1，且該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用弧長(zhǎng)公式及勾股定理，結(jié)合已知條件及球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為，由，得，再設(shè)圓錐的高為，則，畫出幾何體的軸截面，如圖所示則是等腰直角三角形，所以該圓錐的外接球的半徑為，外接球的體積為．故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列命題中正確的是（

）A. B.在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出，再逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD10.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，，，則符合條件的有且僅有兩個(gè)B.若，則C.若，則為鈍角三角形D.若為銳角三角形，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.詳解】對(duì)于A：若，，，由余弦定理得，故符合條件的有且僅有一個(gè)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：反證法：假設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)大邊對(duì)大角，則，由正弦定理可得，與題干矛盾，故B正確；對(duì)于C：若，由正弦定理得，由余弦定理得，故，所以為鈍角三角形，故C正確；對(duì)于D：若為銳角三角形，則，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故D正確．故選：BCD．11.如圖所示的正方體中（）A.B.異面直線AC與所成的角為C.若點(diǎn)P是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四棱錐體積隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變D.直線與平面內(nèi)任意直線都不平行【答案】AD【解析】【分析】利用線面垂直可得線線垂直判斷A；利用平行線作出異面直線所成的角，在三角形中求解判斷B；先證線面平行，從而確定四棱錐的高為定值，底面也確定，判斷C；利用線面關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，平面，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，連接，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成的角為，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，故直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到平面的距離為正方體的棱長(zhǎng)，又四棱錐的底面面積確定，所以四棱錐的體積一定不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€與平面相交，所以直線與平面內(nèi)任意直線都不平行，正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如下圖，是用“斜二測(cè)畫法”畫出的直觀圖，其中，，那么的周長(zhǎng)是________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法得出的結(jié)構(gòu)，線段長(zhǎng)，垂直關(guān)系，從而求得周長(zhǎng)．【詳解】斜二測(cè)直觀圖的畫法原則，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減半，所以，，又因?yàn)?，所以，因此的周長(zhǎng)為，故答案為：6．13.已知圓柱的側(cè)面展開圖的矩形面積為，底面周長(zhǎng)為，則圓柱的體積為____________．【答案】【解析】【分析】求出圓柱底面圓半徑及高，再利用柱體體積公式求解.【詳解】由圓柱底面圓周長(zhǎng)為，得該圓柱底面圓半徑為1，由圓柱的側(cè)面展開圖的矩形面積為，得母線長(zhǎng)，所以該圓柱的體積為.故答案為：14.如圖，在中，，點(diǎn)D在線段上，且，則面積的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，求出的最大值即可.【詳解】在中，設(shè)，，整理得：．又，整理得：，，即，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)面積公式結(jié)構(gòu)選擇用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的條件，同時(shí)計(jì)算量也較大．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若與的夾角是鈍角，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出.（2）利用向量夾角公式及共線向量的坐標(biāo)表示求出范圍.【小問1詳解】由，得，解得或，所以或.【小問2詳解】由與的夾角是鈍角，得且與不共線，則，解得且，所以的取值范圍是.16.如圖，在平面四邊形中，，，，.（1）求的值；（2）求邊的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）△中應(yīng)用正弦定理求出，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)即可得結(jié)果.（2）△中應(yīng)用余弦定理求即可.【小問1詳解】由題設(shè)，，故，又，則.【小問2詳解】由，，故，所以，故.17.如圖，圓柱軸截面是正方形，，點(diǎn)E在底面圓周上（除外），，F(xiàn)為垂足．（1）求證：平面；（2）當(dāng)直線DE與平面所成角的正切值為時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定，結(jié)合圓柱的結(jié)構(gòu)特征推理得證.（2）由線面角求出，進(jìn)而求出三棱錐的體積.【小問1詳解】在圓柱中，平面，平面，則，由點(diǎn)在以為直徑的圓上（除外），得，而平面，則平面，又平面，因此，又，平面，所以平面.【小問2詳解】由平面，得是直線DE與平面所成的角，則，在中，，而，則，又，所以三棱錐的體積.18.如圖，正方體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求證：平面平面；（3）畫出平面與正方體側(cè)面的交線（不必說明）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）作圖見解析.【解析】【分析】（1）利用平行公理，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征證明即可.（2）利用面面平行的判定推理得證.（3）過作直線交的延長(zhǎng)線分別于，連接相關(guān)線段即可.【小問1詳解】在正方體中，連接，由分別是的中點(diǎn)，得，由四邊形為正方體的對(duì)角面，得四邊形是矩形，則，因此，所以，，，四點(diǎn)共面.【小問2詳解】連接，由，分別是，的中點(diǎn)，得，又平面，平面，則平面，而，且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面．【小問3詳解】過作直線交的延長(zhǎng)線分別于，連接分別交于，連接，由，得，直線平面平面平面因此五邊形是平面截正方體所得截面，如圖，所以是平面與正方體側(cè)面的交線.19.已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且（1）求角C（2）若，，為角C的平分線，求的長(zhǎng)；（3）若，求銳角面積的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將