廣東省廣州市華僑、協(xié)和、增城中學(xué)等三校2024~2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024學(xué)年第二學(xué)期期中三校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)科試題試題說(shuō)明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．第一部分選擇題（共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算得解.【詳解】解：由題意.故選：B.2.如圖所示，在正方體中，分別是側(cè)面，側(cè)面的中心，分別是線段的中點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.異面 C.平行 D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】連接，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)以及平行直線的傳遞性，即可判斷答案.【詳解】如圖，連接，則分別為的中點(diǎn)，故,由分別是線段的中點(diǎn)，得，故,故選：C3.在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．4.如圖所示，為測(cè)量一樹的高度，在地面上選取兩點(diǎn)，從兩點(diǎn)測(cè)得樹尖的仰角分別為和，且兩點(diǎn)之間的距離為，則樹的高度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：設(shè)樹高為，則由求解.【詳解】方法一：在中，，又，，由正弦定理得：，所以，所以樹的高度為，方法二：設(shè)樹高為，則，則，故選：A.5.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出以及，根據(jù)投影向量的定義，即可求得答案.【詳解】由于向量，故，則，，在方向上的投影向量為，故選：A6.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程（，）的一個(gè)根，若復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)的集合為圖形，則圍成的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由是方程的根求出，，然后由復(fù)數(shù)減法的幾何意義求解即可.【詳解】∵是關(guān)于的方程（，）的一個(gè)根，∴（，），化簡(jiǎn)得，∴，解得，∴，如圖所示復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和表示的點(diǎn)為和，表示的向量為和，則由復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)表示的向量為，若，則，∴點(diǎn)的集合圖形是以為圓心，半徑為的圓，∴圍成的面積為.故選：A.7.已知平面內(nèi)的三個(gè)單位向量、、，且，，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】求出、的夾角、、的夾角，數(shù)形結(jié)合可得出、的夾角，利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.【詳解】如圖，，，（或），由得，又，所以，由得，又，所以，（或，又，所以）所以、夾角為或，當(dāng)、夾角為時(shí)，則；當(dāng)、夾角為時(shí)，則.所以或.故選：D.8.將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線，再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到曲線，最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到曲線的，若曲線恰好是函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得的解析式，結(jié)合x的取值范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線：的圖象，再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到曲線：的圖象，將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到是曲線：的圖象，由于曲線恰好是函數(shù)的圖象，故，由得，故，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.的實(shí)部與虛部之差為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】ABC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷B選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，的實(shí)部與虛部之差為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，D錯(cuò).故選：ABC.10.已知向量，不共線，向量平分與的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C.向量，在上的投影向量相等 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的幾何意義可得，再借助數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】作向量，在中，，，由向量平分與的夾角，得是菱形，即，對(duì)于A，與不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，B正確；對(duì)于C，在上的投影向量，在上的投影向量，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，不一定為0，則與不一定相等，D錯(cuò)誤.故選：BC11.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則為直角三角形C.若為銳角三角形，的最小值為1D.若為銳角三角形，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，即可得，所以A正確；再利用由正弦定理計(jì)算可得，可得，B正確；由銳角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C錯(cuò)誤；由正弦定理可得，結(jié)合的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得D正確.【詳解】對(duì)于中，由正弦定理得，由，得，即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即，A正確；對(duì)于B，若，結(jié)合和正弦定理知，又，所以可得，B正確；對(duì)于，在銳角中，，即.故，C錯(cuò)誤；對(duì)于，在銳角中，由，，令，則，易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；故選：ABD.第二部分非選擇題（92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)是原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及向量的運(yùn)算法則來(lái)求解向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】已知向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，.根據(jù)向量運(yùn)算法則，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).即，化簡(jiǎn)得：.故答案為：.13.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，且與所在直線互相垂直，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】由圖及題意可得棱臺(tái)的高，后由體積公式可得答案.【詳解】如圖，連接，過(guò)D作平行線，交于點(diǎn)，連接DE.又，則四邊形為平行四邊形.又由題，，則又，則，則等腰直角三角形斜邊上的高，即棱臺(tái)的高為則由棱臺(tái)體積公式，棱臺(tái)體積為：故答案為：14.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的半圓(正方形內(nèi)部，含邊界)，則的取值范圍為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為4，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)當(dāng)在弧中點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍為，由于，，，所以，因?yàn)椋?，故，所以，即取值范圍?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】利用平面向量線性運(yùn)算、向量相等、向量平行的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】，.小問(wèn)2詳解】，又，，所以，解得，所以.【小問(wèn)3詳解】,，，，，解得.16.在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且.（1）求的大?。唬?）若的面積為，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，再根據(jù)角的范圍可得結(jié)果；（2）根據(jù)面積公式可得，根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)余弦定理可得的值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，所以：，又，所以.（2）因?yàn)榈拿娣e為，∴，由余弦定理，，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.17.如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，，，三棱錐的體積為.（1）求圓柱的表面積；（2）求三棱錐外接球的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根據(jù)圓柱的表面積公式計(jì)算可得；（2）三棱錐外接球即為圓柱的外接球，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】∵在中，，∴，又在中，，，∴，而點(diǎn)的圓柱的底面圓上，∴，所以，于由，得，∴，∴圓柱的表面積.【小問(wèn)2詳解】三棱錐外接球即為圓柱的外接球，則外接球的球心是的中點(diǎn)，半徑，所以三棱錐外接球的體積.18.在中，角的對(duì)邊分別為，若．（1）求角的大??；（2）若為上一點(diǎn)，且為角的平分線，，求的最大值．【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）先由正弦定理角化邊，再由余弦定理即可求解；（2）先由求出，再將代入，并設(shè)得到，再結(jié)合基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題和正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得，又，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以由題，所以由得，即，又，設(shè)，則，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為3.19.如圖，點(diǎn)，，在函數(shù)的圖象上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，滿足，，求四邊形OMQN面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖可求出，從而求得，由圖可知函數(shù)處取得最小值，從而可求出的值，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)中可求出，進(jìn)