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高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(25)15.已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊長,,且.(1)求角的值;(2)求面積的取值范圍.【答案】(1)2π(2)【解答】【分析】(1)根據(jù)條件,用正弦定理進(jìn)行化簡,再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果;(2)由正弦定理,結(jié)合三角形的面積公式可得,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由條件,可得,由正弦定理,得,所以,所以,因?yàn)椋裕拘?詳解】由正弦定理,可知,
,∵,∴,∴.16.已知等差數(shù)列的公差為2,記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解答;(2).【解答】【分析】(1)根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系,作差可得,即可利用等比數(shù)列的定義求解,(2)根據(jù)錯(cuò)位相減法求和以及分組求解,結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.【小問1詳解】時(shí),,即.又,也符合,所以時(shí),,即.又,所以,所以,所以數(shù)列成等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)易得.由可得,所以.所以,所以.令,則,所以,所以.17.如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,四邊形是邊長為2的菱形,,,,分別為,的中點(diǎn).(1)證明:.(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解答(2)【解答】【分析】(1)根據(jù)題干,先證明平面,從而得到,又因?yàn)椋俚玫狡矫?,進(jìn)而得到;(2)在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線與平面中各點(diǎn)的坐標(biāo),再利用線面夾角公式代入求解即可得到.【小問1詳解】證明:如圖,連接.因?yàn)樗倪呅问沁呴L為2的菱形,,所以為等邊三角形,則.又平面平面,平面平面,平面ACFD,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?因?yàn)?,,所?因?yàn)椋矫?,所以平?又平面,所以.【小問2詳解】如圖,過作的平行線為軸,結(jié)合(1)知軸,,兩兩垂直.故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,則,,.設(shè)平面的法向量為,則得取,得,則.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.又.所以.則.設(shè)直線與平面所成的角為,則,即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)A在C上,當(dāng)軸時(shí),;當(dāng)時(shí),.(1)求C的方程;(2)已知斜率為-1的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)M,N在直線的兩側(cè),點(diǎn).若,是否存在到直線l的距離的P點(diǎn)?若存在,求t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在,【解答】【分析】(1)利用通徑公式和橢圓定義,結(jié)合余弦定理即可建立方程,從而可求解橢圓方程;(2)由點(diǎn)M,N在直線的兩側(cè)可得,設(shè)直線l:,點(diǎn),,聯(lián)立橢圓方程,消元,利用韋達(dá)定理可得,.根據(jù),得到.代入斜率公式,得到,再由,求出的取值范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)軸時(shí),,即①,當(dāng)時(shí),,在中,,由余弦定理可知,,即,整理,可得,即②,由①②,解得,.所以C的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線l:,點(diǎn),,令,則,,由點(diǎn)M,N在直線的兩側(cè),可得,聯(lián)立,消去x,可得,則恒成立,所以,.因?yàn)椋?,由正弦定理,得,而,即,所以,而,則,所以,則,即,即,整理,得,所以,因?yàn)?,所以,又,所以,所以.令,結(jié)合,解得,則.所以時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié):第二問中的關(guān)鍵是能把轉(zhuǎn)化為,由正弦定理,得,從而得到,即,從而利用斜率公式和韋達(dá)定理求解.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足:,①求證:;②求證:.【答案】(1)答案見解答(2)①證明見解答;②證明見解答【解答】【分析】(1)對(duì)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解;(2)①構(gòu)造函數(shù),結(jié)合(1)中結(jié)論可證得,而此時(shí)函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù),從而可得,對(duì)其變形,結(jié)合累乘法以及不等式的性質(zhì)即可得證;②通過歸納可得,進(jìn)一步通過放縮可得當(dāng)時(shí),,由累加法結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?,?dāng)時(shí),令,可得,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】①當(dāng)時(shí),,令,可得,由(1)知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以,即,又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù),所以
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