數(shù)學(xué)（四）-2025年中考數(shù)學(xué)考前沖刺攻略（原卷版）

第四輯圖形的相似………………………01銳角三角函數(shù)……………………10投影與視圖………………………20中考易錯(cuò)題（60題）……………31中考臨考押題模擬卷（通用）…………………420101圖形的相似考點(diǎn)考情分析比例有關(guān)的概念和性質(zhì)選擇題和填空題?？疾楸壤幕拘再|(zhì)、平行線分線段成比例定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用、黃金分割的概念等；解答題可能與三角形、四邊形、相似圖形等知識(shí)綜合考查。相似三角形的性質(zhì)與判定選擇題和填空題通常直接考查相似三角形的基本概念、判定條件或簡(jiǎn)單的性質(zhì)應(yīng)用；解答題可能與三角形、四邊形等幾何圖形結(jié)合；與函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))結(jié)合；在一些實(shí)際問(wèn)題中，利用相似的性質(zhì)來(lái)求解未知量。位似常出現(xiàn)在選擇題、填空題中，也可能在解答題中與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，整體難度中等或偏下考查分值：分值在3-19分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢(shì)：相似三角形的基本性質(zhì)與判定:仍是重點(diǎn)內(nèi)容。位似圖形:考查位似中心的確定、位似比的計(jì)算，以及在平面直角坐標(biāo)系中根據(jù)位似變換求點(diǎn)的坐標(biāo)。相似與其他知識(shí)的綜合:與函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù))結(jié)合，通過(guò)函數(shù)圖象上的點(diǎn)構(gòu)造相似三角形，解決函數(shù)中的幾何問(wèn)題，與圓結(jié)合，利用圓中的圓周角、弦切角等關(guān)系構(gòu)造相似三角形，求解與圓相關(guān)的線段長(zhǎng)度、角度問(wèn)題:在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建相似三角形模型，如測(cè)量物體高度、河寬等問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)1：比例有關(guān)的概念和性質(zhì)線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比．比例線段的定義：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說(shuō)這四段線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項(xiàng)；a、d叫比的外項(xiàng)，【高分技巧】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：比例的性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：ab=2）變形：ab=c3）合、分比性質(zhì)：a4）等比性質(zhì)：如果ab=cd=5）黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB(52）一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【擴(kuò)展】作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運(yùn)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面的兩種情況：推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．知識(shí)點(diǎn)2：相似三角形的性質(zhì)與判定相似多邊形的的概念：若兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，它們的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2)相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.知識(shí)點(diǎn)3：位似位似圖形的定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心.常見(jiàn)的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時(shí)，注意關(guān)于某點(diǎn)的位似圖形有兩個(gè).）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個(gè)圖形是否相似，再看對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過(guò)位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在直線相交與一點(diǎn)；2）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn).2）確定位似比.3）以位似中心為端點(diǎn)向各關(guān)鍵點(diǎn)作射線.4）順次連結(jié)各截取點(diǎn)，即可得到要求的新圖形.真題1（2024·江蘇連云港·中考真題）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁真題2（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F

A．165 B．167 C．2 D真題3（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點(diǎn)C處，且BCAB=5-真題4（2024·重慶·中考真題）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CD=CA，過(guò)點(diǎn)D作DE∥CB，且DE=DC，連接AE交BC于點(diǎn)F．若真題5（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2真題6（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，CE交BD于點(diǎn)(1)求證：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①請(qǐng)判斷線段BC，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若BC=13，AD=5，求真題7（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB(1)求證：△CAD(2)求∠ADC真題8（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上．若∠BAD=∠（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，CA=CD=2，點(diǎn)E在AB上，連接AD，（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，∠ABC=2∠EBF，延長(zhǎng)AD，BF相交于點(diǎn)G．若BE=4預(yù)測(cè)1（2025·浙江·二模）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)DA．6 B．5 C．4 D．3預(yù)測(cè)2（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）若4b-aA．14 B．4 C．34 D預(yù)測(cè)3（2025·甘肅·一模）小孔成像是光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播形成的一種物理現(xiàn)象．如圖1是小孔成像實(shí)驗(yàn)圖，抽象為數(shù)學(xué)模型如圖2所示．在小孔成像的實(shí)驗(yàn)中，帶小孔的紙板和光屏平行，蠟燭與有小孔的紙板之間的水平距離為30cm．當(dāng)蠟燭火焰的高度是它的像高度的13時(shí)，有小孔的紙板與光屏之間的水平距離為（A．10cm B．30cm C．90cm預(yù)測(cè)4（2025·河北唐山·一模）如圖，老師利用復(fù)印機(jī)將一張長(zhǎng)為20cm，寬為8cm的矩形的數(shù)學(xué)檢測(cè)卷等比例縮小，其中縮小后的長(zhǎng)為10cmA．100cm2 B．80cm2 C．預(yù)測(cè)5（2025·青海海東·一模）【探究與證明】【問(wèn)題情境】寬與長(zhǎng)的比是5-12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面我們用寬為2【操作發(fā)現(xiàn)】第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，使DE⊥ND，則圖【問(wèn)題解決】(1)圖③中AB=______(2)如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說(shuō)明理由；(3)如圖④，請(qǐng)證明矩形BCDE和矩形MNDE是黃金矩形．押題1如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB=4，則A．12 B．1 C．43 D押題1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O．若點(diǎn)A(-3,1)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A．(-4,8) B．(8,-4) C．(-8,4) D．(4,-8)押題2如圖，正方形CEFG的頂點(diǎn)G在正方形ABCD的邊CD上，AF與DC交于點(diǎn)H，若AB=6，CE=2，則DH的長(zhǎng)為（A．2 B．3 C．52 D．押題3如圖，雙曲線y=12xx>0經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，連接OA、AB，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點(diǎn)E，且EA．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5押題4《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測(cè)得AB=40cm，

押題5如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，垂足為(1)求證：△ABC(2)若AC=5，CD=4，求押題6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，押題7問(wèn)題提出：如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF=∠ABC=αa

問(wèn)題探究：(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖（2），當(dāng)α=90°時(shí)，直接寫出∠(2)再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α問(wèn)題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α=120°時(shí)，若DGCG=0202銳角三家函數(shù)考點(diǎn)考情分析正弦﹑余弦和正切根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系來(lái)確定正弦、余弦、正切的值。特殊角的三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算整體難度不大，屬于中等及以下難度。對(duì)于單純考查特殊角三角函數(shù)值記憶的題目，只要學(xué)生牢記特殊角的三角函數(shù)值，就能輕松得分解直角三角形選擇題?？疾榻庵苯侨切蔚幕靖拍詈秃?jiǎn)單應(yīng)用；填空題可能涉及根據(jù)已知條件直接計(jì)算直角三角形的邊或角的度數(shù)，也可能在實(shí)際問(wèn)題情境中，讓學(xué)生利用解直角三角形的知識(shí)求出相關(guān)的長(zhǎng)度或角度并填空；解答題:通常結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，如測(cè)量物體高度、距離、坡度等問(wèn)題，要求學(xué)生通過(guò)構(gòu)建直角三角形模型，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行求解?？疾榉种担悍种翟?-10分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空和解答題均有。命題趨勢(shì)：基礎(chǔ)的三角函數(shù)定義、特殊角的三角函數(shù)值以及簡(jiǎn)單的解直角三角形應(yīng)用，難度依然保持較低主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和簡(jiǎn)單運(yùn)用能力。在與其他知識(shí)綜合考查的題目中，難度會(huì)有所上升，屬于中等偏上難度。這類題目需要學(xué)生具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。學(xué)生需要能夠從復(fù)雜的情境中抽象出直角三角形模型，并靈活運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)，結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行求解。知識(shí)點(diǎn)：銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達(dá)式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tanA=tan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時(shí)，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sinAcos2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°23323135.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對(duì)的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對(duì)的邊鄰邊解直角三角形常見(jiàn)類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③真題1（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬(wàn)平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量潮汐塔AB的高度，測(cè)量方案如圖所示：無(wú)人機(jī)在距水平地面119m的點(diǎn)M處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N，測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M,N,（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sinA．41m B．42m C．48m真題2（2024·四川雅安·中考真題）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房CD的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為30°，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（

）A．253米 B．25米 C．252米 D．真題3（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F，若AB=6，BC=8，則cos∠真題4（2024·西藏·中考真題）計(jì)算：-1真題5（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑．如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處．現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示意圖，已知試管AB=24cm,BE=(1)求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）(2)實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁MN，延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且MN⊥CF于點(diǎn)N（點(diǎn)C，D，N，F(xiàn)在一條直線上），經(jīng)測(cè)得：DE=28真題6（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開(kāi)始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，BD⊥OA，∠BOA=64°，BD=20.5cm；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，∠COA=37°，CE⊥OA．（點(diǎn)O，實(shí)驗(yàn)圖示解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求ED的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,真題7（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過(guò)定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A到BC所在直線的距離AC=3m，∠CAB=60°；停止位置示意圖如圖3，此時(shí)測(cè)得∠CDB=37°（點(diǎn)C，A，D在同一直線上，且直線CD與平面平行，圖3中所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)．定滑輪半徑忽略不計(jì)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子總長(zhǎng)不變．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求物體上升的高度CE（結(jié)果精確到0.1m真題8（2024·廣東·中考真題）中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABCD是其中一個(gè)停車位．經(jīng)測(cè)量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6

根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題：（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)3≈1.73(1)求PQ的長(zhǎng)；(2)該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng)．預(yù)測(cè)1（2025·黑龍江佳木斯·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AB交AC于點(diǎn)D．若∠A=30°，ODA．23 B．43 C．26 D預(yù)測(cè)2（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：-2024預(yù)測(cè)3（2025·陜西咸陽(yáng)·二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(1)求證：DE是⊙O(2)若tan∠DBC=12預(yù)測(cè)4（2025·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)，沿著坡度i（即tanA）為1:2.4的坡道AB向上走了130m到達(dá)點(diǎn)B，再沿著水平平臺(tái)BC向前走了80m到達(dá)點(diǎn)C，最后沿著坡角為36.8°的坡道CD向上走了150(1)當(dāng)小明到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，求他沿垂直方向上升的高度；(2)求點(diǎn)A，D間的水平距離AE的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，預(yù)測(cè)5（2025·重慶·一模）如圖，A是某動(dòng)物園入口，B、C、D是入口附近的三個(gè)展區(qū)．小明和小華相約從入口A一起去參觀，但由于興趣不同，兩人決定先沿不同的路線參觀，再到達(dá)展區(qū)C匯合．如圖是路線平面示意圖，已知展區(qū)C在起點(diǎn)A的東北方向，小明從起點(diǎn)A出發(fā)沿正北方向走了900米到展區(qū)B，在展區(qū)B參觀10分鐘，再沿北偏東75°的方向走一段路即可到達(dá)展區(qū)C，小華從起點(diǎn)A出發(fā)向正東方向走到展區(qū)D，在展區(qū)D參觀14分鐘，再沿北偏東30°方向走一段路即可到達(dá)展區(qū)C．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41(1)求AC的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到1米）(2)已知小明的平均速度為90米/分鐘，小華的平均速度為100米/分鐘，，若兩人同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)會(huì)先到達(dá)展區(qū)C？（結(jié)果精確到0.1）預(yù)測(cè)6（2025·江蘇鎮(zhèn)江·一模）【閱讀理解】小明用了如下的方法計(jì)算出tan15°如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則BD=AD，tan【拓展應(yīng)用】如圖2，矩形ABCD為某建筑物的主視圖，小麗在該建筑物的右側(cè)點(diǎn)M處用地面測(cè)角儀（忽略其高度，下同）測(cè)得頂點(diǎn)C的仰角α為18.4°，由于某個(gè)原因，BM的長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量，于是小麗又到它的左側(cè)點(diǎn)N處測(cè)得頂點(diǎn)D的仰角為73.6°，同時(shí)測(cè)得AN的長(zhǎng)度為5米．(1)請(qǐng)模仿小明的方法，求出tan2(2)求出建筑物的高度．參考數(shù)據(jù)：sin18.4°≈825，cos預(yù)測(cè)7（2025·河北邯鄲·一模）如圖，監(jiān)控?cái)z像頭M固定在墻壁BC上的支架AB上，在墻上的固定點(diǎn)為點(diǎn)B，已知BC=2.8m，BM=0.6(1)求點(diǎn)M到地面l的距離；(2)該攝像頭的可監(jiān)控視角∠PMQ=40°（點(diǎn)P，Q在地面l上），MN平分∠PMQ①求∠MPC②求監(jiān)控?cái)z像頭在地面上最遠(yuǎn)可視點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離．（結(jié)果均精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan40°取0.84，3取預(yù)測(cè)8（2025·河北邯鄲·一模）情境嘉嘉和淇淇利用水槽和射燈進(jìn)行綜合實(shí)踐探究，如圖1，圖2所示，一水槽放置在水平面上，射燈支架OA垂直于水平面，射燈AB發(fā)出垂直于AB的光線，OA和AB的夾角α=130°，AB操作嘉嘉進(jìn)行了兩步實(shí)驗(yàn)操作：①如圖1，光線投射到空水槽底部CD處．②如圖2，向水槽注水，光線投射到水面MN處，然后發(fā)生折射，最后投射到底部EF處．探究(1)請(qǐng)求出CD長(zhǎng)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；(2)在圖2中，嘉嘉認(rèn)為需要知道折射角的度數(shù)，才能求EF的長(zhǎng)度，淇淇認(rèn)為不需知道折射角度數(shù)就可以求出EF長(zhǎng)．你認(rèn)為誰(shuí)的看法正確，并寫出理由．（注：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，押題1計(jì)算：-3押題2如圖，在△ABC中，∠A=45°(1)尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接BE，若AB=8，求BE押題3綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36?m,EC⊥AB，垂足為C．在D處測(cè)得橋塔頂部B的仰角（∠CDB）為45°，測(cè)得橋塔底部A的俯角（(1)求線段CD的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）；(2)求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6,押題4中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ=4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達(dá)點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB=CD=1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ(1)求β的大小及tanα(2)求CP的長(zhǎng)及sin∠押題5綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí)．【實(shí)驗(yàn)操作】第一步：將長(zhǎng)方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為∠A第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水．（直線NN'為法線，AO為入射光線，【測(cè)量數(shù)據(jù)】如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N'在同一平面內(nèi)，測(cè)得AC=20cm，∠【問(wèn)題解決】根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求B，D之間的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，押題6如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，CF

(1)求證：CF是⊙O(2)若AD=10，cosB=押題7圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，該車的高度AO=1.7m．如圖2，打開(kāi)后備箱，車后蓋

(1)求打開(kāi)后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l(2)若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開(kāi)的車后蓋C'處經(jīng)過(guò)，有沒(méi)有碰頭的危險(xiǎn)（結(jié)果精確到0．01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891押題8中國(guó)古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季．夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù)．某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿子AB垂直于地面，AB長(zhǎng)8尺．在夏至?xí)r，桿子AB在太陽(yáng)光線AC照射下產(chǎn)生的日影為BC；在冬至?xí)r，桿子AB在太陽(yáng)光線AD照射下產(chǎn)生的日影為BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50

0303投影與視圖考點(diǎn)考情分析投影選擇題:這是最常見(jiàn)的考查形式；填空題可能會(huì)考查一些簡(jiǎn)單的投影計(jì)算；解答題:較少單獨(dú)以解答題的形式考查投影，但可能會(huì)在一些綜合的實(shí)際問(wèn)題中有所涉及。視圖選擇題?？疾閷?duì)簡(jiǎn)單幾何體或組合體三視圖的判斷；填空題可能會(huì)涉及根據(jù)視圖的特征求幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)；解答題較少單獨(dú)以解答題形式考查視圖，但可能在一些綜合題中作為其中的一個(gè)步驟出現(xiàn)。考查分值：分值在3-6分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結(jié)構(gòu)而異。考查形式：選擇題、填空和解答題均有。命題趨勢(shì)：投影與視圖在中考中是比較重要的考點(diǎn)，命題會(huì)注重基礎(chǔ)與能力的結(jié)合，突出知識(shí)的應(yīng)用性和實(shí)踐性?？忌趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)扎實(shí)掌握基本概念和方法，多進(jìn)行空間想象和實(shí)際問(wèn)題的分析訓(xùn)練，以提高應(yīng)對(duì)各種題型的能力。知識(shí)點(diǎn)1：投影投影的定義：一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影.（例如：太陽(yáng)光）平行投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時(shí)（圖1），在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)（圖2），它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.圖1圖2【高分技巧】1）圖1中，兩個(gè)物體及它們各自的影子及光線構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.2）已知物體影子可以確定光線，過(guò)已知物體頂端及影子頂端作直線，過(guò)其他物體頂端作此線的平行線，便可求出同一時(shí)刻其他物體的影子.（理由：同一時(shí)刻光線是平行的光線下行成的）3）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例，即：，利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如：旗桿/樹(shù)/樓房的高度等.4）在不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影子長(zhǎng)度由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).中心投影的概念：由一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺(tái)燈等）中心投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時(shí)（圖3），在燈光下離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)（圖4），一般情況下離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.圖3圖4【高分技巧】1）點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.2）如果一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形也是平行的，并且中心投影后得到的圖形與原圖形相似.正投影的概念：當(dāng)平行光線垂直投影面時(shí)叫正投影.正投影的分類：1）線段的正投影分為三種情況.如圖所示.①線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；、②線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；③線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線.3）立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.投影的判斷方法：1）判斷投影是否為平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判斷投影是否為中心投影的方法是看光線是否相交于一點(diǎn)，如果光線是相交于一點(diǎn)的，那么所得到的投影就是中心投影．真題1（2024·山西·中考真題）斗拱是中國(guó)古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（）A． B． C． D．真題2（2024·江蘇徐州·中考真題）由8個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其左視圖為（

）A． B． C． D．真題3（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，以AB所在直線為軸，將正方形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱的主視圖的面積為（

）A．8 B．4 C．8π D．真題4（2024·安徽·中考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（

）A．B．C．D．真題5（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為60?cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時(shí)，在點(diǎn)光源O的照射下形成的投影是△A1BA．90?cm2 B．135?cm2真題6（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，這個(gè)幾何體的俯視圖是（

）A． B． C． D．真題7（2024·山東日照·中考真題）如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，如果將小正方體A放置到小正方體B的正上方，則它的三視圖變化情況是（

）A．主視圖會(huì)發(fā)生改變 B．左視圖會(huì)發(fā)生改變C．俯視圖會(huì)發(fā)生改變 D．三種視圖都會(huì)發(fā)生改變真題8（2024·四川雅安·中考真題）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（

）A． B． C． D．真題9（2024·四川自貢·中考真題）為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測(cè)量方法．

(1)如圖1，小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)EF恰好等于自己的身高DE．此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗桿AB的影長(zhǎng)BC為11.3m，據(jù)此可得旗桿高度為_(kāi)_______m(2)如圖2，小李站在操場(chǎng)上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C，并通過(guò)鏡面觀測(cè)到旗桿頂部A．小組同學(xué)測(cè)得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到鏡面距離EC=2(3)小王所在小組采用圖3的方法測(cè)量，結(jié)果誤差較大．在更新測(cè)量工具，優(yōu)化測(cè)量方法后，測(cè)量精度明顯提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測(cè)量了江姐故里廣場(chǎng)雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點(diǎn)始終處于同一水平線上．如圖5，在支架上端P處，用細(xì)線系小重物Q，標(biāo)高線PQ始終垂直于水平地面．如圖6，在江姐故里廣場(chǎng)上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點(diǎn)，并標(biāo)記觀測(cè)視線DA與標(biāo)高線交點(diǎn)C，測(cè)得標(biāo)高CG=1.8m，DG=1.5m．將觀測(cè)點(diǎn)D后移24m到D'處，采用同樣方法，測(cè)得預(yù)測(cè)1（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)圓柱體和長(zhǎng)方體按如圖所示的方式擺放，它的主視圖是（

）A． B．C． D．預(yù)測(cè)2（2025·四川眉山·一模）五個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，它的俯視圖是（

）A．B． C． D．預(yù)測(cè)3（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖所示的鋼塊零件的主視圖為（

）A． B．C． D．預(yù)測(cè)4（2025·安徽·一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)5（2025·山東煙臺(tái)·一模）小明在參觀某工廠時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)工件，并畫出如圖所示的三視圖，則該工件體積為（

）A．17π B．20π C．36π預(yù)測(cè)6（2025·安徽六安·二模）如圖是一個(gè)幾何體（正方體挖去一個(gè)圓錐）的示意圖，這個(gè)幾何體的俯視圖為（

）A． B． C． D．預(yù)測(cè)7（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一塊面積為40cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時(shí)，在點(diǎn)光源O的照射下形成的投影是△A'B'C預(yù)測(cè)8（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）光伏發(fā)電是將太陽(yáng)光能轉(zhuǎn)化為電能的清潔、安全，可再生的發(fā)電方式，嘉嘉發(fā)現(xiàn)家鄉(xiāng)有光伏發(fā)電試點(diǎn)，如圖1，她據(jù)此作出如圖2所示的示意圖，其中MN為地面，AB，CD為相鄰的太陽(yáng)能光伏板橫截面，測(cè)得AB=CD=1米，B到地面的距離BE=0.3米，A到地面的距離AF=0.8米，BD=1.2米，此時(shí)垂直立于地面的1米的桿(1)太陽(yáng)能光伏板垂直于太陽(yáng)光線時(shí)太陽(yáng)能利用率最高，通過(guò)計(jì)算確定此時(shí)太陽(yáng)能利用率是否最高；(2)通過(guò)計(jì)算確定此時(shí)太陽(yáng)能光伏板AB是否遮擋了CD．押題1下圖是由8個(gè)大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標(biāo)號(hào)為①②③④的小正方體中取走一個(gè)，使新幾何體的左視圖既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，則應(yīng)取走（

）

A．① B．② C．③ D．④押題2信陽(yáng)毛尖是中國(guó)十大名茶之一．如圖是信陽(yáng)毛尖茶葉的包裝盒，它的主視圖為（

）A． B．C． D．押題3如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）．

A．12π B．15π C．18π押題4篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（

）A． B．C． D．押題5如圖所示幾何體是由一個(gè)球體和一個(gè)圓柱組成的，它的俯視圖是（

）A．B． C． D．押題6某一時(shí)刻在陽(yáng)光照射下，廣場(chǎng)上的護(hù)欄及其影子如圖1所示，將護(hù)欄拐角處在地面上的部分影子抽象成圖2，已知∠MAD=22°，∠FCN=23°，則A．44° B．45° C．46° D．47°押題7《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中記載著這樣一道題：今有竿不知長(zhǎng)短，度其影得二丈．別立一表，長(zhǎng)一尺，影得五寸，問(wèn)竿長(zhǎng)幾何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)20尺，同時(shí)立一根1尺的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)是0.5尺（1丈=10尺，1尺=10寸），示意圖如圖所示，則這根竹竿的長(zhǎng)度為（

）A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺押題8如圖，某時(shí)刻樹(shù)梢頂點(diǎn)A的影子剛好落在臺(tái)階點(diǎn)G處，若測(cè)得臺(tái)階CD=EF=HG=0.2m，DE=FG=0.3A．3.2m B．3.4m C．3.6m中考易錯(cuò)題（60題）一．有理數(shù)大小比較（共1小題）1．如果m是一個(gè)不等于﹣1的負(fù)整數(shù)，那么m，1m，﹣m，-A．m＜1m＜-m＜-1mC．﹣m＜-1m＜m＜1m 二．科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（共1小題）2．北京中軸線上的先農(nóng)壇被譽(yù)為“天下第一倉(cāng)”，在神倉(cāng)陳列館里展示著中國(guó)古代農(nóng)民用作存儲(chǔ)谷物的“米斗”（如圖），若1斗米約為6250g，則1斗米用科學(xué)記數(shù)法表示為（）g．A．6.25×102 B．6.25×103 C．1.25×102 D．1.25×103三．用數(shù)字表示事件（共1小題）3．我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，用來(lái)記錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知，她一共采集到的野果數(shù)量為個(gè)．四．代數(shù)式求值（共1小題）4．已知2x+1＝﹣2，則代數(shù)式2x2+x﹣1的值為（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4五．提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用（共1小題）5．因式分解：x2y﹣6xy+9y＝．六．二次根式有意義的條件（共1小題）6．若代數(shù)式x-5有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是七．二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共1小題）7．下列各式中，計(jì)算正確的是（）A．﹣x2y+2yx2＝3x2y B．4a2+a2＝5a4 C．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．(-4八．等式的性質(zhì)（共1小題）8．等式的性質(zhì)在生活中廣泛應(yīng)用．如圖，a、b分別表示兩位同學(xué)的身高，c表示臺(tái)階的高度，左邊同學(xué)比右邊同學(xué)高5厘米，圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理可表示為（）A．若a＝b+5，則a+c＝b+c+5 B．若a＝b+c，則a+5＝b+c+5 C．若a＝b+5，則ac＝（b+5）c D．若a＝b+5，則a九．配方法的應(yīng)用（共1小題）9．按要求解決下面問(wèn)題．（1）比較a2+b2與2ab的大?。ㄌ睢埃肌?、“＞”、“＝”）①當(dāng)a＝3，b＝3時(shí)，a2+b22ab．②當(dāng)a＝2，b＝3時(shí)，a2+b22ab．（2）根據(jù)（1）中計(jì)算結(jié)果，猜想a2+b2與2ab的大小關(guān)系，并加以證明．（3）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，以AC，BC為邊長(zhǎng)，在線段AB的兩側(cè)分別作正方形ACDE與正方形BCFG，并連結(jié)AF．設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為S1，S2．若△ACF的面積為2，求S1+S2的最小值．十．不等式的解集（共1小題）10．若不等式組x＞ax≥-3的解集為x＞A．a(chǎn)＜3 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)＞﹣3 D．a(chǎn)≥﹣3十一．一元一次不等式組的應(yīng)用（共1小題）11．運(yùn)行程序如圖所示，從“輸入實(shí)數(shù)x”到“結(jié)果是否＞5”為一次程序操作．若輸入x后程序操作進(jìn)行了兩次就停止，則x的取值范圍是（）A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5十二．函數(shù)的圖象（共2小題）12．將一圓柱形小水杯固定在大圓柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，現(xiàn)用一個(gè)注水管沿大容器內(nèi)壁勻速注水，如圖所示，則小水杯水面的高度h（cm）與注水時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象大致是（）A．B． C．D．13．沙漏在中國(guó)古代被稱為“沙鐘”，是一種利用沙子流動(dòng)計(jì)時(shí)的古老工具．某學(xué)校開(kāi)展了簡(jiǎn)易沙漏的原理探秘與制作活動(dòng)．在以下探究實(shí)驗(yàn)中，沙漏容器取材于相同規(guī)格的瓶子，所用沙子材質(zhì)與規(guī)格完全一樣，沙漏的孔洞均為圓形，孔徑即為孔洞的直徑．探究一：甲組同學(xué)選擇某確定孔徑的沙漏，探究漏下沙子的質(zhì)量m（單位：g）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：t/s306090120150m/g30.890.6150.0209.5269.2探究二：乙組同學(xué)選取除孔徑外無(wú)其他差別的沙漏，探究漏完150g沙子所用的時(shí)間t（單位：s）與孔徑d（單位：mm）之間的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：d/mm2.03.04.05.06.0t/s123.990.065.647.033.2根據(jù)以上探究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，解決下列問(wèn)題：（1）在探究一中，75s時(shí)漏下沙子的質(zhì)量約為g（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）推斷：探究一中所用沙漏的孔徑為mm；（3）通過(guò)探究二，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫時(shí)間t與孔徑d之間的關(guān)系．①在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；②根據(jù)函數(shù)圖象，若制作一個(gè)漏完150g沙子所用時(shí)間為50s的沙漏，其孔徑約為mm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．十三．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1.5），點(diǎn)C在第一象限，對(duì)角線BD與x軸平行．直線y＝2x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F．將菱形ABCD沿x軸向左平移m個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)D落在△EOF的內(nèi)部時(shí)（不包括三角形的邊），m的取值范圍是（）A．6＜m＜7.25 B．6≤m＜6.25 C．6＜m＜6.25 D．6≤m≤7.25十四．兩條直線相交或平行問(wèn)題（共1小題）15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝ax+2與直線y＝bx﹣2的圖象交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣2，則a﹣b＝．十五．一次函數(shù)的應(yīng)用（共8小題）16．研究人員發(fā)現(xiàn)，在20℃～25℃時(shí)蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)y（單位：次）是溫度t（單位：℃）的一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則y與t之間的關(guān)系式為（）溫度t（℃）212325每分鐘鳴叫次數(shù)y（次）112126140A．y＝7t﹣35 B．y＝7t+35 C．y＝14t D．y＝14t+11217．扎染古稱“絞纈”，是我國(guó)一種古老的紡織品染色技藝．扎染工藝的發(fā)展帶動(dòng)了當(dāng)?shù)芈糜蜗嚓P(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展．某扎染坊第一次用3700元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種布料共80件，其中兩種布料的成本價(jià)和銷售價(jià)如表：?jiǎn)蝺r(jià)類別成本價(jià)/（元/件）銷售價(jià)/（元/件）甲種布料60100乙種布料4070（1）該扎染坊第一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種布料各多少件？（2）因熱銷，第一次購(gòu)進(jìn)的布料全部售完，該扎染坊第二次以相同的成本價(jià)再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種布料共100件．若此次購(gòu)進(jìn)甲種布料的數(shù)量不超過(guò)乙種布料數(shù)量的1.5倍，且以相同的銷售價(jià)全部售完這批布料．設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)甲種布料m件，第二次全部售完后獲得的利潤(rùn)為W元．第二次應(yīng)怎樣進(jìn)貨，才能使第二次購(gòu)進(jìn)的布料全部售完后獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？18．某學(xué)校要購(gòu)買甲、乙兩種滅火器，用于預(yù)防校園消防安全．若購(gòu)買9支甲種滅火器和6支乙種滅火器，則一共需要615元；若購(gòu)買8支甲種滅火器和12支乙種滅火器，則一共需要780元．（1）每支甲種滅火器、每支乙種滅火器的價(jià)格分別是多少元？（2）若該校計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種滅火器共30支，其中購(gòu)買甲種滅火器a支，且甲種滅火器的數(shù)量至少比乙種滅火器的數(shù)量多5支，且不超過(guò)乙種滅火器數(shù)量的2倍．哪種購(gòu)買方案可使總費(fèi)用W最少？并求出最少總費(fèi)用．19．如圖，小麗和小慶去某風(fēng)景區(qū)游覽，其主要景點(diǎn)位于同一條公路邊，其中古剎到塔林的路程為10km，塔林到草甸的路程為25km，草甸到飛瀑的路程為10km．小麗騎電動(dòng)自行車從“古剎”出發(fā)，沿景區(qū)公路勻速去“草甸”，車速為20km/h．同一時(shí)刻，小慶乘電動(dòng)汽車從“飛瀑”出發(fā)，沿景區(qū)公路勻速前往“古剎”．設(shè)兩人相距的路程為skm，時(shí)間為th，s關(guān)于t的部分函數(shù)圖象如圖所示．（1）求小慶乘電動(dòng)汽車的速度；（2）求圖中a的值；（3）何時(shí)兩人相距的路程等于5km？20．學(xué)科實(shí)踐：近年來(lái)，太原市加大了公共充電站的建設(shè)力度，綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)對(duì)A，B兩個(gè)充電站的收費(fèi)情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示．名稱充電樁領(lǐng)服務(wù)費(fèi)充電費(fèi)充電速度充電站A直流式免費(fèi)1.5元/kW?h每小時(shí)充電5kW?h充電站B直流式前4小時(shí)免費(fèi)，4小時(shí)后充電量的服務(wù)費(fèi)為0.8元/kW?h1.2元/kW?h每小時(shí)充電5kW?h問(wèn)題解決：（1）若汽車充電的總電量為xkW?h，①在充電站A所需支付的費(fèi)用y1（元）與x的關(guān)系表達(dá)式為；②請(qǐng)分別寫出當(dāng)0＜x≤20和x＞20時(shí)，在B充電站需要支付的費(fèi)用y2（元）與x的關(guān)系表達(dá)式．出租車司機(jī)小李和小王分別在A，B兩個(gè)充電站充電，充電結(jié)束后兩人所支付的費(fèi)用相同．求他們此次的充電量是多少．21．2025年初，國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫電影“哪吒2魔童鬧?！逼狈縿?chuàng)歷史新高．某生產(chǎn)商推出了哪吒手辦（A類）和放丙手辦（B類）盲盒，已知生產(chǎn)商每天生產(chǎn)A類手辦比生產(chǎn)B類手辦多200個(gè)，若單獨(dú)生產(chǎn)12000個(gè)A類手辦所需時(shí)間和單獨(dú)生產(chǎn)8000個(gè)B類手辦所用時(shí)間相同．（1）求生產(chǎn)商每天單獨(dú)生產(chǎn)A，B兩類手辦的個(gè)數(shù)；（2）兩種手辦某商家的購(gòu)進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：進(jìn)價(jià)售價(jià)A類/個(gè)80100B類/個(gè)100150根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，該商家計(jì)劃用不超過(guò)17000元的資金購(gòu)進(jìn)A，B兩種手辦共200個(gè)，若這200個(gè)手辦全部售完，請(qǐng)你設(shè)計(jì)購(gòu)進(jìn)方案，使商家獲利最大，并求最大利潤(rùn)；（3）商家為尋求合適的銷售價(jià)格，對(duì)進(jìn)價(jià)為100元的B類手辦，進(jìn)行了4天的試銷，試銷情況如下表：第一天第二天第三天第四天日銷售單件利潤(rùn)m（元）20304050日銷售量Q（個(gè)）300200150120根據(jù)試銷情況，請(qǐng)你猜測(cè)并求Q與m之間的函數(shù)關(guān)系式，若該手辦每天的銷售量不高于600個(gè)，求該手辦的最低銷售單價(jià)．22．共享電動(dòng)車是一種新理念下的交通工具，掃碼開(kāi)鎖，循環(huán)共享．某天早上王老師想騎共享電動(dòng)車去學(xué)校，有A，B兩種品牌的共享電動(dòng)車可選擇．已知：A品牌電動(dòng)車騎行xmin，收費(fèi)yA元，且yA=25x；B品牌電動(dòng)車騎行xmin，收費(fèi)yB元，且yB=6(0＜（1）說(shuō)明圖中函數(shù)yA與yB圖象的交點(diǎn)P表示的實(shí)際意義．（2）已知王老師家與學(xué)校的距離為9km，且王老師騎電動(dòng)車的平均速度為300m/min，那么王老師選擇哪種品牌的共享電動(dòng)車會(huì)更省錢？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）請(qǐng)直接寫出當(dāng)x為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車收費(fèi)相差3元．23．物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度y（單位：cm）與所掛物體質(zhì)量x（單位：kg）之間存在關(guān)系．某興趣小組為探究一彈簧的長(zhǎng)度y（單位：cm）與所掛物體質(zhì)量x（單位：kg）之間的關(guān)系，進(jìn)行了6次測(cè)量，下表是測(cè)量數(shù)據(jù)：所掛物體質(zhì)量x/kg01020304050彈簧的長(zhǎng)度y/cm6912151821（1）在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．若在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度y（單位：cm）與所掛物體質(zhì)量x（單位：kg）之間符合初中學(xué)習(xí)過(guò)的某種函數(shù)關(guān)系，則可能是函數(shù)關(guān)系；（請(qǐng)選擇“一次”“二次”或“反比例”）（2）根據(jù)以上判斷，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為16.5厘米時(shí)，所掛物體的質(zhì)量是多少千克？十六．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共2小題）24．已知a是一個(gè)正數(shù)，點(diǎn)（x1，﹣2a），（x2，﹣a），（x3，a）都在反比例函數(shù)y=-1x的圖象上，則0，x1，x2，A．x3＜0＜x1＜x2 B．x2＜x3＜0＜x1 C．x1＜x2＜0＜x3 D．x1＜0＜x2＜x325．如圖，點(diǎn)A（6，1）和點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上，延長(zhǎng)AB與y軸相交于點(diǎn)C．若AB＝2BC，則點(diǎn)C十七．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）26．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=6x(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A（a，b）和點(diǎn)B（a﹣4，3），P為線段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式；（2）當(dāng)△OPQ的面積為34時(shí)，求P十八．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）27．【操作實(shí)驗(yàn)】小珂在物理綜合實(shí)踐課上，用一固定電壓為24V的蓄電池，通過(guò)調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器來(lái)改變電流y/A的大小，從而控制小燈泡L的亮度，實(shí)驗(yàn)電路圖如圖1所示，已知小燈泡的電阻為3Ω（不計(jì)溫度對(duì)燈泡電阻影響），滑動(dòng)變阻器的電阻為x/Ω（0≤x≤9）（串聯(lián)電路中總電阻＝燈泡電阻+滑動(dòng)變阻器的電阻），通過(guò)多次試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)（如表）：電阻x/Ω…a23579電流y/A…64.843b2（1）根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，填空：a＝，b＝，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：（0≤x≤9）；（2）【初步探究】請(qǐng)?jiān)谝韵缕矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，畫出函數(shù)y的圖象，并寫出函數(shù)y的一條性質(zhì)：；（3）【深入探究】已知一次函數(shù)y'=-43x+8(x≥0)，結(jié)合（2）中函數(shù)圖象分析，請(qǐng)直接寫出當(dāng)y≤y'時(shí)十九．二次函數(shù)的圖象（共1小題）28．若一次函數(shù)y=-abx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝axA．B． C．D．二十．二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）29．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4交坐標(biāo)軸于A，B，C，點(diǎn)Q在以C為圓心半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，P為BQ中點(diǎn)，AP的最小值是．30．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+2的對(duì)稱軸為直線x＝1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1），點(diǎn)C是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CB，將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CD，當(dāng)點(diǎn)D落在直線x＝1上時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為．二十一．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）31．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①拋物線過(guò)原點(diǎn)；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＝0；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，b）；⑤當(dāng)x＜4時(shí)，y隨x增大而增大．其中結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤32．拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，有以下結(jié)論：①4ac﹣b2＞0；②若(-32，y1)，③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m＞2；⑤3a+c＜0．其中結(jié)論正確的是．二十二．二次函數(shù)的三種形式（共1小題）33．將二次函數(shù)y＝x2﹣2x+4化為y＝（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3二十三．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共3小題）34．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，則當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x＞﹣1 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x＜335．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1（a為常數(shù)，且a＜0）．（1）若a＝﹣1時(shí)，求該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)的圖象與直線y＝﹣2a+3有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求代數(shù)式a236．已知拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求b的值；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)值y的最大值與最小值的和為6，求c的值；（3）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍．二十四．二次函數(shù)與不等式（組）（共1小題）37．拋物線y1＝ax2+bx+c與直線y2＝mx+n的圖象如圖所示，下列判斷：①abc＜0；②c＜n；③a+b+c＞0；④2a+b＜0；⑤當(dāng)x＜12或x＞6時(shí)，y1＞y其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二十五．二次函數(shù)的應(yīng)用（共5小題）38．綜合與實(shí)踐如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為1.2米，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝2米，豎直高度EF＝0.7米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌溉車到綠化帶的距離為OD．（1）求上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC；（2）求下邊緣拋物線與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）若OD＝3.2米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能否澆灌到整個(gè)綠化帶？請(qǐng)你說(shuō)明理由．39．某工廠計(jì)劃投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，產(chǎn)品A的利潤(rùn)y1（萬(wàn)元）與投資量x（萬(wàn)元）成正比例關(guān)系，如圖①所示；產(chǎn)品B的利潤(rùn)y2（萬(wàn)元）與投資量x（萬(wàn)元）成頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)關(guān)系，如圖②所示．（1）請(qǐng)直接寫出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1＝，y2＝；（2）如果工廠以9萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，要求A產(chǎn)品的投資金額不超過(guò)B產(chǎn)品的2倍，且不少于3萬(wàn)元，則如何投資該工廠能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？40．綜合與實(shí)踐：某數(shù)學(xué)小組為了解汽車的速度和制動(dòng)非安全距離的關(guān)系，通過(guò)查閱資料獲得以下信息：材料一：由于司機(jī)的反應(yīng)和慣性的作用，從發(fā)現(xiàn)情況到剎車停止前汽車還要繼續(xù)向前行駛一段距離，這段距離稱為制動(dòng)非安全距離．從發(fā)現(xiàn)情況到剎車起作用的路程稱為反應(yīng)距離，這段距離總共需要的反應(yīng)時(shí)間為0.6秒．從剎車起作用到最后停止的距離稱為制動(dòng)距離．材料二：某公司設(shè)計(jì)了一款新型汽車，現(xiàn)在對(duì)它的制動(dòng)性能（車速不超過(guò)150km/h）進(jìn)行測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如下表：車速x（km/h）030456090105120150制動(dòng)距離y（m）07.813.0519.234.243.0552.875探究任務(wù)：（1）已知該款新型汽車的制動(dòng)距離y（m）和車速x（km/h）之間存在已學(xué)過(guò)的某種函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)你根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)（x，y），順次連接各點(diǎn)，結(jié)合圖象求出這個(gè)函數(shù)的解析式并寫出自變量x的取值范圍（參考數(shù)據(jù)：122＝144，152＝225，452＝2025，1052＝11025）；（2）若在該款新型汽車的某次測(cè)試中，通過(guò)測(cè)量剎車痕跡得到它的制動(dòng)距離約為28.8m，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算估計(jì)該款汽車開(kāi)始剎車時(shí)的速度；（3）若某司機(jī)駕駛這種新型汽車以60km/h的速度在單行道上行駛，發(fā)現(xiàn)前方25m處有一輛大貨車停在公路上擋住去路，司機(jī)緊急剎車，請(qǐng)問(wèn)是否有碰撞危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由，并根據(jù)計(jì)算結(jié)果給司機(jī)提出一條建議．41．綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖1，物理活動(dòng)課上，同學(xué)們做了一個(gè)小球彈射實(shí)驗(yàn)．小球從斜坡點(diǎn)O處以一定的方向彈出，小球的飛行路線近似地看作是拋物線的一部分，小球剛好落到斜坡上的點(diǎn)A處．建模分析：如圖2，以過(guò)點(diǎn)O的水平直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O的鉛垂直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．分析圖象得出，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的豎直高度y（米）的幾組對(duì)應(yīng)值如表，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1.5）．x（米）00.511.522.53y（米）00.8751.51.87521.8751.5問(wèn)題解決：（1）求小球的飛行高度y（米）與水平距離x（米）的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，求小球在飛行過(guò)程中，距坡面的最大鉛垂高度MN；（3）如圖3，設(shè)小球在飛行過(guò)程中的動(dòng)點(diǎn)為P（P）不與O，A重合），連接OP，AP，直接寫出△OAP面積的最大值．42．某校勞動(dòng)基地蔬菜大棚由拋物線AEB和“矩形”ABCD構(gòu)成，拋物線最高點(diǎn)E到地面CD的距離為7米，其橫截面如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，已知CD＝12米，BC＝3米．（1）求拋物線的解析式；（2）冬季到來(lái)，為防止大雪對(duì)大棚造成損壞，如圖1，準(zhǔn)備在大棚拋物線上安裝矩形“腳手架”（即三根支架，其中P，N在拋物線上，QP，NM垂直地面，PN平行地面），求“腳手架”的最大長(zhǎng)度；（3）如圖2，在蔬菜大棚上安裝照明燈，要求照明燈到地面的垂直距離為4米，每?jī)蓚€(gè)相鄰照明燈之間的水平距離相等且不超過(guò)2米，左右外側(cè)的兩個(gè)照明燈安裝在拋物線上，如圖2所示，直接寫出至少需要安裝照明燈的個(gè)數(shù)．二十六．含30度角的直角三角形（共1小題）43．圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人識(shí)別身份成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，行人即可通過(guò)，圖②是兩圓弧翼展開(kāi)時(shí)的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機(jī)的“圓弧翼”成軸對(duì)稱，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，半徑BA＝ED＝60cm，點(diǎn)A與點(diǎn)D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm．（1）求閘機(jī)通道的寬度即BC與EF之間的距離；（2）經(jīng)調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的2倍，180人的團(tuán)隊(duì)通過(guò)一個(gè)智能閘機(jī)口比通過(guò)一個(gè)人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過(guò)的人數(shù)．二十七．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）44．如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，點(diǎn)E是AB上方一點(diǎn)，且AE＝BE，連接DE，若CD＝3，AE＝7，則DE的長(zhǎng)為（）A．25 B．210 C．4 D．42二十八．平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題（共1小題）45．如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20cm，寬為15cm，高為10cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C為6cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）A．529cm B．25cm C．2194cm D．441cm二十九．多邊形內(nèi)角與外角（共1小題）46．如圖，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．90° D．100°三十．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）47．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?、深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB＝1寸，CD＝10寸，則半徑OC長(zhǎng)為寸．三十一．圓周角定理（共3小題）48．如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠BCD＝32°，則∠ABD＝（）A．116° B．64° C．58° D．32°49．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數(shù)是．50．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，作CG⊥AB于D交⊙O于G，∠ACG的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)AF，BF．（1）若⊙O的半徑為6，AD＝4，求弦CG的長(zhǎng)；（2）求證：AF＝EF．三十二．扇形面積的計(jì)算（共1小題）51．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，“x狀”圖案（陰影部分）是由半徑分別為1和2，圓心在格點(diǎn)上的兩種弧圍成的，則陰影部分的面積是．三十三．中心對(duì)稱圖形（共2小題）52．2025年中國(guó)動(dòng)漫電影《哪吒之魔童鬧海》火爆全球．以下四圖是某校美術(shù)社團(tuán)繪制的哪吒風(fēng)火輪的簡(jiǎn)筆畫，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．53．環(huán)保全稱環(huán)境保護(hù)，是指人類為解決現(xiàn)實(shí)的或潛在的環(huán)境問(wèn)題，協(xié)調(diào)人類與環(huán)境的關(guān)系，保障經(jīng)濟(jì)、社會(huì)的持續(xù)發(fā)展而采取的各種行動(dòng)的總稱．下列環(huán)保標(biāo)志中，既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形的是（）A．B． C．D．三十四．相似三角形的應(yīng)用（共1小題）54．凸透鏡成像的原理如圖所示，AD∥l∥BC．若物體H到焦點(diǎn)F1的距離與焦點(diǎn)F1到凸透鏡中心線DB的距離之比為3：2，則物體被縮小到原來(lái)的（）A．45 B．25 C．32 三十五．解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）55．我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”．即通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開(kāi)始，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…，邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng)．再根據(jù)“圓周率等于圓周長(zhǎng)與該圓直徑的比”來(lái)計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為R，圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)l6＝6R，則π≈l62R=A．l12＝24Rsin15° B．l12＝24Rcos15° C．l12＝24Rsin30° D．l12＝24Rcos30°56．水車是我國(guó)古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是古人們?cè)谡鞣澜绲倪^(guò)程中創(chuàng)造出來(lái)的高超勞動(dòng)技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．水車是由立式水輪、竹筒、支撐架和水槽等部件組成．小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“水車玩具”，設(shè)計(jì)圖如圖2，若水輪⊙O在動(dòng)力的作用下將水運(yùn)送到點(diǎn)A處，水沿水槽AC流到水池中，⊙O與水面交于點(diǎn)B，D，且點(diǎn)D，O，B，C在同一直線上，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，連接AD，AB，AO．請(qǐng)僅就圖2解答下列問(wèn)題．（1）求證：∠AOB＝2∠BAC．（2）若點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為32cm，sin∠ACB=三十六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題（共1小題）57．【操作探究】在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師組織同學(xué)們開(kāi)展以“測(cè)量小樹(shù)的高度”為主題的探究活動(dòng)．【學(xué)生A】查閱學(xué)校資料得知樹(shù)前的教學(xué)樓ED高度為12米，如圖1，某一時(shí)刻測(cè)得小樹(shù)AB、教學(xué)樓ED在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC＝2.5米，DF＝7.5米．（1）請(qǐng)根據(jù)同學(xué)A的數(shù)據(jù)求小樹(shù)AB的高度；【學(xué)生B】借助皮尺和測(cè)角儀，如圖2，已知測(cè)角儀離地面的高度h＝1.6米，在D處測(cè)得小樹(shù)頂部的仰角α＝30°，測(cè)角儀到樹(shù)的水平距離m＝4.2米．（2）請(qǐng)根據(jù)同學(xué)B的數(shù)據(jù)求小樹(shù)AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)，2≈1.41，3≈三十七．簡(jiǎn)單組合體的三視圖（共2小題）58．如圖是由3個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，那么這個(gè)幾何體的俯視圖是（）A．B． C．D．59．如圖是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱組合而成的立體圖形，從上面觀察這個(gè)圖形，得到的圖形是（）A． B．C． D．三十八．全面調(diào)查與抽樣調(diào)查（共1小題）60．下面調(diào)查中，適合采用普查的是（）A．調(diào)查全國(guó)中學(xué)生心理健康現(xiàn)狀 B．調(diào)查你所在的班級(jí)同學(xué)的身高情況 C．調(diào)查50枚導(dǎo)彈的殺傷半徑 D．調(diào)查揚(yáng)州電視臺(tái)《今日生活》收視率中考模擬卷一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．2025的相反數(shù)是（

）A．2025 B．-2025 C．12025 D2．DeepSeek全稱杭州深度求索人工智能基礎(chǔ)技術(shù)研究有限公司，是一家創(chuàng)新型科技公司．?dāng)?shù)據(jù)顯示，隨著訪問(wèn)量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成為史上最快突破3000萬(wàn)日活躍用戶量的應(yīng)用．?dāng)?shù)據(jù)3000萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．3×106 B．0.3×106 C．3．下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)25=a7 B．a(chǎn)-4．不等式2x+5≥3的解集是（A．x>-1 B．x≥-1 C．x≥45．已知Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3A．y1<y2<y3 B．6．中國(guó)四大白瓷系列之一的衢州瑩白瓷被譽(yù)為瓷中珍品，下圖是衢州瑩白瓷的直口杯，它的主