人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練專題18.26 矩形（知識(shí)講解）（附答案）VIP

/專題18.26矩形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.3.運(yùn)用矩形性質(zhì)定理與判定定理計(jì)算或證明有關(guān)的角和線段.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.特別說明：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.特別說明：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點(diǎn)的直線）.對稱軸的交點(diǎn)就是對角線的交點(diǎn)（即對稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.要點(diǎn)三、矩形的判定矩形的判定有三種方法：1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.對角線相等的平行四邊形是矩形.3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.特別說明：在平行四邊形的前提下，加上“一個(gè)角是直角”或“對角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.要點(diǎn)四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.特別說明：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角三角形，對一般三角形不可使用.（2）學(xué)過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半.（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.【典型例題】類型一、矩形??性質(zhì)與判定的理解1．如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)，以下說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．解：∵四邊形是矩形，∴，∴A、B、C說法正確，不符合題意，根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，∴D說法錯(cuò)誤，故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】下列語句中，不是屬于矩形性質(zhì)的是（

）A．兩條對角線互相平分 B．兩條對角線相等C．四個(gè)內(nèi)角都是直角 D．兩條對角線互相垂直【答案】D【分析】利用矩形的性質(zhì)判斷：對邊平行且相等；四個(gè)角都是直角；對角線互相平分；對角線相等．解：根據(jù)矩形的性質(zhì)：對邊平行且相等；四個(gè)角都是直角；對角線互相平分；對角線相等．A、B、C均為矩形的性質(zhì)，“兩條對角線互相垂直”不是矩形的性質(zhì)；故選D．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，關(guān)于四邊形ABCD的4個(gè)結(jié)論正確的是（）①它兩組對邊分別相等；②它是矩形；③它是平行四邊形；④它有一個(gè)角是直角．A．由①推出③，由③和④推出② B．由④推出②，由②推出①，由①推出③C．由②推出④，由④推出① D．由③推出④，由①和④推出②【答案】A【分析】由平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定進(jìn)行逐一判斷即可．解：A、由兩組對邊分別相等可以推出四邊形ABCD是平行四邊形；由四邊形ABCD是平行四邊形，且四邊形ABCD有一個(gè)角是直角可以推出四邊形ABCD是矩形，即由①推出③，由③和④推出②，故此選項(xiàng)符合題意；B、由四邊形ABCD有一個(gè)角是直角推不出其四邊形是矩形，由四邊形ABCD是矩形能推出其兩組對邊分別相等，由四邊形ABCD兩組對邊相等可以推出其是平行四邊形，由④推不出②，由②推出①，由①推出③故此選項(xiàng)不符合題意；C、由四邊形ABCD是矩形，可以推出它有一個(gè)角是直角，由四邊形ABCD有一個(gè)角是直角不能推出它的兩組對邊分別相等，即由②推出④，由④推不出①，故此選項(xiàng)不符合題意；D、由四邊形ABCD是平行四邊形不能推出它有一個(gè)角是直角，由四邊形ABCD的兩組對邊分別相等和它有一個(gè)直角可以推出它是矩形，即由③推不出④，由①和④推出②，故此選項(xiàng)不符合題意；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形的性質(zhì)與判定以及矩形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】關(guān)于矩形的判定，以下說法不正確的是（

）四個(gè)角相等的四邊形是矩形 B．一個(gè)內(nèi)角是直角且對角線相等的四邊形是矩形C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形【答案】B【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)分析即可．解：A：四個(gè)角相等的四邊形是矩形，該選項(xiàng)正確；B：對角線相等的平行四邊形是矩形，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：對角線相等的平行四邊形是矩形，該選項(xiàng)正確；D：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，該選項(xiàng)正確；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的判定定理，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．類型二、矩形的性質(zhì)??求角度??求線段??求面積（周長）3．如圖，已知是矩形的對角線．用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，分別交于E、F（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見分析 (2)61°【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）證明，再利用平行線的性質(zhì)求解．（1）解：如圖，直線即為所求；（2）垂直平分線段，，，四邊形是矩形，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的作法和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．舉一反三：【變式】如圖，平行四邊形中，對角線相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且．求證：四邊形是矩形．若，求的度數(shù)．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）證明平行四邊形是矩形，只需要證明對角線即可，可通過已知條件證明求得即可．（2）要求的度數(shù)，可先求的度數(shù)，再通過兩銳角互補(bǔ)便可，根據(jù)角的比例系數(shù)可求得，，因此．（1）解：∵，，∴，又∵，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵，是矩形，∴，，∴在中，，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的證明，矩形的性質(zhì)和角的換算，通過比值換算換算出角的度數(shù)再通過三角形內(nèi)角和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在平行四邊形中，平分，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，連接．求證：四邊形是矩形．若，，求線段的值．【答案】(1)見分析 (2)6【分析】（1）欲證明四邊形是矩形，只需推知是直角；（2）在中，由可得．（1）解：證明：四邊形是平行四邊形，．．，．是的平分線，．．又四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形．（2）四邊形是矩形，．，，．在中，，．．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)．注意：本題中通過勾股定理求得有關(guān)線段的長度．舉一反三：【變式】如圖，四邊形中，，對角線相交于點(diǎn)，且．以上條件可證明四邊形是形若，則【答案】(1)矩 (2)【分析】（1）先證四邊形為平行四邊形可得、，然后結(jié)合可得即可得出結(jié)論；（2）先說明是等邊三角形，可得,由矩形的性質(zhì)得，．（1）解：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，又∵，∴，∴四邊形是矩形．故答案為：矩（2）解：∵，∴為等邊三角形，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定、等邊三角形性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．5．在等腰三角形中，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是中點(diǎn)．過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F．試判斷四邊形的形狀，并加以證明；若，，求四邊形的面積．【答案】(1)四邊形是矩形，證明見分析 (2)120【分析】（1）由證明，得，證得四邊形為平行四邊形，再由等腰三角形“三線合一”得，則，根據(jù)矩形的判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，勾股定理求得，然后根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論．（1）解：四邊形是矩形；證明：∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴；∴，∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴四邊形的面積．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在DC上，AM=AB，且，垂足為N．求證：；若AD=3，AN=4，求四邊形BCMN的面積．【答案】(1)見分析 (2)3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，再利用得到，然后用判定三角形全等的“AAS”求解；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出，再利用矩形面積和三角形面積求解．（1）證明：在矩形ABCD中，，，∴．∵，∴．在和中，，∴；（2）解：∵，∴，．∵，，∴，．∵，∴，∴∴，∴．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型三、矩形的性質(zhì)??證明??斜邊上的中線6．如圖，四邊形是矩形，連接交于點(diǎn)O，的平分線交于點(diǎn)E．尺規(guī)作圖：作的角平分線交于點(diǎn)F，連接；（保留作圖痕跡，不寫作法）求證：四邊形是平行四邊形．證明：∵四邊形是矩形∴，∴∵平分，平分∴∴∵在和中∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形【答案】(1)見分析 (2)；；；【分析】（1）利用尺規(guī)作出圖形即可；（2）證明，推出，可得結(jié)論．（1）解∶如圖，即為所求；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．故答案為：；；；【點(diǎn)撥】本題考查作圖——基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．舉一反三：【變式】如圖，在矩形中，垂足分別為E、F．連接求證：．判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見詳解 (2)四邊形是平行是四邊形.【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得.根據(jù)AAS可得，則可得.（2）根據(jù)“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判斷四邊形是平行四邊形.解：（1）∵四邊形是矩形，.又∵∴，（AAS），∴.（2）四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，，.又∵，∴四邊形是平行是四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）.【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定.熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.7．如圖，已知銳角中、分別是、邊上的高，M、N分別是線段、的中點(diǎn)．求證：．若，求證：是等邊三角形【答案】(1)見分析；(2)見分析．【分析】（1）連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，然后由等腰三角形“三線合一”即可得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求出即可證明．解：（1）如圖：連接、，、分別是、邊上的高，,，在與中，M是線段的中點(diǎn)，,，，是等腰三角形，又因?yàn)镹是線段的中點(diǎn)，；（2）在中，，，由（1）可知：，，，，，，由（1）可知是等腰三角形，是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，等邊三角形的證明；掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是中點(diǎn)．作的角平分線交于點(diǎn)（尺規(guī)作圖）．若連接，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見分析 (2)，理由見分析【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）如圖所示，連接，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明，再根據(jù)三線合一定理可得點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則是的中位線，即可推出，則．（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：，理由如下：如圖所示，連接，∵在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵平分，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)，又∵是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線，三角形中位線定理等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型四、矩形的判定??證明??添加條件構(gòu)成矩形8．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，且．將沿對折，邊與邊交于點(diǎn)，且．證明：四邊形為矩形；求平行四邊形的周長．【答案】(1)見分析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，即可證明四邊形為矩形；（2）根據(jù)沿對折得到，根據(jù)對稱性得出，則，，則，進(jìn)而得出進(jìn)而根據(jù)四邊形的周長，即可求解．解：（1）證明：是平行四邊形，，，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)，，，，四邊形為平行四邊形；，，四邊形為矩形；（2）解：，，，將沿對折得到，，，，，，，'，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定，折疊問題，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知：如圖，?中，是中點(diǎn)，連接，延長線交的延長線于點(diǎn)，連接．求證：；若，，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見分析 (2)四邊形是矩形．理由見分析【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）結(jié)合（1）得出，又，則四邊形是平行四邊形，根據(jù)，，得是等邊三角形，所以，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，∴；（2）解：四邊形是矩形，證明：∵，，∵，四邊形是平行四邊形，，，，∵，，是等邊三角形，，，平行四邊形是矩形．【點(diǎn)撥】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)證明解答．9．如圖，平行四邊形中，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與，的延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：；連接，，則與滿足什么條件時(shí)四邊形是矩形？請說明理由．【答案】(1)見分析 (2)當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明即可；（2）請連接、，則與滿足時(shí)，四邊形是矩形，首先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形即可證明．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，．（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：連接，，如圖，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定，解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．舉一反三：【變式】如圖，AD是△ABC的中線，過點(diǎn)A作AEBC，過點(diǎn)B作BEAD交AE于點(diǎn)E．求證：∠E＝∠ADB．當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形ADBE是矩形？請說明理由．【答案】(1)見分析 (2)當(dāng)△ABC滿足AB＝AC條件時(shí)，四邊形ADBE是矩形，理由見分析【分析】（1）證四邊形ADBE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）由（1）可知，四邊形ADBE是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，則∠ADB＝90°，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵AEBC，BEAD，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴∠E＝∠ADB；（2）解：當(dāng)△ABC滿足AB＝AC條件時(shí)，四邊形ADBE是矩形，理由如下：由（1）可知，四邊形ADBE是平行四邊形，∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四邊形ADBE是矩形，故答案為：AB＝AC．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型四、矩形的判定??證明??求值10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，連接OE．求證：四邊形ABCD是矩形；若∠BDE＝15°，求∠EOC的度數(shù)；在（2）的條件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面積．【答案】(1)詳見分析；(2)75°；(3)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)易證∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；（2）由矩形和角平分線的性質(zhì)得出∠CDE＝∠CED＝45°，則EC＝DC，推出∠CDO＝60°，證明△OCD是等邊三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出結(jié)果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長即可．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的對角線互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等邊三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴，∴矩形OEC的面積．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知在△OAB中AO＝BO，分別延長AO，BO到點(diǎn)C、D，使得OC＝AO，OD＝BO，連接AD，DC，CB．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）以AO，BO為一組鄰邊作平行四邊形AOBE，連接CE．若CE⊥AE，求∠AOB的度數(shù)．【答案】（1）見分析；（2）120°．【分析】（1）先說明四邊形ABCD是平行四邊形，可得AC＝2AO、BD＝2BO，進(jìn)而得到AC=BD，即可說明四邊形ABCD是矩形；（2）如圖，連接OE與BD交于F，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EO=AO，即△AEO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求出答案．證明：（1）∵OC＝AO，OD＝BO∴四邊形ABCD是平行四邊形∴AC＝2AO，BD＝2BO又∵AO＝BO∴AC＝BD∴四邊形ABCD是矩形；（2）如圖：連接OE與BD交于F∵四邊形AOBE是平行四邊形∴AE＝BO又∵AO＝BO∴AO＝AE∵CE⊥AE∴∠AEC＝90°∵OC＝OA∴OE＝AC＝AO∴OE＝AO＝AE∴△AOE是等邊三角形，∴∠OAE＝60°∵∠OAE＋∠AOB＝180°，∴∠AOB＝120°．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)并正確添加輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是線段的中點(diǎn)，且，延長至點(diǎn)F使得，連結(jié)和．求證：四邊形是矩形．若，，求的長．【答案】(1)見分析 (2)4【分析】（1）先證明，再證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)可證四邊形是矩形；（2）證明四邊形是平行四邊形，可得，然后利用勾股定理可求的長．解：（1）∵點(diǎn)E分別是線段的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是矩形；（2）∵點(diǎn)D，E分別是線段的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，寫出線段，．求的面積．（用含的代數(shù)式表示）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)使為直角三角形，如果存在，請求出這個(gè)三角形的面積；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)， (2) (3)存在的值為或或，使為直角三角形，面積為或或【分析】（1）過點(diǎn)作軸于，由，、點(diǎn)的坐標(biāo)可得，，，，由勾股定理可求解；（2）分兩種情況討論，由面積關(guān)系可求解；（3）分三種情況討論，由勾股定理可求解．（1）解：如圖，過點(diǎn)作軸于，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，，軸，，，故答案為：，；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，，，，綜上所述：；（3）如圖，再過點(diǎn)作于，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，，軸，四邊形是矩形，，當(dāng)時(shí)，，則，

，；當(dāng)時(shí)，，則，，；當(dāng)時(shí)，，則，，；綜上所述：存在的值為或或，使為直角三角形，面積為或或．【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．12．如圖所示，是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，D是直線上一點(diǎn)，以為邊作，使，，并以、為邊作平行四邊形．當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，交于點(diǎn)G，求證：；求線段的最小值：．當(dāng)直線與的一邊垂直時(shí)，請直接寫出的面積．【答案】(1)見分析 (2) (3)的面積為或或．【分析】（1）由，，可得，是等邊三角形可得，且可得，從而可證；（2）當(dāng)時(shí)，有最小值，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解；（3）分三種情況：①，②，③時(shí)，分別畫出圖形，求出底邊長度和高，即可得到答案．解：（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，，即，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，有最小值，如圖：∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴的最小值為，故答案為：；（3）解：直線與的一邊