263函數(shù)的最值分層練習(xí)-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

2.6.3函數(shù)的最值分層練習(xí)考點(diǎn)01：函數(shù)最值與極值的關(guān)系辨析1．判斷正誤（正確的寫正確，錯(cuò)誤的寫錯(cuò)誤）（1）函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值．()（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得．()（3）有極值的函數(shù)一定有最值，有最值的函數(shù)不一定有極值．()（4）若函數(shù)有兩個(gè)最值，則它們的和大于零．()【答案】正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤【分析】利用極值與最值的關(guān)系判斷（1）；舉反例否定（2）,（3）,（4）.【詳解】（1）函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值，可能是在區(qū)間端點(diǎn)處取得.判斷正確；（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值不一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得，可能函數(shù)的極值．判斷錯(cuò)誤；（3）函數(shù)在區(qū)間上有極大值，但沒有最小值.判斷錯(cuò)誤；（4）函數(shù)在區(qū)間上最大值為0，最小值為，二者之和為小于0.判斷錯(cuò)誤.故答案為：正確；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．是函數(shù)的極大值點(diǎn)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．是函數(shù)的最小值點(diǎn)D．在處切線的斜率小于零【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、切線斜率的正負(fù)．【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確；∴在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故C不正確；∴函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于，切線的斜率大于零，故D不正確.故選：B3．（多選）下列關(guān)于極值點(diǎn)的說法正確的是（

）A．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則該極大值一定大于極小值B．在任意給定區(qū)間上必存在最小值C．的最大值就是該函數(shù)的極大值D．定義在上的函數(shù)可能沒有極值點(diǎn)，也可能存在無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)可以舉出反例，C選項(xiàng)，可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷出正確；D選項(xiàng)可以舉出例子，B選項(xiàng)，從函數(shù)的連續(xù)性上來進(jìn)行解決.【詳解】A選項(xiàng)，例如，在處取得極小值，在處取得極大值，而，故極大值不一定大于極小值，A錯(cuò)誤，C選項(xiàng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)極值的定義可知：在處取得極大值，也是最大值，C正確；對(duì)于D，無極值點(diǎn)，有無數(shù)個(gè)極值點(diǎn)，D正確；在R上為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必定存在最值，所以B正確；故選：BCD．考點(diǎn)02：由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)4．函數(shù)在區(qū)間上的（

）A．最小值為0，最大值為B．最小值為0，最大值為C．最小值為，最大值為D．最小值為0，最大值為2【答案】B【分析】先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到在區(qū)間上單調(diào)性，即可求得在區(qū)間上最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此的最小值為，最大值為.故選：B5．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.【答案】/【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值即可．【詳解】函數(shù)，可得，可知恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，時(shí)，函數(shù)取得最大值：．故答案為：6．已知函數(shù)．(1)求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的值域．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）把點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得切點(diǎn)坐標(biāo)，通過求導(dǎo)，得到切線的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，求切線方程．（2）解不等式，得函數(shù)增區(qū)間，解不等式，得函數(shù)減區(qū)間，結(jié)合，確定函數(shù)單調(diào)性，求得最值，進(jìn)而得出在上的值域．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，，故所求切線方程為，即．（2）由（1）知，．令，得；令，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又，，因?yàn)?，所以，即在上的值域?yàn)椋键c(diǎn)03：已知函數(shù)最值求參數(shù)7．已知函數(shù)的最小值為0，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】1【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)最小值求得的值.【詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增，沒有最小值.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：8．已知函數(shù)在上的最大值為2，則．【答案】1【分析】先求導(dǎo)可知原函數(shù)在上單調(diào)遞增，求出參數(shù)后即可求出.【詳解】解：在上在上單調(diào)遞增，且當(dāng)取得最大值，可知故答案為：19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在處取得最小值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：求導(dǎo)可得①時(shí)，令可得，由于知；令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，令可得；令，得或，由于知或；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；④時(shí)，令可得；令，得或，由于知或∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）時(shí)，，（不符合，舍去）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值，所以函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立時(shí)，只需要即可∴.綜上，.考點(diǎn)04：函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用10．已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】的兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得到，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出的值域，求出答案.【詳解】對(duì)的兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，，令則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上取得極小值，也是最小值，且，故的值域?yàn)?，所以的值域?yàn)?故選：D11．已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)）．(1)若，求證：在上是增函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為.(3)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)大于零即可證明；(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解給定區(qū)間內(nèi)的最值；(3)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性與最值，即可解決能成立問題.【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域，因?yàn)?所以，所以，令解得，所以在上是增函數(shù).（2）因?yàn)?所以，所以，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為.（3）由得，即，因?yàn)椋?，所以，且?dāng)時(shí)，所以在恒成立，所以，即存在時(shí)，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．已知函數(shù)在處的切線斜率為2.(1)求的值；(2)求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）根據(jù)切線斜率求參即可；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為正得出函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題得，故.（2）由（1）得，則，在上單調(diào)遞增，故最小值為，最大值為.考點(diǎn)05：由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)13．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值為3，最小值為－6，則＝.【答案】【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到的極小值，聯(lián)立解方程組解出即可.【詳解】由題可知，因?yàn)?，，所以，令，即，解得，令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)樗?，所以所以解得所?故答案為:.14．已知函數(shù)的最小值為0，則.【答案】【分析】求導(dǎo)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值.【詳解】因?yàn)椋?若，則在上單調(diào)遞減，無最小值.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：15．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．【答案】(1)在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；(2)【分析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，得，令時(shí)，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.1．圓柱的軸截面是周長為12的矩形，則滿足條件的圓柱的最大體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件確定，再將體積轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積的最大值.【詳解】圓柱的底面半徑為，高為，則，即，圓柱的體積，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值.故選：A2．如圖所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，當(dāng)?shù)妊菪蜛BDE的面積最大時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，繼而表示出ABDE的面積，化簡得，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性，繼而根據(jù)單調(diào)性得解.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，設(shè)等腰梯形ABDE的面積為S，則，因?yàn)椋?，所以．則，令，得或，由于，所以，所以，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，S取得極大值，也是最大值．故選：B．3．函數(shù)，若恒有，則a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知的最小值大于等于0，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【詳解】由題可得，由，可得，此時(shí)單調(diào)遞減，由，可得，此時(shí)單調(diào)遞增，∴，∴.故選：C.4．（多選）已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若曲線與相切于點(diǎn)，則，B．若，，則曲線與相切C．若，則恒成立D．若，且的最小值為0，則【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)，，對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，又，故在處的切線方程為，即，故此時(shí)，故A正確；對(duì)B：令，解得，又，故此時(shí)在處的切線方程為：，即，此時(shí)，故錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，故，則正確；對(duì)D：若，則，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故單調(diào)遞增，不存在最小值，故舍去；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，又其最小值為0故，解得，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬綜合基礎(chǔ)題.5．已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是.【答案】【分析】依題意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】不等式對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，，時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，無最小值，函數(shù)和函數(shù)在上都單調(diào)遞增，，，不恒成立.時(shí)，恒成立，此時(shí)，時(shí)，解得，解得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，故，，，綜上可知，實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.6．已知函數(shù)，若在區(qū)間上單增且最大值為0，寫出一組符合要求的a，b，，.【答案】0（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】，求出當(dāng)時(shí)，或，根據(jù)題意可知，取，而，即可求出值.【詳解】，令，解得或，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，最大值為，則，不妨取，則，故答案為：0；.（答案不唯一）7．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”；已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】求出和，由題中所給定義，將參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】∵，∴，，若在為“凸函數(shù)”，則，，即，，設(shè)，則，∴在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：[2,+∞)8．設(shè)函數(shù)，其中．若的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，由最小值大于0可得參數(shù)范圍．【詳解】的定義域是，．∵，∴．∴在上，，嚴(yán)格減；在上，，嚴(yán)格增．∴．∵的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，∴，∴．故答案為：．9．已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，在上確定函數(shù)的單調(diào)性與最小值，由此確定，利用單調(diào)性得最小值，從而求得．【詳解】函數(shù)定義域是，因此，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，，所以，此時(shí)在上遞增，，解得或（舍去），故答案為：2．10．已知，為正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上的最大值為，則在上的最小值為．【答案】【詳解】試題分析：∵，為正實(shí)數(shù)，∴，即.則在上的最小值為.考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、最值問題.11．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求在處的切線方程．(2)若，求在區(qū)間上最大值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)出的函數(shù)值為零，求得的值，繼而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，及切線的斜率，即可求得切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論比較和的大小，即可求得.【詳解】（1），又是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即∴，∴，在處的切線方程為，即，所以在處的切線方程是（2），令，得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增而，①當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，12．已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)設(shè)，若恰有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求導(dǎo)得到，再分類討論求解函數(shù)的最值即可.（2）首先函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，從而得到恰有個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，得到有兩個(gè)解，再設(shè)令，利用單調(diào)性和最值求解即可.【詳解】（1）由題得，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故無最值當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得唯一的極小值，即為最小值，即，綜上所述，當(dāng)時(shí)，無最值當(dāng)時(shí)，的最小值為，無最大值.（2），函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，即恰有個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，，單調(diào)遞增，有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又時(shí)，，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為.1．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由題設(shè)條件可得，求出導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可求其范圍.（2）易得，求出其導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得，則，，依題意須對(duì)于任意，有.當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像開口向上，而，所以須，即.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，符合條件；當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，，符合條件；當(dāng)時(shí)，因，不符合條件，故的取值范圍為.（2）因（i）當(dāng)時(shí)，，在上取得最小值，在上取得最大值，（ii）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意有.在取得最大值，在取得最小值.（iii）當(dāng)時(shí)，由得，①若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在得最小值；在取得最大值.②若，即時(shí)，在取得最大值，在或取得最小值，而，，則當(dāng)時(shí)，在取得最小值，當(dāng)