專題9導數(shù)與三角函數(shù)交匯問題（學生版）

專題9：導數(shù)與三角函數(shù)交匯問題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>導數(shù)與三角函數(shù)交匯問題是指，應用導數(shù)的基礎知識與方法，研究問題情境中含有三角函數(shù)的函數(shù)問題.函數(shù)的特征是：全三角函數(shù)型、三角函數(shù)與多項式函數(shù)組合型、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)組合型、三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)組合型等.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>導數(shù)與三角函數(shù)交匯問題的題型常見的有：函數(shù)零點問題、不等式恒成立問題、不等式證明問題、極值點偏移問題等，分析求解時既要充分應用導數(shù)的工具性作用，又要充分應用三角函數(shù)的性質(zhì)與三角恒等變換技巧，關(guān)健是靈活應用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的有界性.題型一：三角題型一：三角函數(shù)與多項式函數(shù)組合型題設情境是含三角函數(shù)的常系數(shù)不等式證明問題和不等恒成立求參變量取值范圍問題.第（1）小問應用導數(shù)求函數(shù)的最值證明不等式；第（2）小問應用“參變分離”法，應用數(shù)學建模構(gòu)造函數(shù)，然后應用導數(shù)和換元法求新構(gòu)造函數(shù)的極值點，最后應用分類與整合思想探究參數(shù)a的取值范圍。例1已知函數(shù)f(x)=4ax?sinx（1）若a=14，當x∈（2）若當x∈[0,+∞)時，f(x)≥0【思路點撥】第（1）問注意到f(π)=π2，因此應用導數(shù)推導函數(shù)f(x)在(0,π)上單調(diào)遞增即可；第（2）問題設情境為不等式恒成立問題，注意到2ax的導數(shù)為2a,而2+cosx>0,因此由參變分離技巧將4ax?sinx+2ax練1.已知函數(shù)fx（1）若曲線y=fx在點0,f①求實數(shù)a的值：②證明：函數(shù)fx在π（2）當a≤2π時，證明：對于區(qū)間π,練2.已知函數(shù)fx=a（1）求實數(shù)a的值；（2）求證：fx存在唯一的極小值點x0，且（3）設Fx=xfx+ax2?a，（參考結(jié)論：，?12題型二：三角題型二：三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)組合型題設情境是含三角函數(shù)的常系數(shù)不等式證明問題和已知函數(shù)零點個數(shù)求參變量取值范圍問題.第（1）小問應用放縮法判定導函數(shù)取值的正負情形，應用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而證明不等式；第（2）小問利用第（1）問的結(jié)論找到參數(shù)a的取值范圍，然后通過二次求導及零點定理證明，當參數(shù)a在該范圍內(nèi)取值時，原函數(shù)有且僅有兩個零點。例2已知函數(shù)f(x)=ex?ax（1）當a=12時，求證：（2）若函數(shù)fx有兩個零點，求實數(shù)a【思路點撥】第(1)問注意到f0=0聯(lián)想函數(shù)fx在0,π上單調(diào)遞增,連續(xù)2次求導后,應用當x∈0,π時，ex≥1,12xsinx≥0，推導2階導數(shù)大于零,從而推導f'x≥f'0＝0,得函數(shù)fx在0,π上單調(diào)遞增而證明fx≥0.第(2)問由第(1)問可推導當a≤1練3已知函數(shù)fx=exsinx?ax（1）當a=0時，討論函數(shù)f（2）當12≤a≤1時，求證：對任意的x∈0,+∞練4.已知函數(shù)f(x)=e(1)若a=?1，求f(x)的最小值；(2)若f(x)有且只有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．題型三：三角題型三：三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)組合型題設情境是含參變量函數(shù)的極值問題和有關(guān)函數(shù)零點的不等式證明問題.第（1）小問應用導數(shù)與函數(shù)極值的基本知識，通過分類討論求函數(shù)的極值；第（2）小問由題設條件“當x1≠x2時，例3已知函數(shù)fx=x?asinx+mlnx,g（1）求函數(shù)y=gx（2）若存在x1,x2∈0,+∞，且當x1【思路點撥】第(1)問應用導數(shù)研究函數(shù)極值的基礎知識與基本方法求函數(shù)y=gx的極值;第(2)問由題設情境因為“fx1=fx2”，所以“x1練5已知函數(shù)f(x)=axlnx，f'x為f(x)（1）若函數(shù)g(x)=f'x+（2）當時，求證：f(x)<ex+練6已知函數(shù)f(x)=sinx?ln(證明：(1)f'(x)在區(qū)間(2)f(x)有且僅有2個零點．<<<專題訓練>>><<<專題訓練>>>1.已知函數(shù)f(x)=(1)當a=2時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)當x∈(0,π)時，f(x)>0，求實數(shù)a的取值范圍．2.已知函數(shù)fx（1）若x=?1為fx的極小值點，求a（2）若fx有唯一的極值?1e?1，證明：3.已知函數(shù)fx（1）若a=2，求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；（2）若函數(shù)gx=fx+lnx+1，是否存在a4.已知fx（1）若函數(shù)gx=fx+xcosx?sinx?xlnx?1在（2）若關(guān)于x的方程xex?a=f5.已知函數(shù)f(x)=xsin(1)當a=0時，討論f(x)在區(qū)間(?π(2)設f(x)在區(qū)間(0,π)上存在兩個極值點x1，x①求a

的取值范圍；②若f(x1)+f(6.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)?1(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間?1,π(2)證明：127.已知