《12.3角的平分線的性質(zhì)》

《12.3角的平分線的性質(zhì)》一、課標內(nèi)容1.能用尺規(guī)完成基本作圖:作一個角的平分線。2.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點到角兩邊的距離相等。3.能運用角平分線的性質(zhì)解決簡單的幾何問題。二、教材分析本節(jié)內(nèi)容是全等三角形知識的運用和延續(xù)。用尺規(guī)作一個角的平分線，其作法原理是三角形全等的“邊邊邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì);角的平分線的性質(zhì)證明，運用了三角形全等的“角角邊”判定方法和全等三角形的性質(zhì)。角的平分線的性質(zhì)反映了角的平分線的基本特征，也是證明兩條線段相等的常用方法。數(shù)學(xué)問題中涉及角的平分線時，就相當(dāng)于已知一對線段(角的平分線上的點到角的兩邊的垂線段)相等。角的平分線的性質(zhì)的研究過程為以后學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì)提供了思路和方法。因此它既是對前面所學(xué)知識的應(yīng)用，又是為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊，具有舉足輕重的作用。因此本節(jié)課在教材中占有非常重要的地位。三、學(xué)情分析本節(jié)課在學(xué)習(xí)了三角形全等的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)，學(xué)生已有了實驗操作，猜想歸納，推理證明的能力和知識基礎(chǔ)。但這是首次證明幾何命題，教師要引領(lǐng)學(xué)生分析命題，找出題設(shè)和結(jié)論，畫出幾何圖形，再用幾何語言寫出已知和求證。這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象思想，提高了邏輯推理能力。應(yīng)用性質(zhì)定理時學(xué)生容易把垂線段的條件丟掉，教師要注意強調(diào)。四、教學(xué)目標1.會用尺規(guī)作圖作角平分線，能簡單運用角平分線的性質(zhì)，了解證明一個幾何命題的方法與步驟，能利用三角形全等證明角平分線的性質(zhì)。2.發(fā)展推理證明意識和能力，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言、圖形語言的能力。3.學(xué)生提高探究問題的興趣，增強解決問題的自信心。五、重點難點教學(xué)重點:掌握角平分線的尺規(guī)作圖，理解角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。教學(xué)難點:探索并證明角的平分線的性質(zhì)并能初步運用。六、教學(xué)方法根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容、學(xué)生的認知特點、教學(xué)目標以及重難點，我采用啟發(fā)式探索發(fā)現(xiàn)法、主動式探究法、講授法等教學(xué)方法，幫助學(xué)生從實踐中獲得知識。我還采用多媒體輔助教學(xué)，利用幾何直觀，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，有利于學(xué)生對知識的理解和掌握。學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。八年級的學(xué)生對于知識具有較好的理解能力和應(yīng)用能力，喜歡合作探討式學(xué)習(xí)。在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生除了認真聽講、積極思考外，我還將引導(dǎo)他們自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)，指導(dǎo)他們“動手操作、合作交流、自主探究”，鼓勵學(xué)生多思、多說、多練，堅持師生間的多向交流，努力做到教法、學(xué)法的最優(yōu)組合。七、課時安排1課時八、教學(xué)媒體課件、角平分儀器、幾何畫板。九、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)舊知1.全等三角形的性質(zhì)與判定；角平分線的定義是什么？2.問題1:在練習(xí)本上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線?(用量角器度量，也可用折紙的方法)問題2:如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎?（不能）問題3:如圖(PPT)，是一個角平分儀，AB=AD,BC=DC將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?教師啟發(fā)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并運用全等三角形的知識解釋平分角的儀器的工作原理。[設(shè)計意圖]從學(xué)生已有的知識出發(fā)，以問題作為本課的切入點，激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的興趣，為新課的開展創(chuàng)造了良好的教學(xué)氛圍。三個問題采用遞進式降低起點，縮小步子。第三個問題采用教具進行演示，使得課堂更加生動直觀，為學(xué)生思考尺規(guī)作角平分線奠定基礎(chǔ)。（二）探究新知1.角的平分線的畫法從利用平分角的儀器畫角的平分線中,你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？學(xué)生交流,教師引導(dǎo)提示學(xué)生用直尺和圓規(guī)作出角的平分線，并用三角形全等進行證明，明確作圖的理論依據(jù)。2.角的平分線的性質(zhì)（1）如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE并作比較你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個點試一試。（2）學(xué)生觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論:（3）教師用幾何畫板進行演示。（4）學(xué)生猜想：（5）證明猜想教師引導(dǎo)學(xué)生分析命題的條件和結(jié)論,畫出圖形，用符號語言寫出已知和求證，完成證明過程。已知：∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD=PE．思考:角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？主要是用于判斷和證明兩條線段相等,與以前的方法相比,運用此性質(zhì)不需要先證兩個三角形全等;為作輔助線提供了又一途徑(過角平分線上一點向兩邊作垂線段)。（6）歸納總結(jié)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。幾何語言：∵OC是∠AOB的平分線PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？明確命題中的已知和求證；根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。[設(shè)計意圖]探究角平分線性質(zhì)是本節(jié)課的難點，教師借助幾何畫板進行演示學(xué)生經(jīng)歷畫圖一測量一猜想一證明這一系列探究的過程，初步獲得研究幾何問題的方法和步驟。教學(xué)設(shè)計上，以學(xué)生的視角設(shè)置適合學(xué)生認知水平的問題，借住現(xiàn)代信息技術(shù)進行展示，使學(xué)生主動探究，發(fā)現(xiàn)問題，獲得新知:經(jīng)歷實驗、猜想、論證的探究過程，在探究中突出重點、突破難點。（三）新知運用1.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D下列結(jié)論中錯誤的是（）A.PC=PDB.OC=ODC.∠CPO=∠DPOD.OC=PO2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則三角形BCD的面積為()A.8B.7.5C.15D.無法確定3.如圖，點D、B分別在∠MAN的兩邊上，C是∠MAN內(nèi)一點，AB=AD，BC=CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F。求證：CE=CF[設(shè)計意圖]通過有梯度的訓(xùn)練，提高學(xué)生運用角的平分線的性質(zhì)解決問題的能力。題目1是角的平分線性質(zhì)的應(yīng)用；題目2是面積、角的平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題的能力；題目3是角的平分線性質(zhì)，三角形全等知識的綜合應(yīng)用，提高學(xué)生的推理能力。（四）歸納小結(jié)1.這節(jié)課你有哪些收獲？2.這節(jié)課你還有什么困惑？3.你還想知道什么？[設(shè)計意圖]讓學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲與體會。通過引導(dǎo)學(xué)生自主歸納，調(diào)動學(xué)生的主動參與意識，鍛煉學(xué)生歸納概括與表達能力。（五）布置作業(yè)1.必做題:制作一個角平分儀。2.選做題:如圖，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則:(1)哪條線段與DE相等?為什么?A(2)若AB=10,BC=8,AC=6，求BE,AE的長和△AED的周長。A[設(shè)計意圖]課后作業(yè)分為選做題和必做題。必做題學(xué)生動手完成，一方面為了鍛煉他們的動手能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面盡量落實國家的雙減政策，盡量少布置或不布置課后作業(yè)。對于一些學(xué)有余力、喜歡鉆研的學(xué)生，我又設(shè)置了一道選做題，以便不同的孩子能夠得到不同的發(fā)展（六）板書設(shè)計定義角的平分線的性質(zhì)定義畫法角的平分線畫法角的平分線性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用應(yīng)用判定判定？[設(shè)計意圖]此板書力求清晰地展現(xiàn)本節(jié)課的知識脈絡(luò)，來反映數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)特色，給學(xué)生以美的享受,以達到樂學(xué)于其中、陶冶情操、學(xué)識增長的三維一體式的教學(xué)效果。十、備課反思本節(jié)課的設(shè)計思路是從問題出發(fā)，先通過折紙?zhí)剿鹘瞧椒志€，再提出遇到不能對折的木板或鋼板類角時如何平分的問題，引出角平分儀，進而類比介紹角平分線的作法。對于角的平分線的性質(zhì)的探究，我是按操作猜想、驗證的學(xué)習(xí)過程進行，先讓學(xué)生通過折紙，提出思考問題，鼓勵學(xué)生思考，作出猜想，