《平面》名師課件2

平面生活中有哪些事物給我們以平面的形象？

情境導入

生活與數(shù)學YOURSITEHERE平靜的海面教室里的桌面、黑板面、墻面、地面平整的紙張平面的形象學習目標：

1、掌握平面的表示法，點、直線、平面的關系，有關平面的三個公理；2、會用符號語言表示圖形中點、直線、平面之間的關系；3、通過共同討論，增強對平面的感性認識，認識到我們所處的世界是一個三維空間。學習重點：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性質，注意它們的條件、結論、作用、圖形語言及符號語言。

學習難點：平面基本性質的掌握與運用。思考1:將一條線段向兩端無限伸展得到的圖形是什么？將課桌面、平靜的水面向四周無限伸展得到的圖形是什么？思考2:直線是否有長短、粗細之分？平面是否有大小、厚薄之別？一.平面

平面是從日常見到的具體平面抽象出來的理想化模型。它具有無限延展，不計大小，不計厚薄的特征。

自主探究

二.平面的畫法及表示方法（1）水平放置的平面：（2）豎直放置的平面：通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成ABCD文字語言圖形語言符號語言位置關系內

容語

言點與直線的位置關系點在直線上點在直線外AC三.用數(shù)學符號來表示點、線、面之間的位置關系：ABaPbC直線與平面的位置關系文字語言圖形語言符號語言位置關系內

容語

言點與平面的位置關系點在平面內點不在

平面內直線在平面內直線在平面外αAαBαα思考如果直線與平面α有一個公共點，直線是否在平面α內？如果直線與平面α有兩個公共點呢？

合作探究

如果直線l與平面α有一個公共點P，直線l是否在平面α內？思考

實際生活中，我們有這樣的經驗：把一根直尺邊緣上的任意兩點放到桌面上，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上。思考桌面αAB

如果直線l與平面α有兩個公共點，直線l是否在平面α內？

公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。ABl作用：判定直線是否在平面內。

在生產、生活中，人們經過長期觀察與實踐，總結出關于平面的一些基本性質，我們把它作為公理。這些公理是進一步推理的基礎。BCABCA自行車有一個腳撐就可站穩(wěn)，為什么？思考思考:過空間中一點可以做幾個平面？過空間中兩點呢？三點呢？公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。ACB存在性唯一性作用：確定平面的主要依據(jù)。

不再一條直線上的三個點A、B、C所確定的平面，可以記成“平面ABC”。下列條件，哪些能確定一個平面？1、一直線和直線外一點2、兩條平行直線3、兩條相交直線思考推論1.一條直線和直線外一點確定一個平面。推論2.兩條相交直線確定一個平面。推論3.兩條平行直線確定一個平面。公理2.不共線的三點確定一個平面。確定一平面還有哪些方法？aACBB

把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點B

？思考在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。

觀察長方體，你能發(fā)現(xiàn)長方體的兩個相交平面有沒有公共直線嗎？觀察

這條公共直線B’C’叫做這兩個平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交線。

另一方面，相鄰兩個平面有一個公共點，如平面A’B’C’D’和平面BB’C’C有一個公共點B’，經過點B有且只有一條過該點的公共直線B’C’。

公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。作用：①判斷兩個平面相交的依據(jù)。②判斷點在直線上。Pl例題講解：例1、(1)用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形．平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC.(2)將下面用符號語言表示的關系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.探究點一三種語言的相互轉化[解]

(1)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用圖形表示：(如圖所示)．(2)文字語言敘述為：點A在平面α與平面β的交線l上，直線AB，AC分別在平面α，β內，圖形語言表示如圖所示．

(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)由符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．例題講解：注意：例題講解：探究點二點、線共面問題例2、證明：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內．證明：法一：(納入平面法)因為l1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個平面α.因為l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因為l2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因為B∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1，l2，l3在同一平面內．例題講解：探究點二點、線共面問題例2、證明：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內．已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內．法二：(輔助平面法)因為l1∩l2＝A，所以l1，l2確定一個平面α.因為l2∩l3＝B，所以l2，l3確定一個平面β.因為A∈l2，l2?α，所以A∈α.因為A∈l2，l2?β，所以A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共線的三個點A，B，C既在平面α內，又在平面β內．所以平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內．證明點、線共面的常用方法(1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內；(2)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．注意：例題講解：探究點三點共線、線共點問題例3、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點，若MN與EF交于點Q，求證：D、A、Q三點共線．[證明]因為MN∩EF＝Q，所以Q∈直線MN，Q∈直線EF，又因為M∈直線CD，N∈直線AB，CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.所以M、N∈平面ABCD，所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF?平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因為平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直線AD，即D、A、Q三點共線．(1)證明三點共線的方法①首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知，這些點都在兩個平面的交線上．②選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．(2)證明三線共點的步驟①說明兩條直線共面且交于一點．②說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交．③得到交線也過此點，從而得到三線共點．例題講解：探究點四平面交線問題例4、如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中點，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線．

[解]如圖所示，在平面AA1D1D內，D1F與DA不平行，分別延長D1F與DA，則D1F與DA必相交，設交點為M.

因為M∈FD1，M∈DA，F(xiàn)D1?平面BED1F，DA?平面ABCD，所以M∈平面BED1F∩平面ABCD.又B∈平面BED1F∩平面ABCD，連接MB.則直線MB＝平面BED1F∩平面ABCD，即直線MB即為所求兩平面的交線．解決此類問題，必須注意兩個平面不存在只有一個公共點的情形．如果有一個公共點，那么必定有無數(shù)多個公共點，且這些點恰好組成一條直線．同時要注意，找到兩個平面的一個公共點，交線的具體位置還無法判定，只有找到兩個公共點，才能確定這兩個平面的交線，這是做幾何體截面時確定交線經常用到的方法．素養(yǎng)提煉：1．立體幾何中的平面與平面幾何中的平面圖形的區(qū)別(1)平面圖形如三角形、正方形、梯形等，它們有大小之分，可以度量．(2)立體幾何中的平面是無大小、厚薄之分的，是不可度量的，它可以無限延展，沒有邊界．(3)立體幾何中的平面是理想的，絕對平的．2．符號語言的理解立體幾何中引用集合的觀點，把點看作元素，直線(平面)為點的集合．點與直線(平面)的關系是屬于或不屬于關系，用符號“∈”或“?

”．直線與平面的關系是包含或不包含關系，用符號“?”或“?

”表示．素養(yǎng)提煉：3．對公理2的理解(1)公理2的條件是“過不在一條直線上的三點”，結論是“有且只有一個平面”．條件中的“三點”是骨干，一般不會被忽視，但“不在一條直線上”這一附加條件則易被遺忘，若無，結論就不成立了．同時要注意經過一點、兩點或在同一直線上的三點可有無數(shù)個平面；過不在一條直線上的四點，不一定有平面．(2)公理2中“有且只有一個”的含義要準確理解，這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一．素養(yǎng)提煉：4．平面的畫法(1)水平的平面的畫法：畫表示水平的平面的平行四邊形，通常把銳角α畫成45°，橫邊畫成鄰邊的2倍．(2)直立的平面的畫法：畫表示直立的平面的平行四邊形，要有一組對邊為鉛垂線．(3)非水平非直立的平面的面法：畫表示非水平非直立平面的平行四邊形，只要將銳角α畫成不等于45°就可以．平面、平面的畫法及表示法；點、線、面之間的位置關系；3.平面的基本性質：

(1)如何判定直線在平面內？

(2)哪些圖形可以確定一個平面？

(3)如何判定兩個平面相交？小結

總結反