知識總結：平面解析幾何初步

8/8平面解析幾何初步總結重難疑點透視重難疑點透視1.詳析直線的傾斜角與斜率（1）定義：把直線中的系數(shù)叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線的斜率不存在．軸正向與直線向上的方向所成的角，叫做這條直線的傾斜角．經(jīng)過兩點、的直線的斜率．（2）斜率與傾斜角的關系：時，；時，且隨的增大而增大；不存在時，；時，且隨的增大而增大．2.比較直線的五種方程名稱方程常數(shù)的幾何意義適用條件點斜式是直線上的一個定點，是斜率直線不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在軸上的截距直線不垂直于軸兩點式，是直線上的兩個定點直線不垂直于軸和軸截距式，分別是直線在軸，軸上的非零截距直線不垂直于軸和軸，且不過原點一般式（），，為系數(shù)任何情況特殊直線（軸：）垂直于軸且過點斜率不存在（軸：）垂直于軸且過點斜率3.辨析兩條直線相交、平行、重合、垂直的兩種條件直線方程：，：：，：，相交的等價條件與相交與相交平行的等價條件且且重合的等價條件與重合且與重合且垂直的等價條件說明：兩直線的交點坐標即為對應方程組成的方程組的解．方程組有一組解，則兩直線有一個交點；方程組無解，則兩直線平行．4.根據(jù)直線位置關系妙設直線方程（1）與直線平行的直線方程可設為（為參數(shù)，且）；與直線垂直的直線方程可設為（為參數(shù)）．（2）與直線平行的直線方程可設為；與直線垂直的直線方程可設為．（3）過直線與的交點的直線方程可設為（為參數(shù)）．注意此方程中不包括直線，在解題時要驗證該直線是否符合題意．特別地，直線過定點問題，一般將直線方程整理為的形式，將定點轉化為直線與的交點．5.記憶重要公式，重視坐標法思想（1）四個距離公式和中點坐標公式類型已知條件公式中點坐標，，數(shù)軸上的點，兩點間的距離，點到直線的距離，：兩平行直線的距離：，：，（，不同時為零）（2）坐標法思想：即根據(jù)圖形特點，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用坐標表示相關量，利用坐標間的代數(shù)計算解決幾何問題．6.明確圓的兩種方程，掌握待定系數(shù)法（1）圓的標準方程：，其中，圓心是，半徑是．圓的一般方程：．其中圓心是，半徑是．注意：二元二次方程表示圓的條件是和項的系數(shù)相等且不為零；沒有項．（2）圓的標準方程和一般方程中都含有三個參變量（或），求圓的方程時，由題意得到三個獨立的條件，利用待定系數(shù)法求出三個參變量的值即可．7.點擊圓的相關位置關系（1）點與圓的位置關系點與圓的位置關系有三種：點在圓上、點在圓內(nèi)、點在圓外，可通過點到圓心的距離與半徑的大小關系來判斷．（2）直線與圓的位置關系直線圓的位置關系有三種：相交、相離、相切，其判斷方法有兩種：代數(shù)法（通過解直線方程與圓的方程組成的方程組，根據(jù)解得個數(shù)來判斷）、幾何法（由圓心到直線的距離與半徑的大小關系來判斷）．（3）圓與圓的位置關系圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其判斷方法有兩種：代數(shù)法（根據(jù)兩圓方程聯(lián)立的方程組解的情況判斷）、幾何法（根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑，之間的關系判斷）．8.牢記圓的切線求法，細解弦長問題（1）圓的切線求法：①設切線斜率，得到切線方程，與圓聯(lián)立化為一元二次方程，依據(jù)判別式為0求解；②設切線斜率，得到切線方程，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求解．解題時，注意切線斜率不存在的情況．（2）當直線與圓相交時，圓的半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形．（3）求相交兩圓的公共弦長時，可通過兩圓方程相減求出兩圓公共先所在的直線方程，進而求出其中一圓心到直線的距離及該圓的半徑，利用勾股定理求出弦長的一半，從而求得弦長．9.明晰空間直角坐標系的建立法則，直擊距離公式（1）建林的空間直角坐標系要遵循右手法則．（2）空間中，之間的距離．專題歸納探究專題歸納探究專題一巧設直線方程解題 在本章中，經(jīng)常要用直線方程解決問題，但很多時候直線方程并非已知，而是要設出方程進而解決問題，這時，如何選擇方程形式將決定解題過程中的優(yōu)劣簡繁．典例1直線過點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，求直線的方程．研析由題意知，直線在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為0．方法一設直線的方程為或．當直線的方程為時，∵點在上，∴，解得，∴直線的方程為；當直線的方程為時，∵點在上，∴，解得，∴直線的方程為．綜上所述，所求直線的方程為或．方法二設直線的方程為．令，得；令，得．由題意，得，∵，∴．當時，直線的方程為，∵點在上，∴，，∴直線的方程為，即；當時，直線的方程為，∵點在上，∴，，∴直線的方程為．綜上所述，所求直線的方程為或．方法探究凡涉及直線與坐標軸所圍成三角形的面積或周長等與截距有關的問題，用截距式較簡單，但要注意截距式應用的前提是截距存在且不為零．典例2已知直線過點，且點，到直線的距離相等，求直線的方程．研析設直線的方程為，即．由點到直線的距離公式可得，解得或．故直線的方程為或．方法探究設直線方程為，避免了漏掉斜率不存在的情況（斜率不存在即）．典例3已知圓，求過點的圓的切線方程．研析設所求切線的方程為，即．圓的圓心坐標為，半徑．由題意可知，解得或，故所求直線方程為或．方法探究過圓上一點求圓的切線方程，都可能存在切線斜率不存在的情形．為了避免討論斜率和判斷點與圓的位置關系，可直接設切線方程為．專題二探討兩類圓方程的求解方法1.求過直線與圓的交點的圓的方程解此類問題的方法是：聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點坐標，根據(jù)點在圓上及其他條件求圓的方程．典例1求經(jīng)過直線與圓的交點，且經(jīng)過點的圓的方程．研析解方程組得或即直線與圓交于點和點．設所求圓的方程為，分別將，，的坐標代入，得方程組解得∴所求圓的方程為． 2.求過兩圓交點的圓的方程 求過兩圓交點的圓的方程，一般先求出兩圓的交點坐標，在利用圓的幾何性質(zhì)確定所求圓的圓心坐標和半徑；也可由題意設出所求圓的方程，再根據(jù)條件建立方程組求參即可． 典例2求圓心在直線上，且經(jīng)過兩圓和的交點的圓的方程．研析方法一由解得或 故兩圓和的交點分別為，． 線段的垂直平分線的方程為，由解得 ∴所求圓的圓心坐標為，半徑為， ∴所求圓的方程為． 方法二同方法一求得，，設所求圓的方程為，由解得 ∴所求圓的方程為． 接下來介紹利用過兩圓交點的曲線方程來解決上述問題的方法． 這里談的過兩圓交點的曲線方程是指過兩圓交點的圓的方程及它的特例—直線的方程． 經(jīng)過兩點的圓有無數(shù)個，這些圓有一共同的性質(zhì)：圓心都在已知兩點連線的垂直平分線上，構成了一個圓的集合，記這個集合為． 我們把具有某一共同性質(zhì)的所有的圓的集合成為圓系，它的方程叫做圓系方程． （1）設圓過圓：與圓：的交點，，則與圓同心的圓系方程為①，其中為參數(shù)且．該圓系方程不包括圓．方程①的特例：當時，方程①變?yōu)棰? 若圓與圓相切，這時點，重合為一點