《歸納推理》教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGE2/20選修1-2第二章推理與證明2.1.1歸納推理(陳昌杰)一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過(guò)對(duì)歸納推理的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過(guò)生活與數(shù)學(xué)實(shí)例使學(xué)生初步理解什么是歸納推理.(2)通過(guò)例題的講解與練習(xí)的訓(xùn)練，使學(xué)生初步掌握歸納推理的方法與技巧，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)歸納推理的理性認(rèn)識(shí).(3)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能在今后的學(xué)習(xí)及日常生活中有意識(shí)地使用它們，以培養(yǎng)言之有理，論證有據(jù)的習(xí)慣.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)了解歸納推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)用歸納進(jìn)行推理并作出猜想.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1預(yù)習(xí)教材P22—P29思考：什么是推理？任務(wù)2什么是歸納推理？歸納推理有何特點(diǎn)？以前遇到過(guò)這類推理嗎？2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.下列關(guān)于歸納推理的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過(guò)程B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過(guò)程C.歸納推理得出的結(jié)論具有偶然性，不一定正確D.歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能解：A2.下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排列起來(lái)，那么第36顆珠子的顏色是（）○○○●●○○○●●○○○●●○○……A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大解：A3.由數(shù)列1,10,100,1000，…猜測(cè)該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是（）A.10nB.10n－1C.10n＋1D.11n解：B4.觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為（）解：A觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩個(gè)陰影一個(gè)空白，應(yīng)為黑色矩形.答案為A.5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x軸，y軸，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為（）A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1D.ax＋by＋cz＝1答案：A解析：從方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的結(jié)構(gòu)形式來(lái)看，空間直角坐標(biāo)系中，平面方程的形式應(yīng)該是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案為A（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧(1)哥德巴赫猜想：觀察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜測(cè)：任一偶數(shù)（除去2，它本身是一素?cái)?shù)）可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和.1742年寫信提出，歐拉及以后的數(shù)學(xué)家無(wú)人能解，成為數(shù)學(xué)史上舉世聞名的猜想.1973年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)，證明了充分大的偶數(shù)可表示為一個(gè)素?cái)?shù)與至多兩個(gè)素?cái)?shù)乘積之和，數(shù)學(xué)上把它稱為“1+2”.(2)費(fèi)馬猜想：法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家之王—費(fèi)馬（1601-1665）在1640年通過(guò)對(duì)，，，，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù)，于是提出猜想：對(duì)所有的自然數(shù)n，任何形如的數(shù)都是素?cái)?shù).后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，發(fā)現(xiàn)不是素?cái)?shù)，推翻費(fèi)馬猜想.(3)四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國(guó)倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題.1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用1200個(gè)小時(shí)，作了100億邏輯判斷，完成證明.2.問(wèn)題探究問(wèn)題探究一什么是推理？推理是人們思維活動(dòng)的過(guò)程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程.（1）由銅、鐵、鋁、金、銀能導(dǎo)電，能歸納出什么結(jié)論？所有的金屬都能導(dǎo)電.（2）由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和180度，能歸納出什么結(jié)論？所有的三角形內(nèi)角和180度.（3）觀察等式：，能得出怎樣的結(jié)論？問(wèn)題探究二歸納推理的含義●活動(dòng)一什么是歸納推理？由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.●活動(dòng)二歸納推理的特點(diǎn)由部分到整體，由特殊到一般●活動(dòng)三歸納推理的作用①發(fā)現(xiàn)新事實(shí),獲得新結(jié)論;②提供解決問(wèn)題的思路和方向.●活動(dòng)四如何進(jìn)行歸納推理一般步驟：首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）；然后，把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；最后，對(duì)所得出的一般性的命題進(jìn)行檢驗(yàn).問(wèn)題探究三利用歸納推理可以解決哪些問(wèn)題？活動(dòng)一運(yùn)用歸納推理解決數(shù)列的問(wèn)題例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】詳解當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；當(dāng)n＝3時(shí)，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；當(dāng)n＝4時(shí)，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N*.點(diǎn)拔：歸納推理的一般步驟：歸納推理的思維過(guò)程大致是：實(shí)驗(yàn)、觀察→概括、推廣→猜測(cè)一般性結(jié)論.該過(guò)程包括兩個(gè)步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想).●活動(dòng)二運(yùn)用歸納推理解決圖表的問(wèn)題例2.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，求第n行(n≥3)從左向右數(shù)第3個(gè)數(shù).【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】12345678910詳解：前(n－1)行共有正整數(shù)[1＋2＋…＋(n－1)]個(gè)，即eq\f(n2－n,2)個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,2)＋3))個(gè)，即為eq\f(n12345678910例3.(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A.26 B.31 C.32 D.36(2)把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明】詳解：(1)選B法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無(wú)紋正六邊形需6個(gè)有紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無(wú)紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每?jī)蓧K相鄰的無(wú)紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31.故選B.(2)第七個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案為：(1)B(2)28點(diǎn)拔：解決圖形中歸納推理的方法解決與圖形有關(guān)的歸納推理問(wèn)題常從以下兩個(gè)方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系.(2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化.●活動(dòng)二運(yùn)用歸納推理解決函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合的問(wèn)題例4設(shè)，的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n=40驗(yàn)證猜想是否正確.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)概念及表示法，猜想與證明】詳解：43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是質(zhì)數(shù).當(dāng)n取任何正整數(shù)時(shí)，的值都是質(zhì)數(shù).因?yàn)楫?dāng)n=40時(shí)，所以f(40)是合數(shù).因此，上面由歸納推理的得到的猜想不正確.點(diǎn)拔：1.①統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，是否屬歸納推理？②歸納推理有何作用？（發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是做出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段）③歸納推理的結(jié)果是否正確？（不一定）2.所謂歸納推理，就是根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.歸納是從特殊到一般的過(guò)程，它屬于合情推理.3.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】歸納法是對(duì)觀察、實(shí)驗(yàn)和調(diào)查所得的個(gè)別事實(shí)，概括出一般原理的一種思維方式和推理形式，其主要環(huán)節(jié)是歸納推理.歸納推理可以分為三種方式：完全歸納法，簡(jiǎn)單枚舉法，判明因果聯(lián)系的歸納法.【難點(diǎn)突破】歸納法的主要作用在于：

1、科學(xué)試驗(yàn)的指導(dǎo)方法：為了尋找因果關(guān)系而利用歸納法安排可重復(fù)性的試驗(yàn).

2、整理經(jīng)驗(yàn)材料的方法：歸納法從材料中找出普遍性或共性，從而總結(jié)出定律和公式.

歸納法的優(yōu)點(diǎn)在于判明因果聯(lián)系，然后以因果規(guī)律作為邏輯推理的客觀依據(jù)，并且以觀察、試驗(yàn)和調(diào)查為手段，所以結(jié)論一般是可靠的.

歸納法也有其局限性，它只涉及線性的，簡(jiǎn)單的和確定性的因果聯(lián)系，而對(duì)非線性因果聯(lián)系，雙向因果聯(lián)系以及隨機(jī)性因果聯(lián)系等復(fù)雜的問(wèn)題，歸納法就顯得無(wú)能為力了.

歸納法是一種或然性推理方法，不可能做到完全歸納，總有許多對(duì)象沒(méi)有包含在內(nèi)，因此，結(jié)論不一定可靠.4.隨堂檢測(cè)1.n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下：根據(jù)規(guī)律，從2010到2012，箭頭的方向依次是（）A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明】解:C觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字是以4為公差的等差數(shù)列，由eq\a\vs4\al(11)到eq\a\vs4\al(10)eq\a\vs4\al(12)可知從2010到2012為↑→.故答案為C.2.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2an－1＋1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的一個(gè)表達(dá)式為（）A.n2－1B.n2－2n＋2C.2n－1D.2n－1＋1【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：C∵a1＝1，an＝2an－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，歸納猜想知an＝2n－1，即答案為C.3.觀察下列各等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為（）【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】A.eq\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,(8－n)－4)＝2B.eq\f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq\f((n＋1)＋5,(n＋1)－4)＝2C.eq\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,(n＋4)－4)＝2D.eq\f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq\f(n＋5,(n＋5)－4)＝2解：A觀察等式知，左邊分子之和等于8，分母之和等于0，右邊都是2，只有選項(xiàng)A適合.答案為A4.順次計(jì)算數(shù)列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4項(xiàng)的值，由此猜測(cè)：＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的結(jié)果為________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：a1＝1＝12，a2＝1＋2＋1＝4＝22，a3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，a4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…………，由此可以猜想an＝n2.答案：n25.由三角形的內(nèi)角和是180°，凸四邊形的內(nèi)角和是360°＝2×180°，凸五邊形的內(nèi)角和是540°＝3×180°，歸納出結(jié)論：______________________________________________________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)×180°(n≥3)（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.觀察下列等式：；；；……………由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般結(jié)論為________________________________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：2.觀察①；②；③；以上等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可提出一個(gè)猜想的等式為_________________________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：3.觀察下列等式：；；；；；…；則.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理】解：471+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，11+18=29，18+29=474.圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在如圖所示的四個(gè)三角形中，著色三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列的前四項(xiàng)，依此著色方案繼續(xù)對(duì)三角形著色，請(qǐng)猜想著色三角形的個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式_______.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：前4個(gè)數(shù)依次為，猜想即可能力型師生共研5.觀察下列等式：；；；；…………………照此規(guī)律：.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：6.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種“多邊形數(shù)”.如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為.以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)：；正方形數(shù)：；五邊形數(shù)：；六邊形數(shù)：；……可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算_________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)概念及表示法，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：1000，，由此歸納推理可得7.埃及數(shù)學(xué)中有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象：除用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外，其它分?jǐn)?shù)都可以寫成若干個(gè)單分?jǐn)?shù)和的形式.例如，可以這樣理解：假定有兩個(gè)面包，要平均分給5個(gè)人，如果每人不夠，每人，余，再將這分成5份，每人得，這樣每人分得.形如的分?jǐn)?shù)的分解：，，.，…按此規(guī)律，

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.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：（1）假定有兩個(gè)面包，要平均分給11個(gè)人，每人不夠，每人，則余，再將這分成11份，每人得，這樣每人分得，故；（2）假定有兩個(gè)面包，要平均分給個(gè)人，每人不夠，每人分，則余，再將這分成份，則每人得，這樣每人分得，因此本題的答案是：8.如圖：點(diǎn)列分別在某銳角的兩邊上，且，.(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)若，為的面積，則A.是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列C.是等差數(shù)列D.是等差數(shù)列【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：A表示點(diǎn)到對(duì)面直線的距離（設(shè)為）乘以長(zhǎng)度一半，即，由題目中條件可知的長(zhǎng)度為定值，那么我們需要知道的關(guān)系式，過(guò)作垂直得到初始距離，那么和兩個(gè)垂足構(gòu)成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，，作差后：，都為定值，所以為定值.故選A.9.平面內(nèi)兩條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，…，條直線兩兩相交最多有_________個(gè)交點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：兩條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，3條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)，…，條直線兩兩相交最多有個(gè)交點(diǎn)10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和是,數(shù)列的前項(xiàng)之積是,且,則數(shù)列中最接近2019的項(xiàng)是（）【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】A.第43項(xiàng)B.第44項(xiàng)C.第45項(xiàng)D.第46項(xiàng)解：B當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；…………猜想.所以，，數(shù)列中最接近2019的項(xiàng)是探究型多維突破11.設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)概念及表示法；數(shù)學(xué)思想：推理論證】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，且2aeq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,1)＋a2·a1＝0，即2aeq\o\al(2,2)＋a2－1＝0解得a2＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝2時(shí)，由3aeq\o\al(2,3)－2(eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)a3＝0，即6aeq\o\al(2,3)＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f(1,3)，…由此猜想：an＝eq\f(1,n).12.已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通過(guò)觀察上述等式的規(guī)律，請(qǐng)寫出一般性的命題：________________＝eq\f(3,2)(*)，并給出(*)式的證明.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：一般式為：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).證明如下：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos(2α＋120°),2)＋eq\f(1－cos(2α＋240°),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2α－\f(1,2)cos2α－\f(\r(3),2)sin2α－\f(1,2)cos2α＋\f(\r(3),2)sin2α))＝eq\f(3,2)＝右邊，所以sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2)成立.13.已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1，2，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)概念及表示法，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4).觀察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)，由此猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝eq\f(1,n)(n＝1，2，…).（四）自助餐1.數(shù)列中的等于()A.28B.27C.33D.32【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明】解：D，∴，2.黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第五個(gè)圖案中有白色地面磚（）塊.A.21B.21C.22D.23【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明】解：C白色地面磚的數(shù)量依次為6，10，14，18，223.已知?jiǎng)t()A.中共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，B.中共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，C.中共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，D.中共有項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的函數(shù)概念及表示法，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：D4.觀察下列幾個(gè)三角恒等式：①；②；③一般地，若都有意義，你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為____________________________________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：5.已知數(shù)列：依它的前10項(xiàng)的規(guī)律推出這個(gè)數(shù)列的第2019項(xiàng)是________.解：根據(jù)前10項(xiàng)的規(guī)律可以知道，分子按1；2，1；3，2，1；4，3，2，1，…，的規(guī)律排列.分母按1；1，2；1，2，3；1，2，3，4；…，的規(guī)律排列，出這個(gè)數(shù)列的第2019項(xiàng)出現(xiàn)在第64組中第3個(gè)數(shù)，即為.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明】6.若凸邊形的內(nèi)角和為，則凸邊形的內(nèi)角和等于()A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，遞推數(shù)列，數(shù)列的函數(shù)概念及表示法，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：B凸邊形的內(nèi)角和比凸邊形的內(nèi)角和多出一個(gè)三角形的內(nèi)角和，又三角形的內(nèi)角和為，故.7.已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，計(jì)算a2，a3，猜想an＝________.解：n2計(jì)算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.答案為n28.用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴的根數(shù)為（）A.6n－2B.8n－2C.6n＋2D.8n＋2【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：C從①②③可以看出，從圖②開始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.答案為C9.觀察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32,，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般結(jié)論()A.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：B觀察各等式的構(gòu)成規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，各等式的左邊是2n－1(n∈N*)項(xiàng)的和，其首項(xiàng)為n，右邊是項(xiàng)數(shù)的平方，故第n個(gè)等式首項(xiàng)為n，共有2n－1項(xiàng)，右邊是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案為B10.在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四邊形中不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五邊形中eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n邊形A1A2…An中有不等式：________成立.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,(n－2)π)不等式的左邊是n個(gè)內(nèi)角倒數(shù)的和，右邊分子是n2，分母是(n－2)π，故在n邊形A1A2…An中有不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,(n－2)π)成立.答案為eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,(n－2)π)11.在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BD·BC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明】解：Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC.答案為Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC12.把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如下圖)，則第七個(gè)三角形數(shù)是（）A.27B.28C.29D.30【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，猜想與證明】解：B后面的三角形數(shù)依次在前面的基礎(chǔ)上順次加上2,3,4,5，…，故第七個(gè)三角形數(shù)為21＋7＝28.答案：B13.(2015·陜西文)觀察下列等式1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)……據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).等式左側(cè)規(guī)律明顯，右側(cè)是后幾個(gè)自然數(shù)的倒數(shù)和，再注意到左右兩側(cè)項(xiàng)數(shù)關(guān)系求得.答案：1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，計(jì)算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表達(dá)式.【知識(shí)點(diǎn)：歸納推理，數(shù)列的通項(xiàng)公式，猜想與證明；數(shù)學(xué)思想：特殊到一般】解：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝1；當(dāng)n＝2時(shí)，eq\f(1,S2)