2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇微型專題微專題13概率練習(xí)理

PAGEPAGE113概率1.有一個嬉戲,其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機(jī)地向東、南、西、北四個方向前進(jìn),每人一個方向.事務(wù)“甲向南”與事務(wù)“乙向南”的關(guān)系為().A.互斥但非對立事務(wù)B.對立事務(wù)C.和事務(wù)是可能事務(wù)D.以上都不對解析?由于每人一個方向,故“甲向南”意味著“乙向南”是不行能的,故是互斥事務(wù),但不是對立事務(wù),故選A.答案?A2.將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為().A.12 B.13 C.23解析?設(shè)2本不同的數(shù)學(xué)書為a1,a2,1本語文書為b,則在書架上的擺放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6種,其中數(shù)學(xué)書相鄰的有4種.因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=46=23答案?C3.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事務(wù)A為“抽到一等品”,事務(wù)B為“抽到二等品”,事務(wù)C為“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為.

解析?∵事務(wù)A為“抽到一等品”,且P(A)=0.65,∴事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案?0.354.在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x,若x滿意|x|≤m的概率為56,則m=.解析?由|x|≤m,得-m≤x≤m.當(dāng)0<m≤2時,由題意得2m6=56,解得m=2.5,當(dāng)2<m<4時,由題意得m-(-2)6=5答案?3實力1?互斥、對立事務(wù)的概率【例1】一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機(jī)取出1個球,求:(1)取出的球是紅球或黑球的概率;(2)取出的球是紅球或黑球或白球的概率.解析?(法一:利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1={任取1個球為紅球},事務(wù)A2={任取1個球為黑球},事務(wù)A3={任取1個球為白球},事務(wù)A4={任取1個球為綠球},則P(A1)=512,P(A2)=412=13,P(A3)=212=16,P(A由題意知,事務(wù)A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事務(wù)的概率公式,得(1)取出的球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=(2)取出的球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212(法二:利用對立事務(wù)求概率)(1)由法一知,取出的球為紅球或黑球的對立事務(wù)為取出的球為白球或綠球,即事務(wù)A1∪A2的對立事務(wù)為A3∪A4,所以取出的球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=(2)因為事務(wù)A1∪A2∪A3的對立事務(wù)為A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-112=11求概率的關(guān)鍵是分清所求事務(wù)是由哪些事務(wù)組成的,求解時通常有兩種方法:(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事務(wù)的和事務(wù),利用概率加法公式求解概率.(2)若將一個較困難的事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個互斥事務(wù)的和事務(wù)時,須要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事務(wù)的概率公式,即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事務(wù)的概率.某學(xué)校在老師外出家訪了解學(xué)生家長對孩子的學(xué)習(xí)關(guān)切狀況活動中,一個月內(nèi)派出的老師人數(shù)及其概率如下表所示:派出人數(shù)≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家訪的概率;(2)求至少有3人外出家訪的概率.解析?(1)設(shè)派出2人及以下為事務(wù)A,3人為事務(wù)B,4人為事務(wù)C,5人為事務(wù)D,6人及以上為事務(wù)E,則有4人或5人外出家訪的事務(wù)為事務(wù)C或事務(wù)D,C,D為互斥事務(wù),依據(jù)互斥事務(wù)概率的加法公式可知,P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家訪的對立事務(wù)為2人及以下外出家訪,所以由對立事務(wù)的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.實力2?古典概型的求法【例2】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參與辯論賽,A中學(xué)舉薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)舉薦了3名男生、4名女生,兩校所舉薦的學(xué)生一起參與集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),從參與集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率;(2)某場競賽前,從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽,求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.解析?(1)由題意,參與集訓(xùn)的男、女生各有6名.入選代表隊的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為C33C43C63C6(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事務(wù)A,記“參賽女生有2人”為事務(wù)B,“參賽女生有3人”為事務(wù)C,則P(B)=C32C32C64=35,由互斥事務(wù)的概率加法公式,得P(A)=P(B)+P(C)=35+15=故所求事務(wù)的概率為451.求較困難事務(wù)的概率問題,解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義,把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型,必要時先將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的和,或者先求其對立事務(wù)的概率,再用互斥事務(wù)的概率加法公式或?qū)α⑹聞?wù)的概率公式求解.2.留意區(qū)分排列與組合,以及計數(shù)原理的正確運(yùn)用.(1)同學(xué)聚會上,某同學(xué)從《愛你一萬年》《十年》《父親》《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演,則《愛你一萬年》未被選取的概率為().A.13 B.12 C.23(2)從集合A={-2,-1,2}中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為a,從集合B={-1,1,3}中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為().A.29 B.13 C.49解析?(1)分別記《愛你一萬年》《十年》《父親》《單身情歌》為A1,A2,A3,A4,從這四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演的全部可能的結(jié)果為A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,共6種,其中A1未被選取的結(jié)果有3種,所以所求概率P=36=12.(2)(a,b)全部可能的結(jié)果為(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9種.由ax-y+b=0得y=ax+b,當(dāng)a≥0,b≥0時,直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限,符合條件的(a,b)的結(jié)果為(2,1),(2,3),共2種,故直線ax-y+b=答案?(1)B(2)A實力3?幾何概型的應(yīng)用【例3】(1)如圖,已知小圓的半徑為2km,大圓的半徑為4km,假設(shè)衛(wèi)星P(大小不計)在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運(yùn)動,則在運(yùn)行過程中,衛(wèi)星P與點O(O為圓心)的距離小于3km的概率為.

(2)在長為12cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32cm2的概率為.

解析?(1)依據(jù)幾何概型公式,小于3km的圓環(huán)面積為π(32-22)=5π.圓環(huán)總面積為π(42-22)=12π,所以衛(wèi)星P與點O的距離小于3km的概率P=5π12π=5(2)設(shè)AC=xcm(0<x<12),則CB=(12-x)cm,故矩形的面積S=x(12-x)=12x-x2(cm2).由12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得0<x<4或8<x<12.在數(shù)軸上表示,如圖所示.由幾何概型概率公式,得所求概率P=812=2答案?(1)512(2)1.求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度),然后求解.要特殊留意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事務(wù)的區(qū)域(長度或角度).2.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型,解題的關(guān)鍵是對所求的事務(wù)A構(gòu)成的平面區(qū)域形態(tài)的推斷及面積的計算,基本方法是數(shù)形結(jié)合.3.解題時可依據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.(1)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,在∠DAB內(nèi)隨意作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為.

(2)設(shè)不等式組0≤x≤2,0≤y≤2表示的平面區(qū)域為DA.π4 B.C.π6 D.解析?(1)因為在∠DAB內(nèi)隨意作射線AP,所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB,當(dāng)射線AP與線段BC有公共點時,射線AP落在∠CAB內(nèi),所以射線AP與線段BC有公共點的概率P=∠CAB∠DAB=30(2)如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點的距離大于2的點.易知該陰影部分的面積為4-π.因此滿意條件的概率P=4-π答案?(1)13一、選擇題1.將一枚硬幣向上拋擲10次,則“正面對上恰有5次”是().A.必定事務(wù) B.隨機(jī)事務(wù)C.不行能事務(wù) D.無法確定解析?拋擲10次硬幣正面對上的次數(shù)可能為0~10,都有可能發(fā)生,正面對上5次是隨機(jī)事務(wù),故選B.答案?B2.如圖所示,邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為23,則陰影區(qū)域的面積為()A.43 B.C.23 D.解析?在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P=S陰影S正方形=23,即S陰影4=23答案?B3.已知集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各隨意取一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是().A.23 B.12 C.13解析?從A,B中隨意取一個數(shù),共有C

21C·31=6種情形,兩數(shù)之和等于4的情形只有(2,2),(3,1),共2種,故所求事務(wù)的概率P=答案?C4.袋中裝有3個白球,4個黑球,從中任取3個球,則①恰有1個白球和全是白球;②至少有1個白球和全是黑球;③至少有1個白球和至少有2個白球;④至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事務(wù)中,是對立事務(wù)的為().A.① B.② C.③ D.④解析?至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生,且肯定有一個發(fā)生,∴②中的事務(wù)是對立事務(wù),故選B.答案?B5.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個數(shù)a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個數(shù)b,則b>a的概率是().A.45 B.35 C.25解析?基本領(lǐng)件的個數(shù)為5×3=15,其中滿意b>a的有3種,所以b>a的概率為315=15答案?D6.某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個球(小球除編號外完全相同),甲先從袋中摸出1個球,登記編號后放回,乙再從袋中摸出1個球,登記編號,則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是().A.15 B.16 C.56解析?設(shè)a、b分別為甲、乙摸出球的編號.由題意知,摸球試驗共有36種不同的結(jié)果,滿意a=b的基本領(lǐng)件共有6種,所以摸出編號不同的概率P=1-636=56答案?C7.一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a、b、c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b<c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是().A.16 B.524 C.13解析?選出一個三位數(shù)有A

43=24種狀況,其中是“凹數(shù)”的有C

43×2=8種狀況,所以所求概率P=答案?C8.在不等式組0≤x≤2,0≤y≤2所表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一點P,若點P的坐標(biāo)(x,y)滿意y≥kx的概率為3A.4 B.2 C.23 D.解析?如圖,滿意不等式組的區(qū)域是邊長為2的正方形,其面積是4.假設(shè)滿意不等式y(tǒng)≥kx的區(qū)域為圖中陰影部分,其面積為4-12×2×2k,由幾何概型的概率公式得點P的坐標(biāo)(x,y)滿意y≥kx的概率為4-12×2×2k4答案?D9.設(shè)m,n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),則在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+mx+n=0有實根的概率為().A.1136 B.736 C.711解析?先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的狀況有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種,其中使方程x2+mx+n=0有實根的狀況有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種.故所求事務(wù)的概率P=711,故選C答案?C10.若函數(shù)f(x)=ex,0≤x<1,lnx+e,1≤A.1e B.1-C.e1+e D.解析?當(dāng)0≤x<1時,恒有f(x)e=x<e,不滿意題意.當(dāng)1≤x≤e時,f(x)=lnx+e,由lnx+e≥e,得1≤x≤e.故所求事務(wù)的概率為P=e-1e=1答案?B二、填空題11.從2,3,8,9中任取2個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.

解析?從2,3,8,9中任取2個不同的數(shù)字,記為(a,b),則有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,