2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周周回饋練二含解析新人教A版必修2

PAGE1-周周回饋練對應(yīng)學(xué)生用書P19一、選擇題1．軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍B．3倍C．eq\r(2)倍D．2倍答案D解析設(shè)等邊圓錐的母線長為l，底面半徑為r，由已知得l＝2r，所以eq\f(S側(cè),S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2．2．若體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12πB．eq\f(32π,3)C．8πD．4π答案A解析由正方體的體積為8可知，正方體的棱長a＝2．又正方體的體對角線是其外接球的一條直徑，即2R＝eq\r(3)a(R為正方體外接球的半徑)，所以R＝eq\r(3)，故所求球的表面積S＝4πR2＝12π．3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，側(cè)棱長為b，則其側(cè)面積為()A．eq\f(3\r(3)ab,4)B．eq\f(\r(3)＋2,2)abC．(eq\r(3)＋eq\r(2))abD．eq\f(2\r(3)＋\r(2),2)ab答案C解析如圖，由已知條件可知，側(cè)面AA1B1B和側(cè)面AA1C1C為一般的平行四邊形，側(cè)面BB1C1C為矩形．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∴BC＝eq\r(2)a．∴S矩形BCC1B1＝eq\r(2)a·b＝eq\r(2)ab．∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，∴點(diǎn)B到直線AA1的距離為asin60°＝eq\f(\r(3),2)a．∴S四邊形AA1C1C＝S四邊形AA1B1B＝eq\f(\r(3),2)ab．∴S側(cè)＝2×eq\f(\r(3),2)ab＋eq\r(2)ab＝(eq\r(3)＋eq\r(2))ab．4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．eq\f(2π,3)B．πC．eq\f(4π,3)D．2π答案A解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)圓柱內(nèi)挖去兩個(gè)與圓柱同底的半球，所以該幾何體的體積V＝V圓柱－2V半球＝π×12×2－2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)．故選A．5．如圖所示，從左到右分別是一個(gè)多面體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖．根據(jù)給出的尺寸，則該多面體的體積為()A．eq\f(2,3)B．6C．eq\f(22,3)D．8答案C解析依題意，把題中多面體補(bǔ)成如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，則所求的體積是由正方體ABCD－A1B1C1D1的體積減去三棱錐E－A1B1D1的體積而得到的．∵VE－A1B1D1＝eq\f(1,3)×S△A1B1D1×A1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)，V正方體AC1＝23＝8，∴所求多面體的體積V＝8－eq\f(2,3)＝eq\f(22,3)．6．已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．9＋4(eq\r(2)＋eq\r(5))cm2B．10＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))cm2C．11＋2(eq\r(2)＋eq\r(5))cm2D．11＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))cm2答案C解析如圖所示，該幾何體是棱長為2的正方體截去兩個(gè)小三棱柱得到的四棱柱，其表面積為2×2＋2×1＋2×eq\r(2)＋2×eq\r(5)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)－1))＝11＋2(eq\r(2)＋eq\r(5))cm2．故選C．二、填空題7．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為________．答案eq\f(2\r(2)π,3)解析因?yàn)樯刃蔚幕￠L為2π，所以圓錐的母線長為3，高為2eq\r(2)，所求體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3)．8．已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺(tái)的表面積為________cm2．答案80＋48eq\r(15)解析如圖，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，過B1作B1F⊥BC，垂足為F，在Rt△B1FB中，BF＝eq\f(1,2)×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)，所以S梯形BB1C1C＝eq\f(1,2)×(8＋4)×2eq\r(15)＝12eq\r(15)，故四棱臺(tái)的側(cè)面積S側(cè)＝4×12eq\r(15)＝48eq\r(15)，所以四棱臺(tái)的表面積S表＝48eq\r(15)＋4×4＋8×8＝80＋48eq\r(15)．9．正四棱錐(底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的正投影為正方形的中心)的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為________．答案eq\f(243π,16)解析如圖，設(shè)底面ABCD的中心為E，則PE為正四棱錐的高，PE＝4，AB＝2，AE＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，設(shè)球心為O，則點(diǎn)O肯定在線段PE上，連接OA，設(shè)球的半徑為R，在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，所以球的體積為V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16)．三、解答題10．有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面，其次個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱都相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．解設(shè)正方體的棱長為a．(1)正方體內(nèi)切球的球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)面(正方形)的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面，如圖①，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2．(2)球與正方體各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面得截面，如圖②，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2．(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖③，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2．由上知：S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．11．已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面圓的周長分別是12π和16π，試求這兩個(gè)截面圓間的距離．解如圖(1)(2)，設(shè)球的大圓為圓O，C，D分別為兩截面圓的圓心，AB為經(jīng)過點(diǎn)C，O，D的直徑，由題中條件可得兩截面圓的半徑分別為6和8．當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，CD＝OC－OD＝eq\r(102－62)－eq\r(102－82)＝2；當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，CD＝OC＋OD＝eq\r(102－62)＋eq\r(102－82)＝14．綜上可知，兩截面圓間的距離為2或14．12．已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積．解如圖所示，在三棱臺(tái)ABC－A′B′C′中，O′，O分別為上、下底面的中心，D，D′分別是BC，B′C′的中點(diǎn)，連接OO′，A′D′，AD，DD′，則DD′是等腰梯形BCC′B′的高，設(shè)為h0，所以S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)h0＝75h0．上、下底面面積之和為S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S側(cè)＝S上＋S下，得75h0＝325eq\r(3)，所以h0＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．又O′D′＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×30＝5eq\r(3)(cm)，設(shè)棱臺(tái)的高為h，則h＝O′O＝eq\r(h\o