2025年九年級中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-圓性質(zhì)綜合之求角度問題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)圓性質(zhì)綜合之求角度問題1．如圖，是的外接圓，恰為的直徑，，點(diǎn)是上的一個(gè)動點(diǎn)，不與，重合，連接，，，過點(diǎn)作，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是的切線；(3)求證：．2．如圖，內(nèi)接于，直徑交于點(diǎn)，已知．(1)求證：．(2)設(shè)的度數(shù)為，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(3)若，求的值．3．如圖，在中，，是上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是與的交點(diǎn)，且．(1)求的度數(shù)．(2)若，求圖中陰影部分的面積為多少？4．如圖，四邊形內(nèi)接于．(1)______度；(2)連接，若，求的長；(3)當(dāng)是的中點(diǎn)，時(shí)，求的半徑．5．已知內(nèi)接于是的直徑，為圓上一點(diǎn)，是的切線，連結(jié)，與交于點(diǎn)．(1)如圖1，延長與交于點(diǎn)．①若，求的大小．②若，求的半徑．(2)如圖2，，延長與交于點(diǎn)，若，求與的面積比．6．已知：和分別是⊙上的兩條劣弧，且⊙的半徑為5，，，和都可以在⊙上運(yùn)動，且和沒有公共點(diǎn)，連接，，，且，交于點(diǎn)．(1)如圖1，若經(jīng)過圓心．①求的長；②求的度數(shù)；(2)如圖2，在和運(yùn)動的過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？請說明理由；(3)如圖3，連接，在和運(yùn)動的過程中，四邊形的面積也發(fā)生變化，記四邊形的面積為，請直接寫出的取值范圍．7．如圖1，和是半徑為2的的兩條直徑，點(diǎn)P是延長線上的一點(diǎn)．連接交于點(diǎn)E（點(diǎn)E在線段上，且不與點(diǎn)P、點(diǎn)C重合）．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)連接，交半徑于點(diǎn)M，已知．①連接，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M是的重心時(shí)，求的余弦值；②連接、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長．8．已知：是的弦，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且與點(diǎn)位于異側(cè)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)．(1)如圖，連接，交于點(diǎn)．試比較與的大小，并說明理由；(2)如圖，連接，，，若，．求的度數(shù)；用無刻度的直尺與圓規(guī)，求作的內(nèi)心（直尺與圓規(guī)分別只限用一次，保留作圖痕跡，不要求證明）．9．如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平分，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)；(2)判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若線段的長為，線段的長為，線段的長為，線段的長為，則是否成立？并說明理由．10．已知正五邊形，請僅用無刻度的直尺作圖，并完成相應(yīng)的任務(wù)（保留作圖痕跡，不寫作法）．【初步感知】（1）如圖1，請直接寫出的度數(shù)；【實(shí)踐探究】（2）請?jiān)趫D2中作出以為對角線的菱形，并證明你的結(jié)論；【拓展延伸】（3）請?jiān)趫D2正五邊形的基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)一個(gè)新的正五邊形.（不需要證明）11．在中，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，交弦于點(diǎn)D，且D是的中點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)延長交于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F，如果，求的長度．12．如圖，已知是半圓的直徑，半徑垂直于弦，垂足為點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，．(1)求的度數(shù)；(2)求的值．13．如圖，為圓O的直徑，弦，垂足為E點(diǎn)．點(diǎn)G為弧上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．(1)若，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)G為的中點(diǎn)，且，求的長度；(3)若點(diǎn)G在線段的延長線上，連接與交于點(diǎn)H，連接，若，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．14．如圖，已知點(diǎn)是外接上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)，連接，，，且．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：是的切線；(3)連接，，求證：．15．如圖，已知矩形，在邊，上分別取點(diǎn)，，連接和，滿足，的外接圓交于點(diǎn)，連接，．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)猜測和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)，，時(shí)，求的長度．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-圓性質(zhì)綜合之求角度問題》參考答案1．(1)60°(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等證明，即可求得；（2）先求得，證得，得到，據(jù)此即可證得是的切線；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，證明，求得，，由，求得，在中，求得，整體代入計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：為的直徑，，，，，，，；（2）證明：如圖，連接，，，由（1）知，，，∴，，，是的半徑，是的切線；（3）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，，則，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，在中，，，，，．2．(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由是的直徑可得，再由同角的余角相等可得，根據(jù)等邊對等角即可得出結(jié)論；（2）由已知可求，再根據(jù)同弧所對圓周角相等即可得出；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可知求出，即，進(jìn)而可得是等腰直角三角形，設(shè)的半徑為，可求，，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，是的直徑，，，，，；（2），，，，，，（3）如圖，連接，由（2）知：，，，，，，，，，是等腰直角三角形，令的半徑為，則，，，，，，．3．(1)(2)陰影部分的面積為【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，求扇形的面積，（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再說明，可得，然后證明接下來根據(jù)可得答案；（2）由（1）得，可得為等邊三角形，進(jìn)而求出，，再求出和扇形，最后根據(jù)面積差可得答案．【詳解】（1）解：連接，是的切線，為切點(diǎn)，．，即，，．，，，即，．，，．是O的直徑，，，；（2）解：由（1），得，．，為等邊三角形，．，，．根據(jù)勾股定理，得，，扇形，陰影部分的面積為．4．(1)(2)(3)【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，同弧所對的圓周角相等，正切的定義，解直角三角形，掌握以上知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，即可求解；（2）連接，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解；（3）延長交于點(diǎn)，連接，得出是等腰直角三角形，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形內(nèi)接于．∴，∴；故答案為：．（2）解：如圖，連接，∵，∴∵，∴，∴；（3）解：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，∵在中，，，設(shè)，則，∴，∵，，∴，，∴，，∴，解得：，∴的半徑為．5．(1)①；②(2)【分析】（1）①連接，求解，證明，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解即可；②設(shè)，再結(jié)合勾股定理求解即可；（2）如圖，連接，過作交的延長線于，交于，證明四邊形為矩形，可得，，證明，可得，設(shè)，則，證明，可得，求解：，，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：①如圖，連接，∵，∴，∵是的切線，∴，∴；②設(shè)，∵，，∴，解得：；（2）解：如圖，連接，過作交的延長線于，交于，∵是的切線，∴，，∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得：或；∵，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴與的面積比為．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．6．(1)①8；②(2)不變，見解析(3)【分析】（1）①根據(jù)勾股定理可得答案；②根據(jù)“弧，弦，圓心角的關(guān)系”得，然后根據(jù)得出答案；（2）連接，并延長交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)勾股定理求出，可得，進(jìn)而得，，然后根據(jù)可得答案；（3）作，根據(jù)垂徑定理得，再根據(jù)勾股定理得，然后根據(jù)可得部分取值范圍，接下來根據(jù)當(dāng)點(diǎn)H，O，G三點(diǎn)共線時(shí)最大，結(jié)合面積公式得出答案．【詳解】（1）解：①根據(jù)題意可知，∵是的直徑，且，∴，根據(jù)勾股定理，得；②∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：不變，理由如下：如圖所示，連接，并延長交于點(diǎn)F，連接，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，∴，即．∵，∴，∴，∴；（3）解：過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)G，H，∴．根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，即．當(dāng)點(diǎn)H，O，G三點(diǎn)共線時(shí)最大，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了“弧，弦，圓心角的關(guān)系”，圓周角定理的推論，勾股定理，垂徑定理，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解；（2）①過P作于H，根據(jù)直徑對直角可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)余弦的定義即可得解；②分三種情況討論，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，連接，，證明，即可得解；當(dāng)時(shí)，連接，設(shè)與交于G，先證明是的中位線，是的中位線，可得，，再根據(jù)勾股定理即可得解．【詳解】（1）解：連接，，，，，，，∴，∴，∴；（2）解：①過P作于H，是直徑，，，∵點(diǎn)M是的重心，，∴，∵，半徑為2，∴，，，，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，，，，由（1）知，不符合題意；當(dāng)時(shí)，連接，，和是的兩條直徑，，，，，，，，，，，，，∴，∴，，，，當(dāng)時(shí)，連接，設(shè)與交于G，，，，，是直徑，，，∴，，，，是的中位線，，，是的中位線，，，∴，，∴，綜上所述，線段的長或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓綜合，勾股定理，三角函數(shù)，中位線，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識點(diǎn)，運(yùn)用分類討論思想；8．(1)，理由見解析；(2)；作圖見解析．【分析】（）連接，，交于點(diǎn)，由為的中點(diǎn)，則，即，所以，根據(jù)等邊對等角得，又是的切線，則，故有，從而可得，最后由等角對等邊即可求解；（）連接，交于點(diǎn)，由，，則，，由圓周角定理得，故有，設(shè)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)得出，故有；連接，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：，理由，如圖，連接，，交于點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：如圖，連接，交于點(diǎn)，∵，，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，∴，，由（）得，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；如圖，連接，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；理由：連接，，∵為的中點(diǎn)，∴垂直平分，平分，∴，，∵垂直平分，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴平分，∴，由上得：，∴，，∴，∴，∴，∴平分，∴是的內(nèi)心．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，圓周角定理，菱形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)心，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)與相切，證明見解析(3)成立，理由見解析【分析】由等邊三角形性質(zhì)可知，進(jìn)而根據(jù)同弧所對圓周角相等即可得出，連接，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和已知可以證明，進(jìn)而可得，由此證明，即可得出結(jié)論，（3）由已知結(jié)合三角形外角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，證明，進(jìn)而可得，從而可得，即，從而可得，由，可得，則，進(jìn)而可得，從而，利用比例式相加可得，再由變形可得結(jié)論成立．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴．∵，∴；（2）與相切．證明：如解圖，連接，則是的半徑．∵是等邊三角形，∴，平分，∴．由（1）知，∴，∴，∴．∵是的半徑，∴與相切；（3）成立．理由如下：∵是等邊三角形，∴，∴．∵平分，∴．由，可得，∴．又∵，∴，∴，即，∴，即．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角性質(zhì)、切線的判定，等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等，此題難度適中，注意掌握輔助線的作法．10．（1）；（2）見解析；（3）見解析【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）利用正五邊形與等腰三角形的性質(zhì)求解；（2）連接交于點(diǎn)M，四邊形即為所求；（3）各邊延長線的交組成的五邊形即為所求．【詳解】解：∵，∴；故答案為：；（2）如圖1所示，連接相交于點(diǎn)，菱形為所求圖形，證明：在正五邊形中，每個(gè)內(nèi)角都相等且等于，每條邊都相等，可得≌，從而∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，同理可證：.∴四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形為菱形.（3）如圖，五邊形即為所求．11．(1)60度(2)【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，解直角三角形，圓周角定理，等邊對等角等等，熟知垂徑定理的推理是解題的關(guān)鍵．（1）由垂徑定理的推論可得，再由線段中點(diǎn)的定義可得，據(jù)此解直角三角形即可得到答案；（2）先求出，則，再由垂徑定理的推論得到，，解直角三角形得到，再證明，解直角三角形得到，則．【詳解】（1）解：連接∵在中，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴，∵D是的中點(diǎn)，且，∴，∴，∴；（2）解：∵，且是的直徑，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵在中，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴，∵，∴，∴，∴．12．(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)垂徑定理可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用圓心角、弧、弦的關(guān)系可得∠；（2）設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長，從而求出的長，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：連接，∵半徑垂直于弦，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，，∴，在中，．13．(1)(2)(3)【分析】本題考查了垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，勾股定理，同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等，等角對等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理、三角函數(shù)等，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理得出，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等求解即可；（2）連接，先求得，繼而得出長，再由勾股定理得出長度，進(jìn)而證明，即可求解；（3）先證明是中位線，再證明，設(shè)，則，圓O的直徑為r，求得，，即可求解．【詳解】（1）解：∵為圓O的直徑，弦，∴，∴，∴，∴；（2）解：連接，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴；（3）解：∵為圓O的直徑，∴，∵O、E分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，設(shè)，則，圓O的直徑為r，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．14．(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得到答案；（2）連接并延長交于點(diǎn)，連接，則，證明，得到，則