2025年九年級中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)：利用矩形的性質(zhì)求角度

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)：利用矩形的性質(zhì)求角度1．已知，在矩形中，，動點M從點A出發(fā)沿邊向點D運動．(1)如圖1，當(dāng)，點M運動到邊的中點時，請證明；(2)如圖2，當(dāng)時，點M在運動的過程中，是否存在，若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由．2．如圖，正方形和正方形，連接，．易得線段（數(shù)量關(guān)系），（位置關(guān)系）．(1)[發(fā)現(xiàn)]：當(dāng)正方形繞點旋轉(zhuǎn)，如圖，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是；(2)[探究]：如圖，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．3．如圖，矩形中，對角線與交于點，若．求的度數(shù)．

4．綜合與實踐如圖1，在矩形中，，，點，分別是邊，上的兩點，連接，交于點，且．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）求的值．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，其他條件不變，求的值．拓展延伸：（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若，，請直接寫出此時的長．5．如圖，在矩形中，、相交于點，于點．若，求的度數(shù)．6．如圖，矩形的對角線，相交于點，若，求的度數(shù)．7．如圖，矩形的對角線相交于點O，平分，交于點E，，求的度數(shù)．8．在矩形中，，平分，連接．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，點F是延長線上的一點，與交于點G，于點H，的延長線交于點P，連接，探究之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，取的中點Q，連接，求的最小值．9．如圖，在矩形中，對角線相交于點O，于點E，于點F，連接與．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求度數(shù)．10．如圖，矩形中，為對角線，將以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點在邊上，點的對應(yīng)點為點，連接交于點．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：為的中點；(3)若，求矩形的周長．11．已知：如圖，的對角線、相交于點O，E、F是上的兩點，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若四邊形是矩形，，求的度數(shù)．12．如圖，，P為中點，點M為射線上（不與點A重合）的任意一點，連接，并使的延長線交射線于點N，連接，設(shè)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形是矩形時，求a的度數(shù)．(3)當(dāng)時，a的取值范圍是______．（直接寫出答案）13．“三等分一個任意角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題．今天，人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用過如圖所示的圖形，其中，是長方形，是延長線上一點，是上一點，并且．(1)求證：；(2)若，長方形面積為4，請直接寫出的周長______．14．如圖①，矩形的邊，，將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到矩形，與交于點．?dāng)?shù)學(xué)思考：（1）填空：圖①中__________；（用含的代數(shù)式表示）深入探究：（2）如圖②，當(dāng)點在對角線的垂直平分線上時，連接，求證：．15．如圖，矩形中，，點是的中點，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)：利用矩形的性質(zhì)求角度》參考答案1．(1)見詳解(2)存在，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)，點M是的中點，可得，再由矩形的性質(zhì)，即可求證；（2）假設(shè)，則，可先證得，從而得到，然后設(shè)，則，可得到，再由，可得到，進而得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于0，即可求解．本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，，，點M是的中點，∴，∵∴，∴；（2）解：存在，理由如下：若，則，又∵，∴又∵，∴，∴，設(shè)，則，整理得：，∵，∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于0，符合題意，∴當(dāng)時，點在運動的過程中，存在．2．(1)，(2)，，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形和矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）證明得，，又，，得，所以，既可求解；（2）延長交于，交于，證明得，，所以，結(jié)合，可得，所以，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，延長交于，交于，四邊形和四邊形是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：，，理由如下：如圖，延長交于，交于，四邊形與四邊形都為矩形，，，即，，，，，，，，，，，，，．3．【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的對角線相等且相互平分的性質(zhì)．先由矩形的對角線相等且互相平分推知，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即求解．【詳解】解：四邊形是矩形，對角線與交于點，，，，，∴．．，．，．．4．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，可得，即可求出；（2）如圖，在上取點Q，使得，連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證，可得，即可求出；（3）過A作于H，則，由平行四邊形的性質(zhì)和含的直角三角形的特征求出，再根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)（2）的結(jié)論求值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，，，，，，，，；（2）解：如圖，在上取點Q，使得，連接．，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，；（3）解：過A作于H，則，，，，∵四邊形是平行四邊形，，，，在中，，在中，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)得出，得出，由直角三角形的性質(zhì)求出，即可得出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，；∴的度數(shù)為．6．【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，鄰補角．熟練掌握矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，鄰補角是解題的關(guān)鍵．證明是等邊三角形，則，進而可求．【詳解】解：∵矩形的對角線，相交于點，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴的度數(shù)為．7．【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能識別其中的特殊圖形是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義得到，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：在矩形中，，，∵，平分，∴，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，，∴，又∵，∴．8．(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，角平分線的定義，推出均為等腰直角三角形，再利用平角的定義，求出的度數(shù)即可；（2）延長交于點，先證明，得到，，進而證明，得到，再根據(jù)，結(jié)合等量代換，即可得出結(jié)論；（3）取的中點，連接，勾股定理求出的長，斜邊上的中線求出的長，根據(jù)，求出的最小值即可．【詳解】（1）解：∵在矩形中，，∴∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：延長交于點，由（1）知：，，，∴，∴，，∵矩形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；（3）取的中點，連接，則：，∵為的中點，∴，∵，∴，∵，∴，∵為的中點，∴，∵，∴的最小值為．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，斜邊上的中線，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析(2)【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)：（1）證明，得到，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得證；（2）矩形，得到，平行四邊形的性質(zhì)，推出，，再利用角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】（1）證明：∵，

∴∵四邊形是矩形

∴∵在△AOF和△COE中∴

∴∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是矩形

∴∵在中，

又∵

∴∵，

∴∵在中，∴．10．(1)；(2)證明見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，進而由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，即可求解；（）過點作于點，證明得到即可求證；（）證明得到，設(shè)，則，，即得，求出即可求解；本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：在矩形中，，是由旋轉(zhuǎn)所得，，，；（2）證明：過點作于點，如圖，由（）知，，又∵，∴，在和中，，，，即為的中點；（3）解：，為的中點，，∴為等腰三角形，又∵，∴為等腰三角形，∵兩個等腰三角形有公共底角，，由（）知，，設(shè)，則，，，解得，∴，，∴，在中，，，，∴，矩形的周長為．11．(1)見解析(2)【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記特殊四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵；（1）先證明，，再證明，從而可得結(jié)論；（2）證明，再進一步利用等腰三角形的性質(zhì)與內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】（1）證明：在中，，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）∵四邊形是矩形∴，∴，∵，∴，∴；12．(1)見解析(2).(3)或，【分析】（1）根據(jù)平行線的判定可知，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可知，最后根據(jù)平行四邊形的判定即可解答；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進行分析即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵為中點，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴是等腰三角形，∴，∴在中，，即．（3）∵，四邊形是平行四邊形∴四邊形不可能是菱形，∴不可能是直角，即不可能是直角三角形，當(dāng)時，，此時是鈍角三角形，當(dāng)時，，此時是銳角三角形，當(dāng)時，，此時是鈍角三角形，綜上可知，當(dāng)時，a的取值范圍是或，故答案為：或，【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟記相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得，結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)題意可得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，，的周長，故答案為：．14．（1）；（2）見解析【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，結(jié)合矩形對邊平行即可得到答案；（2）證明即可得到答案．【詳解】解：（1）∵矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到矩形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，故答案為：；（2）證明：∵點在對角線的垂直平分線上，邊經(jīng)