高中數(shù)學(xué)：排列組合問題的類型及解答

高中數(shù)學(xué)：排列組合問題的類型及解答

排列組合問題題型多樣，思路靈活，不易掌握。實踐證

明，備考有效的方法是題型與解法歸類，識別模式，熟

練運用。

一、相鄰問題捆綁法

例16名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起

的不同排法有（）種

A.720

B.360

C.240

D.120

解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一

起視作一人，與其余四人進行全排列有屬種排法；甲、

乙兩人之間有8種排法。由分步計數(shù)原理可知，共有

A河=240種不同排法,選C。

說明：從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在

解決對于某幾個元素相鄰的問題時，可整體考慮將相鄰

元素視作一個“大”元素。

二、相離問題插空法

例2要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出

節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，有多少不同的排

法？（只要求寫出式子，不必計算）

解：先將6個歌唱節(jié)目排好，其不同的排法為於種；這

6個歌唱節(jié)目的空隙及兩端共7個位置中再排4個舞蹈

節(jié)目，有&種排法。由分步計數(shù)原理可知，任何兩個舞

蹈節(jié)目不得相鄰的排法為總結(jié)種。

說明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元

素不能相鄰，由其它元素將它們隔開。此類問題可以先

將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它

們的間隙及兩端位置，故稱插空法。

三、定序問題縮倍法

例3信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信

號?，F(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，

可表示不同信號的種數(shù)是（用數(shù)字作答）。

解：5面旗全排列有紀(jì)種掛法，由于3面紅旗與2面白

旗的分別全排列均只能算作一次的掛法，故共有不同的

信號種數(shù)是A雙=10（種）。

說明：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序

稱為定序問題。這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方

便快捷。

四、標(biāo)號排位問題分步法

例4同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每

人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配

方式有（）

A.6種

B.9種

C.11種

D.23種

解：此題可以看成是將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為

1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)，且每個方

格的標(biāo)號與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將1填入2

至4號的3個方格里有弓種填法；第二步把被填入方格

的對應(yīng)數(shù)字，填入其它3個方格，又有G種填法；第三

步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中，只有1種填

法。故共有3X3X1=9種填法，而選B。

說明：把元素排在指定號碼的位置上稱為標(biāo)號排位問

題。求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排放，第二步

再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。

五、有序分配問題逐分法

例5有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需由2人承擔(dān)，乙、

丙各需由1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任

務(wù)，不同的選法共有（）種

A.1260

B.2025

C.2520

D.5040

解：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下8

人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，最后從剩下7人中選1人承

擔(dān)丙項任務(wù)。根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的選法共有

**）=2520種,故選C。

說明：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常

采用逐步下量分組法求解。

六、多元問題分類法

例6由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的

六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）

A.210個

B.300個

C.464個

D.600個

解：按題意個位數(shù)只可能是0,1,2,3,4共5種情

況，符合題意的分別有A4A3A3,A|A|A|?A2A3A3,A3A3

個。合并總計，共有A5+A1A3A3+A|A|A|+A^A^A|+

A通=300(個)，故選Bo

說明：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求，分

成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。

另解：先排首位，不用0,有&種方法；再同時排個位

和十位，由于個位數(shù)字小于十位數(shù)字，即順序固定，故

有弓種方法；最后排剩余三個位置，有房種排法。故共

有符合要求的六位數(shù)A犯通=300(個)。

七、交叉問題集合法

例7從6名運動員中選出4名參加4X100米接力

賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不

同的參賽方法？

解：設(shè)全集U=｛6人中任取4人參賽的排列｝,A二｛甲跑

第一棒的排列｝,B=｛乙跑第四棒的排列｝,根據(jù)求集合元

素個數(shù)的公式可得參賽方法共有

card(U)-card(A)-card(B)+card(AQB)=-A5+A4-252(種)o

說明：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合

中求元素個數(shù)的公式：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AC|B)來

求解。

八、定位問題優(yōu)限法

例8計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅

油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必

須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列

方式有()

A.A冠

B.泡

C.4冠

D.AJAJAI

解：先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫不能放在頭

尾，故只能放在中間，則油畫與國畫有房種放法。再考

慮油畫之間與國畫之間又可以各自全排列。故總的排列

的方法為用A：A：種，故選D。

說明：所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素(或位

置)在解題時優(yōu)先考慮。

九、多排問題單排法

例9兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座

位，若8名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的坐法種

數(shù)為（）

A.

B.&或或

C.CA：

D.

解：此題分兩排坐，實質(zhì)上就是8個人坐在8個座位

上，故有4種坐法，所以選D。

說明：把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮。

十、至少問題間接法

例10從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，

其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共

有（）種

A.140

B.80

C.70

D.35

解：在被取出的3臺中，若不含甲型或不含乙型的抽取

方法均不合題意，故符合題意的取法有或-4-或二70

種，選C。

說明：含“至多”或“至少”的排列組合問題，通常用

分類法。本題所用的解法是間接法，即排除法（總體去

雜），適用于反面情況明確且易于計算的情況。

十一、選排問題先取后排法

例11四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個

盒子中，則恰有一個空盒的放法共有種（用數(shù)

字作答）。

解：先從四個小球中取兩個放在一起，武種不同的取

法；再把取出的兩個小球與另外兩個小球看作三堆，并

分別放入四個盒子中的三個盒子中，有A；種不同的放

法。依據(jù)分步計數(shù)原理，共有點蜀=144種不同的方法。

說明：這是一道排列組合的混合應(yīng)用題目，這類問題的

一般解法是先?。ńM合）后排（排列）。本題正確求解

的關(guān)鍵是把四個小球中的兩個視為一個整體，如果考慮

不周，就會出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的錯誤。

十二、部分符合條件淘汰法

例12四面體的頂點及各棱中點共有10個點，在其中

取4個不共面的點，不同的取法共有（）

A.150種

B.147種

C.144種

D.141種

解：10個點中取4個點共有&種取法，其中同一側(cè)面

內(nèi)的6個點中任取4個點必共面，這樣的面共有4個；

又同一條棱上的3個點與對棱的中點也四點共面，共有

6個面；再各棱中