高中數(shù)學(xué)：數(shù)列求和的方法

高中數(shù)學(xué)：數(shù)列求和的方法

一、倒序相加法

此法例1、已知1g(對(duì))=&S"=lgXn+lg(x"ly)+lg(x"-2y2)+~+lgyB或Sn

解：Sn=lgX&+lg(x"Ty)+lg(xn-2y2)+...+lgyn。①

把等式①的右邊順序倒過來寫，即①可以寫成以下式子：

Sgg/1+Ig(yf)+lg(y2x2)+…+lgx".②

把①②兩式相加得2S"=(n+l)lg(xy)n=n(n+l)lg(xy)=an(n+1).

Sn=|n(n+1).

二、錯(cuò)位相消法

此法例2、求數(shù)列&2a2",…na'…的前n項(xiàng)和。

解：設(shè)Sn=a+2a2+3a3+...+na。

n(n+1)

???

當(dāng)時(shí)，n1+2+3++n=—------

a=1S'2

a+2a°+3a3+???+nan.

當(dāng)awl時(shí),Sn:①

①式兩邊同時(shí)乘以公比得?n：+1

a,aSn=a2+2a3+3a4+“+na②

23nn+1n+1

(1-a)Sn=a+a+a+-+a-na=na

①②兩式相減得1-a

_nan+2-(n+l)an+1+a

'n=

三、拆項(xiàng)分組法

把一個(gè)數(shù)列分拆成若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列），然后利用相

應(yīng)公式進(jìn)行分別求和。

例3、求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為工，則

"以+(7卜…+卜+±)

(X次-l)(x2n+2+1)

----—5-2-------+，n.

當(dāng)XW±1時(shí),x^Cx-1)

當(dāng)x=±[時(shí)，Sn=4n.

小貼士：在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)對(duì)q=1與q*l的情況進(jìn)

行討論。

四、裂項(xiàng)相消法

用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧。如

111,

------=-—----,n?n!=

n(n+1)nn+1

/151nli11「11

(n+1J?-nJ--------=——-------------------------------=------------------------------

”(n+l)!n!(n+1)!’n(n+l)(n+2)2[n(n+l)(n+l)(n+2)

一]——-==Jn+1-而.

Jn+1+Jn

1____1____1_______1_

例4、求數(shù)列Ix3'2x4'3x5''n(n+2)’的前n項(xiàng)和。

五、奇偶數(shù)討論法

如果一個(gè)數(shù)列為正負(fù)交錯(cuò)型數(shù)列，那么從奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別總結(jié)出國(guó)與

n的關(guān)系進(jìn)行求解。

例5、已知數(shù)歹[]{%)，2口=-2[11-(-1)”],求該數(shù)歹1|的前n項(xiàng)和S3

解：2.=-28-(-1力=-211+2(-1尸＜打分奇數(shù)、偶數(shù)討論求和。

①當(dāng)n=2m(mwbf)時(shí)，

2

Sn=S2nl——2(1+2+3+…+2tn)+2[(-1)+(—l)+…+

(T產(chǎn)]=-2(1+2+3+???+2m)=-(2m+1)-2m=-n(n+1).

②當(dāng)口=2?1-362)時(shí)，

sn=S2m-1=S2m-a2m=~(2m+D?2m+2[2m.(T)*，

=-(2m+1)2m+2(2m-l)=-4m2+2m-2=-(n+I)2+(n+1)-2=-n2-n-2.

f-n(n+l)(n為正偶數(shù))，

"*"1_n2-n-2(n為正奇數(shù)).

六、通項(xiàng)公式法

利用an=Sn-S.i,問題便轉(zhuǎn)化成了求數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)問題。

a

例6、已知數(shù)列｛%)，n=n3*1,求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。

解：

Sn+1~sn=aH+i=(n+1)-3n=3n-1(4n+4)=3n"(2n+1)-3-(2n-1)]=

n+1n+1n

；(2n+1).3-1(2n-1).3%即Sn+1-l(2n+1).3=Sn-l(2n-1)-3

n

lsn--(2n-1)3lS,---3=31.

???數(shù)列I4J是一個(gè)常數(shù)列，首項(xiàng)為444

n

Sn=l+l(2n-l)-3

n44

七、綜合法

盡量把給定數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列來處理。

例7、已知Sn=E-2?+3?+…+(-1嚴(yán)M,求％.

分析:注意觀察到：F-2?=(1-2)(1+2)="(1+2),

32-42=(3-4)(3+4)=-(3+4),

其他可依次類推。關(guān)鍵是注意討論最后的n是奇數(shù)還是偶數(shù)。

解：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由以上的分析可知：