特級教師高考復習方法指導-高中數學知識點總結

特級教師高考復習方法指導一高中數學知識點總結

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合4={x|y=Igx},B={y\y=\gx],C={（x,y）|y=Igx},A>B、C中元素各表示什

2,進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合4=卜|/_2工-3=0卜8={x|or=l},若BuA,則實數。的值構成的集合為

-1,0,-

3

3.注意下列性質：

（1）集合{叩%……，%}的所有子集的個數是2"

（2）若力q804n8=44lj8=8；

（3）德摩根定律:c；（力UB）=（G/）n（G,B）,cu（AnB）=（cuA\j（cuB）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

/7Y—5

如：已知關于x的不等式二一<0的解集為若且5wA/,求實數。的取值范圍。

x-a

.a*3-5

V3eM,?'

nawU(9,25)

.4?5-5

:5任〃，；

1,52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（V）、“且”（八）和“非"（一（）

若p^q為其,當且僅當夕、q均為真

若pvq為真，當且僅當〃、“至少有一個為真

若「〃為真，當且僅當p為假

6.命題的四種形式及其相互關系是什么？

（互為逆否關系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假：逆命題與否命題同真同假。

用心愛心專心

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪

幾種對應能構成映射？

(一對一，多對一，允許B中有元素無原象。)

8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？

(定義域、對應法則、值域)

9.求函數的定義域有哪些常見類型？

例：函數歹=且三a的定義域是

愴(工-3)一

答：(0,2)U(2,3)11(34)

10.如何求復合函數的定義域？

如：函數/(X)的定義域是[。，h],b>-a>0,貝！函數/(x)=/(x)+/(—x)的定義域是

答：

11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？

如：/(Jx+l)=e'+x,求/(x)

令1=7771,M/>0,AX=/2-1,A/(/)=/-'+/2-l,

Af(x)=ex2-*i+x2-\(x>0)

12.反函數存在的條件是什么？

(一一對應函數)

求反函數的步驟掌握了嗎？

(①反解X；②互換x、y；③注明定義域)

l+x(x>0)

如求函數/(%)=?,)；的反函數.

-x2(x<0)

x-1(x>l)

答：尸3=

—\/—x(x<0)

13.反函數的性質有哪些？

①互為反函數的圖象關于直線y=x對稱;

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

用心愛心專心

③設y=/（x）的定義域為力，值域為C,a^A,bwC,則/5）=6=廣場）=。，???

/■'[/（?）]=/_，3）=a,f[/-'⑸]=/（?）=b

14.如何用定義證明函數的單調性？

（取值、作差、判正負）

如何判斷復合函數的單調性？

y=f（u）（外層），〃=w（Q（內層），則〉=/[8（切

當內、外層函數單調性相同時，/W（x）]為增函數，否則/[**）]為減函數

如：求歹=log/-/+2”的單調區(qū)間。

2

設u=-x2+2%,由u>0,則0cx<2且log]〃J

2

當xe（0,1]時，uT,又log1〃J,，yJ

2

當xw[l,2）時，又log1〃J,，yT

2

:....）

15.如何利用導數判斷函數的單調性？

在區(qū)間（％6）內，若總有/G）20,則/（X）為增函數。（在個別點上導數等于零，不影響函數的單

調性），反之也對，若/、'（幻《0呢？

如：已知。>0,函數/（#=/一在0,+8）上是單調增函數，則。的最大值是

A.0B.1C.2D.3

令/。）=3/_〃=3x+J[-

由已知/（x）在[1,+8）上是增函數，則即???。的最大值為3

16.函數/（均具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（/'（X）定義域關于原點對稱）

若/?（—%）=一/（幻總成立=/（x）為奇函數=函數圖像關于原點對稱

若/（-%）=/（幻總成立O/（X）為偶函數o函數圖像關于y軸對稱

用心愛心專心

注意如下結論：

(1)在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函

數的乘積是奇函數。

(2)若/(均是奇函數且定義域中有原點，則/(0)=()

</??V+/7-2

如：若f(x)=U-。?為奇函數，則實數。

2T十］

+(1—2

???/(x)為奇函數，xeR,又OwR,???/(0)=0,即+]—=0,???4=1

2X

又如:/(力為定義在(-1,1)上的奇函數,當X￡(0,l)時，/(x)=——，求/(x)在上的解析

4+1

式。

2T

令xw(-1,0),則一xw(O,l),/(-x)=^~-

2rT

又/㈤為奇函數，???/(x)=

4-'+11+4、

2、

XG(-LO)

4+1

X./(0)=0,Af(x)=0,x=0

2、,、

-------,xe(0,1)

4r+l'7

17.你熟悉周期函數的定義嗎？

若存在實數7\7工0),在定義域內總有/(x+r)=/(x),則/(X)為周期函數，T是一個周期。

如:若f(x+a)=-/a),則,

答：/(x)是周期函數，7'=2。為/(工)的一個周期。

又如：若/(x)圖像有兩條對稱軸X=Q,x=〃(o)即/(6+x)=/S—x),f(a+x)=f(a-x),

則F(x)是周期函數,2|々一回為一個周期

如圖:

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

用心愛心

2

2

f（x）與f（-x）的圖像關于y軸對稱

/（X）與_/（口的圖像關于X軸對稱

/（X）與-/（-X）的圖像關于原點對稱

/（X）與/“（》）的圖像關于直線y=x對稱

/.（X）與/（2。-X）的圖像關于直線X=。對稱

f（x）與-/（2。-x）的圖像關于點（。,0）對稱

\圜佳左移“（”＞＜））個單位、y~f（x+Q）上移6s＞0）個單■位、y~f（%+。）+b

的因琢—右移以“＞0）個單位＞y=f（x_q）-下移〃s＞0）個單位＞y=/（x+a）—6

注意如下“翻折”變換：/口）Tf（x）|,/（x）f/（IxI）

如：/（x）=log2（x+l）

作出y=|log?（工+1）I及V=log2Ix+11的圖像

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

（1）一次函數：y=kx+b（k工0）

（2）反比例函數：y=?（ZwO）推廣為y=b+—L化工o）是中心O'S，b）的雙曲線。

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）

的關系---二次方程。X?+6x+c=0,△＞（）時，兩根X］、X?為二次函數F=仆2+bx+c的圖像與工軸的

兩個交點，也是二次不等式o?十反+。＞0（＜0）解集的端點值。

用心愛心專心

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程。/+云+。=0的兩根都大于

A>0

ko\-->k,一根大于〃，一根小于左=/（左）<0

2a

/⑻>0

（4）指數函數：y=a>（a>0,awl）

（5）對數函數：y=\0Q（lx（a>0,。工1）

由圖象記性質?。ㄗ⒁獾讛档南薅ǎ。?/p>

（6）“對勾函數”歹=x+4（％〉。）

■A

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別

是什么?

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：〃°=1（。。0）,。一。二二俗工。），

an=\la,>>(a>0)巴1

F(。>0)

對數運算：log“M?N=k)g〃A/+log〃N(A/>0,N>0)

log。N=l°g.MT°g”Mbg.A/A7=-logaM

Nn

對數恒等式：?陽'=x

t

對數換底公式：log.b=10g°niOgb"=—logab

a

log（,am

21.如何解抽象函數問題?

（賦值法、結構變換法）

如：（1）A,/（x）滿足/（x+y）=/（x）+/（y）,證明/（x）為奇函數。

先令x=y=0=/(0)=0,再令y=-x,

用心愛心專心

（2）XER,/（x）滿足/（號）=/（》）+/（刃，證明/（%）為偶函數。

先令x=y=T=/[(-/)(T)]=/(一),???/(T)+f(-t)=f(t)+f(t)，

:?/(-/)=/(/)

（3）證明單調性：/（々）=/［（今一七）+%］二

22.掌握求函數值域的常用方法了嗎？

（二次函數法（配方法），反函數法，換元法，均值定理法,判別式法，利用函數單調性法，導數法

等。）

如求下列函數的最值:

(1)y=2x-3+\/13-4x

24-4

(2)

、2x2

(3)x>3,y=------

x-3

(4)y=x+4+79-x2(設x=3cos0,Oe[0,TT])

9

(5)y-4x+—,xe(04]

x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和扇形

面積公式嗎？

/=|a|?凡S扇=；/?R=：|akA?

乙乙

24.熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義

sina=MP,cosa=OM,tana=AT

如：若一二v。v0,則sin4,ccs。,tan0的大小順序是.

8

cos（5-xj的定義域和值域。

又如：求函數y=—

)=1-\^sinx>0,Asinx<^-

V1-V2cos71

<22

2k兀-<x<2k兀+^[keZ)/)<y<八+6

用心愛心專心

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎？并由圖象寫出單調區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？

|sinx|<1,|cosx|<1

對稱點為^-,0?kEZ

y=sinx的增區(qū)間為泉江+］］（%￡Z）,減區(qū)間為泰乃十］,2左江+芳（ZreZ）,圖像的對稱點

為（kmO）,對稱軸為x=左;r+1（左eZ）

y=cosx的增區(qū)間為［水石"乃十句（左eZ）,減區(qū)間為［2左乃+乃,次"+2司（〃eZ）,圖像的對稱點為

te+y,0j,對稱軸為工=人江（匯WZ）

jrrr

y=tanx的增區(qū)間為的r-］,后r+萬■乂左EZ）

26.正弦型函數產4sin（ax+9）的圖像和性質要熟記。（或y=4cos（〃zv+。））

（1）振幅|力|,周期T二至

若/（與）=±4,則x=x（）為對稱軸；若/（與）=。,則（%,0）為對稱點,反之也對

（2）五點作圖：令Gx+e依次為0,］,萬，學,2萬

求出x與1y，依點（x,y）作圖象。

（3）根據圖像求解析式。（求4。、。值）

口區(qū)）+9=0

如圖列出，1，解條件組求①、夕值

（o（x2）+（p=-

用心愛心專心

△正切型函數y=4tan(〃zv+°),T=j~-

27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍。

/in(413萬1

如：cosx+—=----,xe兀,——，求x值。

I6；22J

3乃.7乃乃5萬.715TT13

■7CVX<,..VX+—V9..X+—=9??X=7T

26636412

28.在解含有正、余弦函數的問題時，你注意(到)運用函數的有界性了嗎？

如：函數y=sinx+sin|x|f勺值域是

xNO時,y=2sinx6[-2,2],x<0時，y=0,：,ye[-2,2]

29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎？

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

,I、上-"、7=("k)n,z,\x'=x+h

(1)點P(x,y)----:玲至>>P(x,y),則〈

y'=y-}-k

(2)曲線/(x,y)=0沿向量c；=(6,6平移后的方程為了(4—〃，y-k)=0

如：函數]，=2或。(2.丫-：)一1的圖像經過怎樣的變換才能得到3；=5布工的圖象？

y=2sin卜x-工11y=2sin\2(-x]-\=2sinfx--l-l

<4J\2/4V4J

左平移g個單位c.1上平移|個電位c.雙坐標縮說到原來的;倍

----------->y=2smx-l———L-LL->y=2sinx--------------——>y=sinx

30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎？

立口：1=sin2</+cos2Of=sec2a-tan2=tana*cota=cosa*sec6/=tan—=sin—

42

=cosO=....稱為1的代換。

“內工土a”化為。的三角函數一一“奇變，偶不變，符號看象限"，“奇”、“偶”指k取奇、偶數。

2

如：cos—+tanJ+sin(21^)=

EL—3sina+tana

乂如：函數y=-----------，則y的值為

cosa+cota

用心愛心專心

A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值

sina

sina+sin2a(cosa+1)

y=----------—----------------------^>0,???。工0

cosa+cosacos'a(s】na+1)

sina

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降幕公式及其逆向應用了嗎？

理解公式之間的聯系：

sin(a±/7)=sinacos夕±cosasinp->sin2a=2sinacosa

cos(6z±/?)=cosacos^+sinasinp->cos2a=cos2a-sin2a

=2cos2a-l=l-2sin2a

,小tana±tan/_2tana

tan(a±￡)=----------------—,tan2a=..........-

l+tancr*tanp1-tan-a

1+cos2a.1-cos2。

cos-2a=-------------，sin-2a=--------------

22

asina+bcosa=yja2+b2sin(a+夕),tan(p=—

sina+cosa=\/2sm\a+—

I4J

sina+Gcosa=2sina+—

應用以上公式對三角函數式化簡。（化簡要求：項數最少、函數種類最少，分母中不含三角函數，能

求值，盡可能求值。）

具體方法:

（1）角的變換：如……

2I2/V2）

（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數的變換：升、降鼎公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數形式，注意運用代數運算。

,_.,sinctcosct.(\2(cc\

如：已知-j------------=1,tan(a-/?)="-,求tan(夕-2a)的值。

sinacosacost?1

由己知得:.......------=-：------=1,..tancr=—

2sin~a2sina2

用心愛心專心

2

又tan(^/3-a)=-t

2_1_

/、r/、-itan(/?-cr)-tanaT_71

???tan(6一2a)=tan「(6-a)-a[=------%——!―-------=一12-

f

WL*/」i+tan(/?-?)-tan?1+2J8

32

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉化，而解斜三角形？

A2+c2-

余弦定理：a~=b~+c~-2bccosA=>cos/I=---------

2bc

（應用：己知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

a=27?sinA

a_b_c

正弦定理:2R<=><b=2/?sinB

sinAsinBsinC

c=27?sinC

S8=—a*Z?sinC

A+B+C=7T,A+B=7T-C,sin(J+5)=sinC,sin^-i-^=cosy-

/+月

如：ZUBC中，2sin?-------+cos2C=l

2

(1)求角。

(2)若/=從十^,求cos24-cos28的值

2

(1)由已知得1—COS(4+B)+2COS2C_1=1

乂力+8=萬一。，2cos?C+cosC-1=0,cosC=，或85。二一1(舍)

2

又。<C<冗，：,C=%

3

1Q

(2)由正弦定理及a2=h2+-c2得2sirJ-2sin2B=sin2C=sin2-=-

234

1-cos2-1+cos2^=—,cos24-cos28=

44

33.用反三角函數表示角時要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxG--,xG[-1,11

L22jL」

反余弦：arccosxe[0,句，xG

用心愛心專心

反正切:arctanx(xeR)

GI22廠f)

34.不等式的性質有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>da+c>b+a

(3)a>b>0,c>d>Gnac>bd

111

-<<on->-

(4)a>/?>0=>—<力ab

(5)a>b>D=a”>b，G樂

(6)|x|<i7(a>0)<=>-a<x<a,|x|>?<=>x<-?或

如；若‘〈‘VO,則下列結論不正確的是

ab

A.ci~<h~B.cib<b~C.|tz|4-1/)|>|t?+h|D.—I—>2

答案：C

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,bwR+)；a+bN2廟ab<[^-^求最值時，你是否注意到“a,beR+n

且“等號成立”時的條件，積(〃6)和(。+6)其中之一為定值？(一正、二定、三相等)

注意如下結論：

J且/之疝之=^(一bsR),當且僅當時等號成立

a2+b2+c2>ab+be4-ca(<z>beR),當且僅當a=/?二c時等號成立

.八?bb+ni.a+na

a>b>n0,m>0,〃>0,則nil一<-----<1<-----<—

aa+mh+nh

4

如：若x>0,2—3x——的最大值為

x

設y=2-0x+?)?2-2版=2-44，當且僅當3x=3成立，

又%>0，.?“=￥時，>max=2-4x/3

用心愛心專心

乂如：x+2y=\,則2K+4,的最小值為

V2X+22?，＞2VF^=2^,???最小值為2五

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

(比較法、分析法、綜合法、數學歸納法等)

并注意簡單放縮法的應用.

如：證明12

22321

解分式不等式W>Q(Q

37.￥0)的一般步驟是什么？

(移項通分，分子分母因式分解，x的系數變?yōu)?,穿軸法解得結果。)

38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

如：(x+l)(x—1)(x—2)<0

39.解含有參數的不等式要注意對字母參數的討論

如：對數或指數的底分或0<。<1討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)

如:解小等式|x_3Tx+1|11

解集為,

41.會用不等式等|-|6兇?！?國〃|+|b|證明較簡單的不等問題

如:設/(x)=x?-x+13,實數a滿足,求證：|/(x)-/(a)|<2(|a|+l)

用心愛心專心

證明：\f(x)-f(a)\=\(x2-x+\3)-(a2-a+\3)\=\(x-a)(x+a-\)\(\\x-a\<V)

=|x-a||x+a-l|<|x+a-l|<|x|4-|a|+l

又國》一。1<1，???34。1+1，???1/(劉一/(。)1<2|4|+2=2佃|+1)

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉化為最值問題，或“△響題)

如：。</(%)恒成立=67</(.丫)的最小值

a>f(x)恒成立。a>/(x)的最大值

a>/'(X)能成立/(X)的最小值

如：對于一切實數x,若反-3|+卜+2|>。恒成立，則。的取值范圍是

設〃=|x-31+1x+2],它表示數軸上到兩定點-2和3距離之和

〃min=3—(-2)=5,J5>〃，即〃<5

或者：|工一3|+|1+2閆(工一3)-。+2)|=5,:.a<5

43.等差數列的定義與性質

定義：%-4=d(d為常數)，an=ax+(//-l)J

等差中項：x,4y成等差數列<=>24=x+y

前.〃項和s.=巴上業(yè)=叫+正2/

“212

性質：｛〃”｝是等差數列

(1)若m+n=p+q,Mam+an=ap+aq\

(2)數列｛出.T｝，｛%｝，｛機+〃｝仍為等差數列，S”，S2n-\,S3bs2n……仍為等差數列

(3)若三個成等差數列，可設為a-d,a,a+d

(4)若%,2是等差數列，S”，7；為前〃項和，則寧二叢叢

■T2m7

(5)｛4｝為等差數列oS“=a〃2+b〃(Q,/)為常數，是關于〃的常數項為0的二次函數)

用心愛心專心

S”的最值可求二次函數S”=a〃2+b〃的最值；或者求出｛凡｝中的正、負分界項,

a>0

即：當q>0,c/<0,解不等式組<t“l(fā)可得達到最大值時的〃值。

30

*-0

當q<0,d>0,由，“八可得S”達到最小值時的〃值。

如：等差數列{%},S“=18,%+〃1+〃“_2=3,S:=\,則〃=

由/+%+an-2=3=>血*=3,???%=1

又邑二包打嗎=34=1,人2=

18,/.n-27

44.等比數列的定義與性質

定義：^-=q（4為常數，qw。），*=a小

%

等比中項：x、G、y成等比數列=G2=.\y,或G=±J^

"4（q=1）

前〃項和：（要注意！）

——"*1）

i-q

性質：｛可｝是等比數列

9

（1）若〃?+〃=p+q,則a;an=apaq

（2）S,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數列

45.由S”求?！〞r應注意什么？

〃=1時，q=S],〃22時，，a“=S“-S八_\

46.你熟悉求數列通項公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

如：數列｛/｝,36+《生+....+￡%=為+5,求知

用心愛心專心

解：〃=1時，—a.=2x1+5,/.a,=14①

2

2時，—a,+.......+——ra,=27i-1+5②

212222"-n

14(z?=l)

①一②得：=2?a=2"+］a=,

2〃〃“n2n+,(/7>2)

［練習］數列｛4｝滿足S〃+S.|=ga"wq=4,求%

注意到。向=S.+「S〃，代入得年二4

又S|=4,???｛.｝是等比數列，S〃=4"

〃22時，%=S”一S“_1=.......3?4"|

(2)疊乘法

如：數列｛凡｝中,T力求，〃

/a?12n-\

??????〃=.....................?.4—_—1

a\a2an-\23n

又q=3,

n

(3)等差型遞推公式

由一4_［=/(〃)，%=%，求%，用迭加法

。2-6=〃2)、

/?>2時，、一％=)⑶：>兩邊相加得%=〃2)+?3)+……+/(〃)

**?an=a0+/(2)+/(3)+......+/(〃)

［練習］數列{a,J中，a}=1,a"=3"一+。"_］(〃之2),求

牝=3(3〃-1)

(4)等比型遞推公式

an=can_y+d(c、d為常數,cwO,cwl,d/0)

用心愛心專心

可轉化為等比數列，設a”+R=C(Q,I+x)=>a“=ca/}_}+(c-l)x

令(c-l)x=d,；?x=d,;d，是首項為％-高，。為公比的等比數列

c-\3n

ddc”」

an4------i=4+—r=q+―-

c-\kc-lJkC-\c-\

L練習」數列｛4｝滿足q=9,3%川+%=4,求an

?！?8

（5）倒數法

〃

如：/=1，牝中二2上三，求。“

?！?2

1111]_

由已知得：==—H-----,

〃向242

1為等差數列，—=i,公差為L???'=1+（〃一i）,二L（〃+i）,

a,2a?22

in

〃+I

47.你熟悉求數列前n項和的常用方法嗎？

例如：3）裂項法：把數列各項拆成兩項或多項之和，使之出現成對互為相反數的項。

如：｛%｝是公差為d的等差數列，求

*=>44+1

111(11

解：由①工°)

/?4川4(4+“)d\ak

〃1〃1(\1\_1111(1

=y-+——+...+

)\ai

111

an+\)

［練習］

求和：1+」11

4--------------------------

1+21+2+31+2+3+.......+n

用心愛心專心

1

，S”=2

n+\

（2）錯位相減法：

若｛%｝為等差數列，｛4｝為等比數列，求數列｛凡“｝（差比數列）前〃項和，可由S「qS”,求S〃,

其中g為色｝的公比。

23/,-1

如：Sn=\+2x4-3x+4.v+...+w.r①

234

x*Sn=x+2x+3x+4x+....+(〃-1)x""+"②

?—@(l-x)S?=1+x+x2+...+-—〃x”

(IT)〃(/7+1)

xwl時，S=------7-----,x=l時，S“=l+2+3+........=------

'(1-x)21-x2

(3)倒序相加法：杷數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。

S,=q+%+....+―+%

，相加2S=(q+%)+(%+J)+…+Q+%)?

￡=%+%+....+%+%.H

［練習］

已知/(x)=4,則/(1)+/(2)+/(：］+/(3)+/f^+/(4)+/fy=

1+r

由/“已

1+x2+1+x2

"(1、］「(1YI「(1

???原式=/(1)+/(2)+/彳+/⑶+/+/《)+/=-+1+14-1=3-

［2〃I⑶<4；22

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

Sn=p（l+r）+p（l+2r）+....+P（1+"）=pn+"；+”/.等差問題

△若按復利，如貸款問題一按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款一分期等額歸還本息的借款

種類）

用心愛心專心

若貸款(向銀行借款)P元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期(如一年)后為第一次還款

日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復利)，那么每期應還x元，滿足

/、1一(1+力

p(\+r)n=x(l+r)w'+x(l+v)”24-+x(l+r)4-x=x———v

'7l-(l+r)

…(1+心1

p——貸款數，r—利率，n——還款期數

49.解排列、組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(1)分類計數原理：N=m[+m2+……+"?“(？為各類辦法中的方法數)

分步計數原理：Na……加〃(網為各類辦法中的方法數)

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(m<n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同

元素中取出加個元素的一個排列，所有排列的個數記為

/；=n(n-1](n-2)...(n-m+1)=-~~〃'Gn<w),規(guī)定0!=1

(〃_〃?)！

(3)組合：從n個不同元素中任取m(mWn)個元素并組成一組，叫做從〃個不同元素中取出m個元

素的一個組合，所有組合的個數記為

n(n-\)..........+

下;面二

kJ"”】

(4)組合數性質：C：+C+……+C；=2

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相

同元素分組可采用隔板法，數量不大時可以逐一排出結果。

如：學號為1,2,3,4的四名學生的考試成績毛￡{89,90,91,92,93}?=1,2,3,4),且滿足

王<Z《七</，則這四位同學考試成績的所有可能情況是

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(1)中間兩個分數不相等

用心愛心專心

有C；=5（種）

（2）中間兩個分數相等

<X2=Xy<X4

相同兩數分別取90,91,92,對應的排列可以數出來，分別有3,4,3種，

工有10種。，共有5+10=15（種）情況

51.二項式定理

（a+b）n=cy+C\an-]b+C^an-2b2+…++…+C；b"

flr

二項展開式的通項公式：7；+1=C>-y（r=0,l……〃），C；為二項式系數（區(qū)別于該項的系數）

性質：

（1）對稱性：C；=C,7（r=0,1,2,……，〃）

（2）系數和：C：+C"…+C；=2",C：+C：+C：+…=C：+C；+C：+…=2”"

/fl\-n

（3）最值：n為偶數時，n+l為奇數，中間一項的二項式系數最大且為第-+1項，二項式系數為C,3

〃為奇數時，（〃+1）為偶數，中間兩項的二項式系數最大，即第四項及第巳里+1項，其二項式系數為

n-Iw+1

c〃~=nc~

如：在二項式（x-l）”的展開式中，系數最小的項系數為（用數字表示）

12

???〃=11,???共有12項，中間兩項系數的絕對值最大，且為第一二6或第7項

2

由???取尸=5,即第6項系數為負值為最小一。；=一6：=一426

20<）422<）lM

又如：（1-2X）=fZ0+471X+6Z2X+........+tZ2004X（XG7?）,則

（%+。|）+（。0+3）+（。0+。3）+....