2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)教案 28.1 第1課時(shí) 銳角的正弦

第二十八章銳角三角函數(shù)28.1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)銳角的正弦教師備課素材示例●情境導(dǎo)入意大利比薩斜塔在1350年落成時(shí)就已傾斜，其塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線2.1m．1972年比薩地區(qū)發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立，但塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線增至5.2m，而且還在繼續(xù)傾斜，有倒塌的危險(xiǎn)．當(dāng)?shù)貜?990年起對(duì)斜塔維修糾偏，2001年竣工，此時(shí)塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm.根據(jù)上述信息，你能用“塔身中心線與垂直中心線所成的角θ”來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，那么它的邊角之間有什么關(guān)系呢？本章將通過銳角三角函數(shù)，建立直角三角形中邊角之間的關(guān)系，并利用銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解決包括上述問題在內(nèi)的與直角三角形有關(guān)的度量問題．建議：根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，無法用已學(xué)過的知識(shí)和方法解決這個(gè)問題．學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“怎么辦呢？”的疑惑．由此導(dǎo)入學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)知識(shí)．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題：1.直角三角形邊和角有哪些性質(zhì)？2．有一個(gè)銳角是30°的直角三角形有什么性質(zhì)？3．有一個(gè)銳角是45°的直角三角形有什么性質(zhì)？4．如圖，為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡的坡角(∠A)為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過復(fù)習(xí)直角三角形中30°，45°角的性質(zhì)，導(dǎo)入正弦概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究新知的欲望．建議：教師提出問題后，學(xué)生積極思考，由問題4導(dǎo)入課題．*命題角度1在直角三角形中求銳角的正弦值在直角三角形中，銳角的正弦表示這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比，借助勾股定理或者直接根據(jù)定義可求出銳角的正弦值．【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，則sinB的值是(D)A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(5,3)D．eq\f(3,5)【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，則sinA的值是__eq\f(\r(5),5)__．*命題角度2根據(jù)網(wǎng)格圖求銳角的正弦值把三角形放到網(wǎng)格圖中，可直接借助網(wǎng)格圖或通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求某個(gè)內(nèi)角的正弦值．【例3】如圖，點(diǎn)A，B，C都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC等于(A)A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(\r(26),13)D．eq\f(\r(13),13)【例4】如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則∠1的正弦值是__eq\f(2\r(13),13)__．*命題角度3利用正弦值求直角三角形的邊在直角三角形中，若已知一個(gè)銳角的正弦值，確定一條直角邊的長(zhǎng)，可求直角三角形其他各邊的長(zhǎng)．【例5】在△ABC中，∠C＝90°.若BC＝6，sinA＝eq\f(3,5)，則AB的長(zhǎng)是(D)A．12B．8C．9D．10【例6】如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為E.若sin∠ADE＝eq\f(4,5)，AB＝4，則AD的長(zhǎng)為__eq\f(16,3)__．*命題角度4根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)求銳角的正弦值利用點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的含義，可構(gòu)造出直角三角形求平面直角坐標(biāo)系中的銳角的正弦值．【例7】如圖，已知銳角α的始邊在x軸的正半軸上(頂點(diǎn)在原點(diǎn))，終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)，則sinα等于(A)A．eq\f(2\r(13),13)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(7),3)【例8】直線y＝eq\f(1,2)x＋2與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，則∠OAB的正弦值是__eq\f(\r(5),5)__．*命題角度5構(gòu)造直角三角形求銳角的正弦值求一個(gè)銳角的正弦值時(shí)，若這個(gè)角不在直角三角形中，一般需要等角代換，或添加輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．【例9】如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等．若等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上，且∠ACB＝90°，則sinα的值是__eq\f(\r(10),10)__.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解銳角正弦的概念，能夠運(yùn)用sinA表示直角三角形兩邊的比值及進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．2．體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用．▲重點(diǎn)理解銳角正弦sinA的意義，能用它進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．▲難點(diǎn)領(lǐng)悟正弦的概念．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入投影展示教材P61引例(揚(yáng)水站建設(shè)中的問題)．提出：你能將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題嗎？◆活動(dòng)2探究新知1．教材P61問題．提出問題：(1)問題中是根據(jù)什么求出水管長(zhǎng)度的？(2)如果出水口的高度是40m時(shí)，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？(3)如果出水口的高度是am時(shí)，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(4)教材P61第1個(gè)思考，由此你能得出什么結(jié)論？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P61第2個(gè)思考．提出問題：(1)已知條件是什么？要求的是什么？我們可以根據(jù)什么定理來求解？根據(jù)勾股定理，你列出的等式是什么？eq\f(BC,AB)的值與三角形的大小有關(guān)系嗎？由此，你能得出什么結(jié)論？(2)在上面求AB(所需水管的長(zhǎng)度)和∠A的對(duì)邊與斜邊的比eq\f(BC,AB)的過程中，你能得出什么結(jié)論？同學(xué)間可以相互交流．(3)當(dāng)∠A是任意一個(gè)確定的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？學(xué)生完成并交流展示．3．教材P62探究．學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，無論這個(gè)直角三角形大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都是一個(gè)__固定值__．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的__對(duì)邊與斜邊的比__叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝__eq\f(a,c)__．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1教材P63例1.例2如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)E.設(shè)∠ADE＝α且sinα＝eq\f(4,5)，AB＝4，求AD的長(zhǎng)．解：∵∠ADE＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ADE＝∠BAC，∴sinα＝sin∠BAC＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(4,5).設(shè)AC＝5x，BC＝4x，則AB＝3x＝4，∴x＝eq\f(4,3)，∴AD＝BC＝eq\f(16,3).例3如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑．若⊙O的半徑為eq\f(3,2)，AC＝2，求sinB的值．解：連接CD.∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴sinD＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(2,3).由圓周角定理，得∠B＝∠D，∴sinB＝sinD＝eq\f(2,3).練習(xí)1．教材P64練習(xí)第1題．2．如圖，在⊙O中過直徑AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)C作⊙O的一條切線，切點(diǎn)為D.若AC＝7，AB＝4，則sinC的值為__eq\f(2,5)__．3．如圖，把含30°角的三角尺ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到三角尺DBE的位置，連接AD，求sin∠ADE的值．解：過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F.設(shè)BD＝x.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠ABD＝90°，AB＝BD＝x，∠EDB＝30°，∴∠DAB＝45°，AD＝eq\r(2)x.在Rt△DBE中，易得BE＝eq\f(\r(3),3)x，∴DE＝eq\r(BD2＋BE2)＝eq\f(2\r(3),3)x，AE＝AB－BE＝x－eq\f(\r(3),3)x＝eq\f(3－\r(3),3)x.∵∠AFE＝90°，∠DAB＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴易得