浙江省杭州地區(qū)(含周邊)重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

絕密★考試結(jié)束前學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：奉化中學(xué)丁少杰、孫圣審題：臨安中學(xué)方銘象山中學(xué)許澤建校稿：求蓮萍考生須知：．本卷滿分分，考試時(shí)間分鐘：．答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級(jí)、學(xué)號(hào)和姓名，座位號(hào)寫在指定位置：．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效：．考試結(jié)束后，只需上交答題卷。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合包含的元素，再求集合的交集即可.【詳解】，則，，則，則.故選：B.2.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】第1頁(yè)/共20頁(yè)【分析】先由共軛復(fù)數(shù)求出，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得.【詳解】由題意可得，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.故選：A3.若為一組從小到大排列的數(shù)1，2，3，5，7，8，的第上四分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】利用百分位數(shù)的概念計(jì)算，再利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】因，所以的第上四分位數(shù)是，即，則，由解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：D.4.過拋物線的焦點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】B第2頁(yè)/共20頁(yè)【解析】【分析】由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線垂直的斜率關(guān)系求解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)與直線垂直的直線方程為，代入，可得，故所求直線方程為，即.故選：B.5.1423子中等可能地選擇一個(gè)盒子，然后從中任意摸出2個(gè)球，則這2個(gè)球都是黃球的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)表示取得的2個(gè)球都是黃球，表示選擇第一個(gè)盒子，表示選擇第二個(gè)盒子；所以，故選：C6.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是圖象的切線，則的值為（）A.B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得且，求解即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，第3頁(yè)/共20頁(yè)，則且，解得，再代入，可得：，故選：D7.長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別是棱和的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（包括邊界）移動(dòng)．若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式結(jié)合基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】在長(zhǎng)方體中，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)是的中點(diǎn)，所以.設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是，第4頁(yè)/共20頁(yè)則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，因此，異面直線與所成角的余弦值的最大值為.故選：A.8.已知函數(shù)，若當(dāng)且僅當(dāng)，則的最小值為（）A.2B.0C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，根據(jù)及絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化可得，分和討論的單調(diào)性及最值，繼而即可求解.【詳解】定義域?yàn)椋茫?，（注：，證明：因?yàn)?，，所以所以若，則，即．第5頁(yè)/共20頁(yè)這樣，若，則取，得，進(jìn)而在遞增，故，與已知條件矛盾！所以．即，也即．當(dāng)時(shí)，，得，取等當(dāng)且僅當(dāng)，故在上遞減，符合要求．綜上，的最小值為．故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨(dú)立，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由互斥事件、獨(dú)立事件及條件概率的計(jì)算公式逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，A錯(cuò)；對(duì)于B：，，B對(duì)，對(duì)于C：由，，可得，所以與相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立，C對(duì)，對(duì)于D：由，可得，第6頁(yè)/共20頁(yè)所以，D錯(cuò)，故選：BC10.已知，且，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】推導(dǎo)出，利用基本不等式可判斷AB選項(xiàng)；計(jì)算得出，令C選項(xiàng)；利用特殊值法進(jìn)而判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，可得，?對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)椋实忍?hào)不成立，即，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故，B對(duì)；第7頁(yè)/共20頁(yè)對(duì)于C選項(xiàng)，，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，故，即，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，不妨取，，則，D錯(cuò).故選：ABC.是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在二元函數(shù)滿足：①且；②：則稱為在上的“面積”系統(tǒng)．下列說法正確的是（）A.若為常數(shù)，則在上有唯一的“面積＂系統(tǒng)B.若為在上的“面積”系統(tǒng)，則C.是在上的“面積”系統(tǒng)D.若則在上有無數(shù)個(gè)“面積”系統(tǒng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題中新定義，直接計(jì)算證明可判斷A，B；舉例可判斷C，D.A為常數(shù)時(shí)，，，，第8頁(yè)/共20頁(yè)要使得，則，此時(shí)，所以滿足條件，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由性質(zhì)②，，有，得.再應(yīng)用性質(zhì)②，．由此，，即，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取，則．又，則，，所以不存在使，故性質(zhì)①不滿足.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，且，若，則，若，則，對(duì)任意，令，則，且滿足，故的“面積系統(tǒng)”有無數(shù)個(gè).故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則共可組成_______個(gè)四位數(shù)．【答案】300【解析】【分析】根據(jù)排列，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】從1,2,3,4,5中選一個(gè)數(shù)字作為千位，然后從剩下5個(gè)數(shù)中任選三個(gè)排百位，十位，個(gè)位，故共有,第9頁(yè)/共20頁(yè)故答案為：30013.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_______．【答案】【解析】得到解.【詳解】由，可得：，即，即，又，可得：，即，所以，所以，又，所以與的夾角為故答案為：.14.已知是雙曲線的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線上存在一點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理求出間關(guān)系，再由離心率的齊次式可得.【詳解】第10頁(yè)/共20頁(yè)由題意可得，所以，又，所以在中，，在中，，所以，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的公差不為0，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）2）【解析】1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，將等差數(shù)列通項(xiàng)代入，得到，求得通項(xiàng)公式．（2）求得，根據(jù)分組求和法，將原數(shù)列的和分為等差與等比數(shù)列的和.1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，成等比數(shù)列，得，得，由，得，則.（2）由（1），則，第11頁(yè)/共20頁(yè)則即.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的概念和前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的分析能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.16.在中，分別是角的對(duì)邊，已知是銳角，且．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）1（2）【解析】1）利用正切的倍角公式可求，結(jié)合余弦定理可求答案；（2）利用正弦定理表示，結(jié)合面積公式和三角函數(shù)恒等變換可得答案.【小問1詳解】由已知得，，解得或．又為銳角，，得．所以，由余弦定理得，．【小問2詳解】由正弦定理得，．所以，，第12頁(yè)/共20頁(yè)即，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值為．17.如圖，已知是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓上任意一點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，二面角的大小為，則是否存在點(diǎn)滿足，，使得且？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】1）易得，再由平面，得到，利用線面垂直的判定定理證明；（2）法一：過作于，過作于，連結(jié)，得到為二面角平面角，假設(shè)這樣的存在，設(shè)，由，求解；法二：以射線方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，是平面，是平面，得到，設(shè)，由求解.【小問1詳解】因?yàn)闉閳A的直徑，所以．第13頁(yè)/共20頁(yè)又因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)椋云矫妫拘?詳解】法一：如圖所示：過作于，過作于，連結(jié)．因?yàn)槠矫?，所以平面平面，進(jìn)而平面，故．因此平面，所以，故為二面角平面角．又，所以．又，得，所以，進(jìn)而。假設(shè)這樣的存在，得，得，，即，解得．故滿足條件的存在．法二：如圖，以射線方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，第14頁(yè)/共20頁(yè)則，，是平面的法向量．設(shè)，則，得，，得是平面的法向量．這樣，，解得．所以，，設(shè)，得．這樣，由，即，解得．故滿足條件的存在．18.已知橢圓的離心率為為為的右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，且周長(zhǎng)為，直線交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的斜率之積恒為，求證：直線恒過定點(diǎn)．（3恒過是否為定值？若成立，請(qǐng)求出該定值：若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）成立，【解析】1）根據(jù)題意，建立關(guān)系式求出，得解；第15頁(yè)/共20頁(yè)（2）設(shè)，代入橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得，，由，運(yùn)算得，得證；（3）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，得，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，即，得解.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由已知得，又，可得，故，解得，所以橢圓的方程為.小問2詳解】設(shè)，根據(jù)題意，易知直線的斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立與，消去得，整理得，所以，，，進(jìn)而，，，，解得，滿足，即直線過定點(diǎn).第16頁(yè)/共20頁(yè).【小問3詳解】當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，易得；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，這樣，由（2）知，，，所以，從而，即，則，即，綜上，為定值.19.“田忌賽馬”我國(guó)歷史上有名的“以弱勝?gòu)?qiáng)”的事例．齊王有匹馬，田忌有匹馬，且這匹馬在比賽中的勝負(fù)可用如下不等式表示：①且；②且．這里，表示“馬與馬比賽，馬獲勝”比賽過的馬不能再次上場(chǎng)，共賽局，并記田忌在局比賽中獲勝局?jǐn)?shù)為．第17頁(yè)/共20頁(yè)（1）求的分布列與期望；（2）分別求的通項(xiàng)公式；（3）求證：．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1（2），（3）證明見解析【解析】1）首先分析出的可能取值，再寫出分布列再計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（2）分類計(jì)算；；（3）應(yīng)用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的公式計(jì)算，作差證明即可.【小問1詳解】012所以．【小問2詳解】記，不妨將視為平面上個(gè)不同的點(diǎn)，作線段當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)在同一局，則局比賽不論先后順序，比完后的對(duì)陣可記為集合，由比賽規(guī)則可知，為的一個(gè)排列，也即為到的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，這樣的總共有種取法．所以即，，也即。故．記下到的一一對(duì)應(yīng)的取法恰有種．下面且，第18頁(yè)/共20頁(yè)任取到一一對(duì)應(yīng)，其中為的一個(gè)排列．當(dāng)給定時(shí)，則取或?yàn)榈降囊灰粚?duì)應(yīng)，恰有種．又考慮的取法恰有種，則的取法共有種．所以所得恰為全體到的一一對(duì)應(yīng)．注意到，，且．這樣，若滿足，則滿足或．故滿足當(dāng)且僅當(dāng)滿足或．（?。┤魸M足，則滿足當(dāng)且僅當(dāng)，其中且．此時(shí)，當(dāng)給